初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理同步练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理同步练习题，共7页。试卷主要包含了通过测量等内容，欢迎下载使用。
1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.
2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.
3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.
4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.
学习重点：
三角形内角和定理的证明
学习难点：
辅助线的添加，三角形内角和定理的应用；
初中数学8个基本事实
1.两点确定一条直线;
2.两点之间线段最短;
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
8.三边分别相等的两个三角形全等.
三角形内角和验证的方法：
1、 测量法，
2、 折叠的方法，
3、撕拼验证
探究1：已知：如图，△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
方法一（在括号内填上理论根据）
证明：延长BC到D,过点C作射线CE∥BA,
则
∠1= ∠A ( ）
∠2= ∠B ( ）
∵ ∠1+ ∠2+ ∠ACB=180°（ ）
∴ ∠A+∠B+∠C=180°
方法二（自己完成证明过程）
证明：过A点作PQ平行BC,则
方法三（自己完成证明过程）
证明：在三角形内任取一点P,过P作MN∥AB，RQ∥BC,ST∥AC,
【强调】三角形内角和等于180°
知识运用
例1
1．如图，在△ABC中，∠ABC=38°，∠ACB=62°，AD平分∠BAC，求∠ADB的度数.
探究2：证明三角形全等的判断定理(AAS)
已知：∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DF
求证△ABC ≌△DEF
证明：在△ABC和△DEF,∠A=∠D,∠B=∠E
∠C=180°-∠A-∠B
∠F=180°-∠D-∠E
∴∠C=∠F
∠A=∠D
∠C=∠F
AC=DF
∴△ABC ≌△DEF（ASA)
【强调】全等三角形的对应角相等，对应边相等。
一、基础达标1：
2． 求出下列图形中∠1的度数.
∠1= ∠1= ∠1=
3．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠B=60°，那么∠BDC=( )
A．80°B．90°C．100°D．110°
4．如图，在△ABC中，∠A=50°，BD、CE是△ABC的高，O是它们的交点，则∠ABD= .∠COD= .
5．如图在△ABC，∠A=60°，∠C=70°，点D、E分别在AB、AC上，AD，且DE∥BC求∠ADE的度数 （ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
二、能力提升1：
7．把长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的三角形．已知∠EAO=30°，求∠AOC和∠BAC的度数．
三、拓展迁移1
8．已知△ABC作∠B、∠C的角平分线交于点O，
（1）若∠A=50°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A=120°，求∠BOC的度数；
（3）若∠A=a°，试探究∠BOC与∠a的关系.
三角形内角和等于180°(添加辅助线，转化思想）
全等三角形性质：对应角相等，对应边相等
全等三角形判断：
1、三条对应边都相等的两个三角形全等（SSS)
2、两条对应边相等且两条对应边的夹角相等的两个三角形全等（SAS)
3、两条对应角相等且两角的夹边相等的两个三角形全等（ASA)
推论
两个对应角相等且一条边对应相等的两个三角形全等（AAS)
四、基础达标2：
9．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，则∠AEB的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
11．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，那么∠ADE的度数是 .
12．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度.
13．如图，AB∥CD，折线M、O、N交AB与CD于M、N，试猜测∠AMO+∠MON+∠ONC的和为多少度？为什么？（试一试能用几种方法求解）
五、能力提升2：
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
六、拓展迁移2：
15．如图，△ABC中，∠A=75°∠B=65°，将纸片的一角折叠，使点落在△ABC内，若∠1=20°，求∠2的度数.
答案解析部分
1．【答案】解：在 △ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180∘.
∵∠B=38∘,∠C=62∘,
∴∠BAC=80∘
∵AD平分 ∠BAC,
∴∠DAC=12∠BAC=12×80∘=40∘.
∵∠ADB=∠ACB+∠DAC=62∘+40∘= 102∘.
【解析】【分析】首先利用三角形内角和定理计算出 ∠BAC的度数，再利用角平分线的概念可得 ∠ADB的度数.
2．【答案】140°；55°；120°
【解析】【解答】解：①∠1=∠A+∠B=80°+60°=140°；
②∠1=100°-45°=55°；
③∠ACB=180°-140°=40°，
∴∠1=∠B+∠ACB=80°+40°=120°；
故答案为：140°；55°；120°.
【分析】根据三角形的外角性质解答即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵CD是 ∠ACB的平分线， ∠ACB=60∘,
∴∠ACD=30∘(平分线的定义)，
∵∠A=80∘,
∴∠BDC=110∘，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质先求出∠DCA的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC的度数.
4．【答案】40°；50°
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的高，
∴∠ABD=90∘−∠A
=90∘−50∘
=40∘
∵CE是△ABC的高，
∴∠ACE=90∘−∠A
=90∘−50∘
=40∘
∴∠COD=90∘−∠ABD
=90∘−40∘
=50∘
故答案为：40°；50°.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵∠A=60∘,∠C=70∘,
∴∠B=180∘−60∘−70∘=50∘,
∵DE‖BC,
∴∠ADE=∠B=50∘,
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B,再根据平行线的性质求出∠ADE即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数分别为：2：3：4，
∴三个内角分别是 180∘×29=40∘,180∘×39= 60∘,180∘×49=80∘，
所以该三角形是锐角三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状.
7．【答案】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°。
∵∠BAO=30°，
∴∠AOC=∠B+∠BAO=90°+30°=120°。
∵长方形ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC =∠B'AC。
∵∠BAO=30°，
∴∠BAC=∠B'AC=12180∘−∠AOC。
∵∠AOC = 120°，
∴∠BAC=12×180∘−120∘=12×60∘=30∘，
答： ∠AOC的度数为120°， ∠BAC的度数为30°.
