第04讲 勾股定理及其应用-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

这是一份第04讲 勾股定理及其应用-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案），文件包含第04讲勾股定理及其应用3个知识点+8个题型+思维导图+过关测试题版docx、第04讲勾股定理及其应用3个知识点+8个题型+思维导图+过关测解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共64页， 欢迎下载使用。
第一步 学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：8大核心题型精准练
第二步 记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步 测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 勾股定理】
勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理的验证：
证法1 赵爽弦图验证基本思路：如图（1），把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2，这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图（1）中左、右两个三角形移到图（2）中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图（3）），它的面积是c2.因为图（1）与图（3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a2+b2=c2.
【知识点2 勾股定理的实际应用】
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
【知识点3 利用勾股定理作图】
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
以下是在数轴上表示出13的点的作图过程.
（1）在数轴上找到点A,使OA=3;
（2）作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
（3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.
【题型1 勾股定理解直角三角形】
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c是△ABC的三边长．
(1)已知a=5，b=12，求c的值；
(2)已知c=25，a=7，求b的值；
(3)已知c=40，a:b=3:4，求a，b的值．
【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，
(1)若a:b=3:4，c=15，求a，b的值．
(2)若c-a=4，b=16，求a的值．
【变式1-2】在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边．
(1)若a=8，b=6，求直角三角形斜边上的高h；
(2)若c=42，a比c小32，求b的值．
【变式1-3】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20．
(1)求BC的值；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，求BD的值．
【题型2 勾股定理解勾股树问题】
【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）

A．13B．29C．47D．94
【变式2-1】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC, AD⊥CD，分别以四边形ABCD的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为S1、S2、S3、S4，若S1+S3=15, S2+S4=35，则AC的值是（ ）
A．5B．52C．53D．55
【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB的长为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3=4，则S1+S2的值为 ．
【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a=2，b+c=12，则d= ．
【题型3 已知两点坐标求两点距离】
【例3】如图，在△OAB中，已知点A的坐标为13,12，点B的坐标为16,0，AC是OB边上的中线，求：
(1)点C的坐标；
(2)AC的长．
【变式3-1】已知等边△ABC，点A在坐标原点，点B的坐标为-6,0，且点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为-6,0,0,8．以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为 ．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为-1,0，0,3，m,0，m>0， 连接AC，BC．若AB=BC， 则m的值为 ．
【题型4 勾股定理的验证】
【例4】你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）
【变式4-1】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°，请推导勾股定理．
(2)如图2，在△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
【变式4-2】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富．
【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a