第05讲 勾股定理的逆定理及其应用-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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第一步 学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：6大核心题型精准练
第二步 记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步 测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：
（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
（3）比较二者是否相等；
（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形.
【知识点2 勾股数】
1.定义：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.
3.勾股数的整数倍仍为勾股数：如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数.
4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.
【知识点3 勾股定理的逆定理的实际应用】
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
①构建几何模型(从整体到局部)；
②标注有用信息，明确已知和所求；
③应用数学知识求解.
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
【例1】以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②32,42,52；③1，2,3；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【变式1-1】五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ）
①有两个内角互余的三角形
②三边长为m2-n2，2mn，m2+n2（其中m，n为正数，且m>n）的三角形
③三边之比为3:4:5的三角形
④三个内角的比是1:2:3的三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】已知实数a，b，c满足(a-7)2+b-5+c-32=0．
(1)求实数a，b，c的值．
(2)以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【题型2 勾股数问题】
【例2】有下列说法：
①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；
②∵三边长分别为1，2，5的三角形是直角三角形，∴1，2，5是勾股数；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．
其中错误的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【变式2-1】观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
(1)当a=11时，求b，c的值；
(2)判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【变式2-2】已知：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律：
(1)设a