第03讲 二次根式的加法与减法-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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第一步 学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：7大核心题型精准练
第二步 记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步 测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 二次根式的加减】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：
(1)化成最简二次根式；
(2)找出被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
【知识点2 二次根式的混合运算】
（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.
因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式.
【题型1 可以合并的二次根式】
【例1】下列各组根式中，能合并的是（ ）
A．3和8B．3和13C．a2b和ab2D．a+1和a2-1
【变式1-1】下列二次根式，不能与18合并的是 ．（填序号）
①8；②-50；③252；④23；⑤12．
【变式1-2】在下列二次根式中：8，1280，12，40.75，120.2
（1）能与3合并的是 ；
（2）能与5合并的是
【变式1-3】已知最简二次根式3a+2与最简二次根式1210a-19可以合并，则3a+2⋅1210a-19的值为 ．
【题型2 二次根式的加减运算】
【例2】计算：
(1)18-38+0.5；
(2)212-9127+1348．
【变式2-1】计算下列各式：
(1)23-312+527；
(2)8+0.5-0.2-132．
【变式2-2】计算下列各式：
(1)1232+64-1550-75；
(2)0.2-1220-54-0.45+90．
【变式2-3】计算：
(1)318+1550-412
(2)4525x+9x9-2x2⋅1x3．
【题型3 二次根式的混合运算】
【例3】计算：
(1)523-54÷3+12×6；
(2)1+32-6-23-12．
【变式3-1】计算：
(1)2+3×3-32÷18
(2)48÷3-12×12-(-2)2．
【变式3-2】计算：
(1)5-25+2-3-12；
(2)48÷3-12×12+24．
【变式3-3】计算：
(1)24+18÷2+6-3×112；
(2)3-233+23×48+12×6．
【题型4 二次根式中巧用乘法公式化简求值】
【例4】已知a=11+4，b=11-4，求下列代数式的值.
(1)a2-b2；
(2)a2+b2+ab.
【变式4-1】已知x=5+2，y=5-2．
(1)求x2+xy+y2的值；
(2)求x2+y2-xy-2x-2y的值．
【变式4-2】已知x=5+25-2,y=5-25+2，求下列各式的值．
(1)x2y+xy2；
(2)yx+xy．
【变式4-3】已知：x=5-35+3，y=5+35-3，求：3x2-5xy+3y2的值．
【题型5 二次根式先化简再求值】
【例5】先化简，再求值：x-xx+x÷x-xx，其中x=2+2．
【变式5-1】已知a，b，c满足a-2+4-b2+c-8=0，求代数式a-2a+2+25ab-4aca-1bb3c的值．
【变式5-2】已知 a=13+2，b=13-2．
(1)求a+b的值；
(2)求ab+baa+b⋅ab的值．
【变式5-3】先化简，后求值：a-ba+b+a-4ab+4ba-2b，其中a=12，b=2．
【题型6 二次根式的应用】
【例6】如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．2014cm2B．1014cm2C．78cm2D．47+102cm2
【变式6-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1=45，S2=32，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A．1210-16B．810-6C．1210-8D．610+8
【变式6-2】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A,B．
(1)原长方形纸片的长为 cm，宽为 cm；
(2)求图①中阴影部分的面积；
(3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【变式6-3】如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为3:2．
(1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）．
(2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积．
【题型7 二次根式的阅读材料题】
【例7】材料阅读
材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：5×5=5，3+13-1=3-1=2，我们称5的一个有理化因式是5，3+1的一个有理化因式是3-1．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：13=1×33×3=33，13+5=1×3-53+53-5=3-54．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)填空：3-22的有理化因式是_____________．（写出一个即可）
(2)化简：310+7+37+2-510．
(3)比较3-22与5-26的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化）
【变式7-1】阅读下列材料，然后回答问题：
材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23+1=23-13+13-1=23-1(3)2-1=23-12=3-1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2,ab=-3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab分别看作是一个整体，令x=a+b=2,y=ab=-3，则a2+b2=a+b2-2ab=x2-2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果．
(1)计算：12+3；
(2)若m是正整数，a=m+1-mm+1+m，b=m+1+mm+1-m，则：
①ab= ，a+b= （用含m的代数式表示）；
②若a+b+4ab=2026，求m的值：
(3)若13+x2-21-x2=2，则13+x2+21-x2的值是 ．
【变式7-2】阅读材料：若想化简m±2n，只要我们找到两个正数a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+(b)2=m，a⋅b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b(a>b)．
例：化简7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12．
即(4)2+(3)2=7，4×3=12．
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：4-23=___________，5-26=___________；
(2)化简：19-415；写出计算过程
(3)化简：3-22+5-26+7-212+…+2n+1-2nn+1．n为正整数
【变式7-3】阅读下列材料：
【材料一：分母有理化】①12+1=2-12+12-1=2-12-1=2-1；
②13+2=3-23+2×3-2=3-23-2=3-2；
③12+3=2-32+3×2-3=2-34-3=2-3；
【材料二：分子有理化】
3-2=3-2×3+23+2=13+2．
请结合上述材料，解答下列问题：
(1)化简：16+5=__________，15-3=____________．
(2)比较17-15和15-13的大小，并说明理由；
(3)计算：12+1+13+2+14+3+⋯+12025+2024+12026+2025×2026+1．
1．下列二次根式，不能与12合并的是 （填写序号即可）．
①48； ②-125； ③113； ④32； ⑤18．
2．比较大小：5+11 6+10（填“>”“