人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课时作业

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课时作业，文件包含专题04等腰三角形的判定原卷版docx、专题04等腰三角形的判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.
故答案为：C.
【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.
2．（2分）（2024·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【完整解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故答案为：C．
【思路引导】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．（2分）（2024·昌平期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【完整解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴点重合，
∴符合条件的点P有2个；
故答案为：B．
【思路引导】先求出，再求出是等边三角形，最后求解即可。
4．（2分）（2024·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②③④C．①②D．①
【答案】A
【完整解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【思路引导】利用角平分线的性质，等腰三角形的性质等对每个结论一一判断即可。
5．（2分）（2024·济宁月考）已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】C
【完整解答】A. ①∠1＝∠2；②AD＝BE，
又
（AAS）
即
是等腰三角形
故该选项不符合题意；
B. ①∠1＝∠2，④DF＝EF，
又
（AAS）
即
是等腰三角形；
故该选项不符合题意；
C. ②AD＝BE；③不能证明，不能判定，故不能判定是等腰三角形；该选项符合题意；
D. ③④DF＝EF，
又
（SAS）
即
是等腰三角形；
故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】根据等腰三角形的判定方法，再结合全等三角形的判定逐项判断即可。
6．（2分）（2024·中山期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【完整解答】解：如图，当时，为等腰三角形，
当时，为等腰三角形，
当时，而
所以是等边三角形，
当时，为等腰三角形，
符合条件的点P有5个，
故答案为：B
【思路引导】分三种情况：AP=AB，BP=AB或BP=AP，据此分别求解即可.
7．（2分）（2024·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
8．（2分）（2020八上·温州期中）如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】B
【完整解答】解：如图，
共有6种情况.
故答案为：B.
【思路引导】①以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于D点，△BCD为所求；②以A为圆心，以AC为半径画弧交AC于点E，△ACE为所求；③以C为圆心，以BC为半径画弧交AC于点F，△BCF为所求；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△AHC为所求；⑤作AB的垂直平分线交AC于点G，△AGB为所求；⑥作BC的垂直平分线交AB于点I，△BGI为所求.
9．（2分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【思路引导】根据轴对称的性质可知：OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，
OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．

10．（2分）（2024·桐梓期末）如图，在 中， ， 是 边上的高， 是 边的中线， 是 的角平分线， 交 于点G，交 于点H，下面说法正确的是（ ）
① 的面积是 的面积的一半；② ；③ ；④ .
A．①②③④B．①②C．①③D．①④
【答案】C
【完整解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE=CE AC，
∵△ABE的面积 ×AE×AB，△ABC的面积 ×AC×AB，
∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；
根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，
∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故③正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，
∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；
即正确的为①③，
故答案为：C.
【思路引导】根据等底同高的三角形的面积相等进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可.
二．填空题（共9小题，满分2分，每小题18分）
11．（2分）（2024·句容期末）如图， 平分 交 于点E，若 ，则 .
【答案】
【完整解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵DE= ，
∴EB= .
故答案为： .
【思路引导】根据角平分线的概念可得∠CBD=∠ABD，根据平行线的性质可得∠BDE=∠CBD，推出∠BDE=∠DBE，则BE=DE，据此解答.
12．（2分）（2024·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【完整解答】解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，
∴为等腰三角形，符合题意；
第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；
第三个图以B为圆心，AB长为半径，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，符合题意；
第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，
∴为等腰三角形，符合题意；
综上可得：有三个图使得为等腰三角形，
故答案为：3．
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理判断各图形即可得出答案。
13．（2分）（2024·冠县期中）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A= 时，△AOP为等腰三角形．
【答案】45°或67.5°或90°
【完整解答】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，
①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=45°，
∴∠A=90°；
②当AO=OP时，则∠A=∠APO= =67.5°；
③当OP=AP时，则∠A=∠AON=45°，
综上可知∠A为45°或67.5°或90°，
故答案为45°或67.5°或90°．
【思路引导】若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况：①当AO=AP时，②当AO=OP时，③当OP=AP时，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的度数。
14．（2分）（2024·下城期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 .
【答案】3cm
【完整解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.
故答案为：3cm.
【思路引导】由角平分线的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，则BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，据此计算.
