初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.1 等腰三角形综合训练题

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）17.1 等腰三角形综合训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.两边长3和7的等腰三角形的周长是（ ）
A . 17 B . 13 C . 17或13 D . 12
2.若实数x，y满足|x﹣4|+ Y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A . 12 B . 16 C . 16或20 D . 20
3.下列命题中，不正确的是（ ）
A . 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B . 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C . 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D . 对角线相等的菱形是正方形
4.如图，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（ ）
​
A . ∠1=2∠2
B . 2∠1﹣∠2=180°
C . ∠1+3∠2=180°
D . 3∠1﹣∠2=180°
5.如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形 ABC ， 若 AB=AC=30cm ， D是 BC的中点， ∠ABC=30° ， 则 AD的长为（ ）
A . 10 cm B . 12 cm C . 15 cm D . 153cm
6.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆 DE上一点 A往地面拉两条长度相等的固定绳 AB与 AC ， 当固定点 B ， C到杆脚 E的距离相等，且 B ， E ， C在同一直线上时，电线杆 DE就垂直于 BC ． 工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A . 等边对等角
B . 等腰三角形“三线合一”
C . 垂线段最短
D . 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
7.能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（ ）
A . 120°，60° B . 95.1°，104.9° C . 30°，60° D . 90°，90°
8.对于命题“如果a＞b＞0，那么a 2＞b 2 ． ”用反证法证明，应假设（ ）
A . a2＞b2 B . a2＜b2 C . a2≥b2 D . a2≤b2
9.一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后回到O港，若行驶中快艇的速度保持不变，AB∥x轴，则快艇驶完AB这段路程所用的时间为（ ）（取 2的值为1.4）
A . 26分 B . 25分 C . 24分 D . 23分
二、填空题
1.△ABC为等腰直角三角形，若A（ -4，0），C（0，2），则点B的坐标为 ________ .
2.如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角 60°得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对 (a,b)为点P的斜坐标．若点P的斜坐标为 (1,4) ， 点G的斜坐标为 (7,−4) ， 连接 PG ， 则线段 PG的长度为 ________ ．

3.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP= ________ 海里．
4.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 ________ ．
5.在等腰 △ABC中， AB=AC ， AB边上的垂直平分线与 AC所在直线相交于点 D ， 若 ∠DBC=36° ， 则等腰 △ABC的底角度数是 ________ ．
6.《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线 l1:y=12x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线 l2:y=x于点 O1 ， 过点 O1作y轴的平行线交直线 l1于点 A1 ， 以此类推，令 OA=a1 ， O1A1=a2 ， …， On−1An−1=an ， 则 △A2024A2025O2025的面积 = ________ ．
7.如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积是 ________ .
三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.如图，已知∠α和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α。
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.如图是由边长为1的小正方形组成的 6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1） 在图1中以线段 AB为边作锐角 △ABC（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）；
（2） 在图2中以线段 AB为腰作等腰直角 △ABC（作出一个即可）， △ABC的面积为______；
（3） 在图3中的直线l上画出点P，使得 PA+PB最短．
5.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
四、综合题
1.数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片 ABCD（ AB＞ BC）折叠，点 C落在 BA边上的点 F处，折痕为 BE ， 连接 EF ， 然后将纸片展开.
（1） 四边形 BFEC的形状为 ________ ；
（2） 如图2，点 G是 BC上一点，且 CG= AF ， 连接 AG ， AM平分∠ GAB交 BE于点 M ， 连接 AE ， 猜想 AE和 ME的数量关系并加以证明；
（3） 在（2）的条件下，如图3，过点 M作 MN⊥ AG ， 垂足为点 N.
①求 BC−MNAG的值；
②若AN=21，GN=4，请直接写出AD的长度.
2.如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1） 求证：∠BDC= 12 ∠BAC；
（2） 若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3） 在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B处，在沿海城市 A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东 30°方向向 C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半）
试问：
（1） A城市是否会受到台风影响？
（2） 若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？
（3） 若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
4.如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1） 求k的值；
（2） 直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．
五、解答题
1.在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG=CG 且EG⊥CG.
（1） 将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.
（2） 将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段 EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明.
2.小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD (如图所示)的周长，其中边 CD 上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度.小东经测量得知 AB=AD=15 米， ∠A=60°，BC=20 米， ∠ABC=150° .小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度.你同意小明的说法吗？若同意，请求出 CD 的长度；若不同意，请说明理由.
3.体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接 PA ， 利用 △PAD与 △PAB面积之和是菱形面积的 12 ， 可求出 PE+PF的值．
（1） 如图1，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD的长分别为6和8，点 P为对角线 BD上一动点（不与点 B、 D重合），过点 P分别作 AD和 AB的垂线，垂足为点 E和 F ， 求 PE+PF的值，请你写出求解过程．
（2） 如图2，若 ABCD为矩形，点 M ， N分别在边 AD ， BC上，将矩形 ABCD沿直线 MN折叠，使点 D恰好与点 B重合，点 C落在点 C'处．点 P为线段 MN上一动点（不与点 M ， N重合），过点 P分别作直线 BM ， BC的垂线，垂足分别为 E和 F ， 以 PE ， PF为邻边作平行四边形 PEGF ， 若 DM=13 ， CN=5 ， 求平行四边形的周长；
（3） 如图3，当点P是等边 △ABC外一点时，过点 P分别作直线 AB ， AC ， BC的垂线，垂足分别为点 H1 ， H2 ， H3 ， 若 PH1−PH2+PH3=3 ， 请求出 △ABC的面积，并写出推理过程．
4.已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足 b=2a−3+3−a+7 ， 求此等腰三角形周长．
5.“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段 MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知 ∠CBN=60° ， BC=200米， AC=1006米．
（1） 请求出观测点C到公路 MN的距离；
（2） 此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： 2≈1.41 ， 3≈1.73）
六、阅读理解
1.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．
2.（1）阅读理解：
如图1，在 △ABC中，若 AB=5 ， BC=3 ． 求 AC边上的中线 BD的取值范围．
某同学是这样思考的：延长 BD至点 E ， 使 DE=BD ， 连接 CE ． 利用全等将边 AB转化到 CE ， 在 △BCE中利用三角形三边关系即可求出中线 BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 .中线 BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：
如图2，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，点 M在 AB边上，点 N在 BC边上，若 DM⊥DN ． 求证： AM+CN>MN ．
（3）问题拓展：
如图3，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，分别以 AB ， BC为直角边向 △ABC外作等腰直角三角形 ABM和等腰直角三角形 BCN ， 其中 ∠ABM=∠NBC=90° ， 连接 MN ， 探索 BD与 MN的数量关系和位置关系，并说明理由．

3.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．