【解析】【分析】利用长方形的性质得到相关角的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理来求解∠AOC和∠BAC的度数.
8．【答案】（1）解：∵ BO， CO 分别平分 ∠ABC和 ∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC=12∠ABC, ∠ACO=∠OCB=12∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘,
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180∘.
∴∠OBC+∠OCB=90∘−12∠A=65∘.
而 ∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘,
∴∠BOC=180∘−∠OBC+∠OCB=180∘−65∘=115∘.
（2）解：∵ BO， CO 分别平分 ∠ABC和 ∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC=12∠ABC, ∠ACO=∠OCB=12∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘,
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180∘.
∴∠OBC+∠OCB=90∘−12∠A=30°.
而 ∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘,
∴∠BOC=180∘−∠OBC+∠OCB=180∘−30°=150°.
（3）解：∵ BO， CO 分别平分 ∠ABC和 ∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC=12∠ABC, ∠ACO=∠OCB=12∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘,
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180∘.
∴∠OBC+∠OCB=90∘−12∠α.
而 ∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘,
∴∠BOC=180∘−∠OBC+∠OCB=180∘−(90∘−12∠α)=90°+12∠α.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC=12∠ABC, ∠ACO=∠OCB=12∠ACB，然后根据三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和求出∠BOC的度数即可；
（2）同（1）的推理过程解答；
（3）同（1）的推理过程解答.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE‖AD,
∴∠ABE=∠BAD=20∘,
∵BE平分 ∠ABC,
∴∠EBC=∠ABE=20∘,
∵∠C=90∘,
∴∠AEB=∠C+∠CBE=90∘+20∘=110∘,
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：AD平分∠BAC，∠BAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．
故选B．
【分析】利用三角形角平分线的定义可得∠BAC=60°，然后根据三角形的内角和是180度的解答即可．
11．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵DE‖BC,
∴∠AED=∠C=70∘,
又 ∵∠ADE+∠AED+∠A=180∘,
∴∠ADE=180∘−∠A−∠AED=180∘−70∘−50∘=60∘,
故答案为： 60∘.
【分析】由平行线的性质可得到 ∠AED=∠C,在 △ADE中由三角形内角和定理可求得 ∠ADE度数解答即可.
12．【答案】74°
【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= 12 ∠ACB=35°.∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°.
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°.∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°.
【分析】根据三角形内角和求出∠ACB=70°，利用角平分线的定义可得∠ACE= 12 ∠ACB=35°.根据三角形内角和可得∠ACD=50°，从而求出∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，在Rt△CFD中，利用三角形内角和即可求出∠CDF的度数.
13．【答案】解：∠AMO+∠MON+∠ONC=360°
理由：过O点作OE∥AB，
∵OE∥AB，AB∥CD，
∴OE∥CD，
∴∠AMO+∠MOE=180° ①，
∠EON+∠ONC=180° ②，
①+②得∠AMO+∠MOE+∠EON+∠ONC=360°，
而∠MOE+∠EON=∠MON，
∴∠AMO+∠MON+∠ONC=360°，
解法二：∠AMO+∠MON+∠ONC=360°，
理由：连接MN，
AB∥CD，
∴∠AMN+∠CNM=180°①，
在△MNO中，∠NMO+∠MON+∠MNO=180° ②，
①+②得∠AMN+∠CNM+∠NMO+∠MON+∠MNO=360°，
而∠AMN+∠NMO=∠AMO，∠CNM+∠MNO=∠CNO ，
∴∠AMO+∠MON+∠ONC=360°，
【解析】【分析】方法一：过O点作OE∥AB，即可得到OE∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AMO+∠MOE=180° ，∠EON+∠ONC=180° ，相加解答即可；
方法二：连接MN，根据平行线的性质得到∠AMN+∠CNM=180°，再根据三角形的内角和定理求出∠NMO+∠MON+∠MNO=180° ，两式相加解答即可.
14．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°
在△ABC中，∠C＝50°，
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°
在△ABD中
∴∠ADB＝180°-∠ABD-∠DAB＝80°
（2）解：∵∠BED=45°
∴∠AEB=180°-45°=135°
∠EAB+∠EBA=180°-135°=45°
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠BAC＝2∠EAB，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BAC+∠ABC＝2∠EAB+2∠ABE＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可得 ∠DAC=30∘,再由三角形外角性质即可求 ∠ADB的度数；
(2)由三角形的外角性质可得 ∠BAD+∠ABE= 45∘，再由角平分线的定义得∠BAC=2∠BAD, ∠ABC=2∠ABE,从而得 ∠BAC+∠ABC= 90∘，利用三角形的内角和即可求∠C的度数.
15．【答案】解：如图延长AE、BF交于点C'，连接CC'.
在 △ABC'中， ∠AC'B=180∘−65∘−75∘=40∘,
∵∠ECF=∠AC'B=40∘,∠1=∠ECC'+∠EC'C,∠2=∠FCCC'+∠FC'C，
∴∠1+∠2=∠ECC'+∠EC'C+∠FCC'+∠FC'C=2∠AC'B=80∘,
∵∠1=20∘,
∴∠2=60∘,
【解析】【分析】如图延长AE、BF交于点(C'，连接CC'.首先证明 ∠1+∠2=2∠AC'B,求出 ∠AC'B即可解决问题.