15．（2分）（2024·华容期末）如图，在 中， ，点 在 延长线上， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长度为 .
【答案】4
【完整解答】证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE=3，
∴△AEF是等腰三角形.
又∵CE=10，
∴CA=AB=7，
∴BF=AB-AF=7-3=4，
故答案为：4.
【思路引导】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据等角的余角相等得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案.
16．（2分）（2020八上·柯桥月考）如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，当∠OAP= 时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】75°或120°或90°
【完整解答】解：如图，
∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB=30°，
①当AOP1是等腰三角形时，
∵OA=OP1，
∵∠AOB=30°，
∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；
②当△ABP2是等腰三角形时，
∵∠ABM=60°，
∴△ABP2是等边三角形，
∴∠BAP2=60°，
∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；
③当△OAP3是等腰三角形，
∵OA=AP3，
∴∠AOB=∠AP3O，
∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.
综上，∠OAP为 75°或120°或90°
故答案为： 75°或120°或90° .
【思路引导】分三种情况讨论，即当OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理即可求出 ∠OAP的度数.
17．（2分）如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若 ， ， ，则△AMN的周长为 .
【答案】12
【完整解答】解：∵O是△ABC角平分线的交点
∴∠OBC=∠MBO, ∠OCB=∠NCO
∵MN∥BC
∴∠MOB=∠OBC, ∠NOC=∠OCB
∴∠MOB=∠MBO, ∠NOC=∠NCO,
∴MO=MB,NO=NC,
∵△AMN的周长=AN+AM+MN= AN+AM+MB+NC=AB+AC
又∵ ， ，
∴△AMN的周长=5+7=12
故答案为12.
【思路引导】根据平行线的性质以及角平分线的性质，可得出∠MOB=∠MBO, ∠NOC=∠NCO,进而得出MO=MB,NO=NC, △AMN的周长可以表示为AB+AC，即可解决问题.
18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是 的三边，且 ，则 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【完整解答】∵ ，
∴ ，
即： ，
∵ ， ， 是 的三边，
∴ ， ， 都是正数，
∴ 与 都为正数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形.
【思路引导】将等式两边同时加上 得 ，然后将等式两边因式分解进一步分析即可.
19．（2分）（2024·长安月考）如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t= s时，△POQ是等腰三角形.
【答案】 或10
【完整解答】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示
当点P在AO上时，
∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t
当PO=QO时，
解得
当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示
当点P在BO上时
∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t
当PO=QO时，
解得
故答案为： 或10
【思路引导】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.
三．解答题（共7小题，满分62分）
20．（5分）（2024·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN.
【思路引导】易证△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根据线段中点的概念可得AM＝DN，证明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，据此解答.
21．（10分）（2024·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）（3分）求证：△ABD≌△BCE；
（2）（3分）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）（4分）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【思路引导】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
22．（10分）（2024·淮南期中）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
（1）（3分）图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
（2）（3分）如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
（3）（4分）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
【答案】（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠ACO= ∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【思路引导】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
23．（7分）（2024·南平期中）在 中， ，点 为射线 上一个动点（不与 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，过点 作 ，交直线 于点 ，连接 ．
（1）（1分）如图①，若 ，则按边分类： 是 三角形，并证明；
（2）（6分）若 ．
①如图②，当点 在线段 上移动时，判断 的形状并证明；
②当点 在线段 的延长线上移动时， 是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．
【答案】（1）等边
（2）①△CEF为等腰三角形，
证明：如图2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠B，
∴∠ACE=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACE，
∴CE=FE，
∴△EFC为等腰三角形；
②如图③，△EFC为等腰三角形．
当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE．
证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECF=∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AFE=∠ECF，
∴EC=EF，
∴△EFC为等腰三角形．
【完整解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，
∴△DAB≌△EAC，
∴∠ECA=∠B=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，
∴△EFC为等边三角形，
故答案为：等边；
【思路引导】（1）根据题意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．
24．（10分）（2024·桐梓期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E.
（1）（3分）若DE＝CE，求证：AB∥DE；
（2）（3分）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE；
（3）（4分）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由；
【答案】（1）证明：∵DE＝CE，∠C＝50°，
∴∠C＝∠EDC＝50°.
∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠B＝∠EDC，
∴AB∥DE
（2）证明：∵AB＝AC＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，
∴∠BDA+∠CDE＝130°，
∠CED+∠CDE＝130°，
∴∠BDA＝∠CED，
∴△ABD≌△DCE（AAS）
（3）解：可以.有以下三种可能：
①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE，
则有∠DAE＝∠DEA＝65°.
∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；
②由（2）得∠BDA＝∠CED.
∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），
∴AD≠AE；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°，
∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°.
故答案为：(1)见解析；(2)见解析；(3)可以，115°或100°，理由见解析.
【思路引导】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠EDC＝50°，又 ∠B＝∠C＝50°， 故 ∠B＝∠EDC， 根据同位角相等，二直线平行得出AB∥DE；
（2）根据平角的定义及三角形的内角和得出 ∠BDA+∠CDE＝130°= ∠CED+∠CDE ，故 ∠BDA＝∠CED， 根据等量代换得出AB=DC，又 ∠B＝∠C ，故利用AAS判断出 △ABD≌△DCE ；
（3）分类讨论： ①由（2）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE， 根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠DAE＝∠DEA＝65°，进而根据三角形的外角定理，由∠BDA=∠C+∠CAD即可算出答案； ②由（2）得∠BDA＝∠CED， 点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），故 AD≠AE； ③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°， 进而根据三角形的外角定理，由∠BDA=∠C+∠CAD即可算出答案。
25．（8分）（2024·厦门期末）如图，已知锐角∠APB，M是边PB上一点，设∠APB=α.
（1）（4分）尺规作图：在边PA上作点N，使得∠ANM=2α；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）（4分）在（1）的条件下，若边PA上存在点Q，使得∠QMB=3α.
①证明△MNQ是等腰三角形；
②直接写出α的取值范围.
【答案】（1）解：如图1，作PM的垂直平分线交PA于点N.
点N即为所求点.
（2）解：①证明：点Q在PA上，且存在以M，N，Q为顶点的三角形时，有如下三种情况：
i）当点Q在射线NA上（不含端点N）时，如图2.
∵∠PQM=∠QMB﹣∠APB=3α﹣α=2α，
由（1）得∠ANM=2α，
∴∠ANM=∠PQM，
∴NM=QM.
即△MNQ是等腰三角形；
ii）当点Q在线段PN上（不含端点P）时，如图3.
同理可得∠PQM=2α.
由（1）得∠ANM=2α，
∴180°﹣∠ANM=180°﹣∠PQM，
∴∠MNQ=∠MQN，
∴NM=QM.
即△MNQ是等腰三角形；
iii）当点Q在点P处，3α=180°，
即α=60°，此时△MNQ是等边三角形；
②由①可知点Q与点P重合时，α=60°，
∴α的取值范围是0°＜α≤60°.
【思路引导】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等及等边对等角和三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可知，只要作出线段PM的垂直平分线，该线交PA于点N，该点就是所求的点；
（2）①分三种不同的情况画出图形，i）当点Q在射线NA上（不含端点N）时，如图2；ii）当点Q在线段PN上（不含端点P）时，如图3；iii）当点Q在点P处，由等腰三角形的判定可得出答案；②由①可得出答案.
26．（12分）（2024·武昌期末）如图1，在 中， ， 分别是 和 的角平分线， 和 相交于D点.
（1）（4分）求证： 平分 ；
（2）（4分）如图2，过F作 于点P，连接 ，若 ， ，求证： ；
（3）（4分）如图3，若 ，求证： .
【答案】（1）证明：如图所示，
过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）证明：如图，作 ， ，在 上取一点 ，使 .
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∠CQD=∠DFTDS=DT∠DSQ=∠DTF=90°
∴ ，
∴ ，
在 和 中
QD=FD∠QDP=∠FDPDP=DP
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：延长 至M，使 ，连接 .
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∠C=∠BMF∠CAF=∠BAFAF=AF ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【思路引导】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作DS⊥AC，DT⊥BC， 在AC上取一点Q，使 ，通过证明 和 得到 ，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长 至M，使 ，连接 ，通过证明 得到 ，再结合 即可得出结论.