第06讲 勾股定理常见几何模型-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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第一步 学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位提升
练题型·强知识：6大核心题型精准练
第二步 测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 勾股定理与最短路径模型】
1.圆柱体中的最短路径模型
已知条件：
圆柱底面圆周长为c ，高为h ，求圆柱表面从点A到点B的最短路径长度。
解题步骤：
① 展：将圆柱侧面展开为矩形，矩形的长为 c ，宽为 h ；
②连：连接展开图中 A 、 B 两点，该线段为最短路径；
③算：由勾股定理得最短路径长=c2+h2。
2.圆柱体中的最短路径结合将军饮马模型：
已知条件：
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为
解题步骤：
如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D，
则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离，
∵由题意得，（），=a（），（），
在中，（）．
3.长方体中的最短路径模型
已知条件：
如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。
求蚂蚁爬行的最短路程。
解题步骤：
如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；
则；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；
则；
如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；
则；
∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为。
【知识点2 勾股定理与折叠模型】
‌折叠构造直角三角形模型‌：将直角三角形沿着某条线段进行折叠，得到另外一个直角三角形。通过设未知数，表示出折叠后三角形的三边长，再利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。例如，在直角三角形纸片中，两直角边分别为一定长度，将其中一条直角边沿某直线对折使其落在斜边上，可据此设未知数求解相关线段长度。
已知条件：
如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90∘，折叠纸片使得点A落在BC边上点D处，折痕是BE（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点B落在边AC上的点E处，折痕是MN（如图2）．若AB=3，AC=4，求CN的长为．
解题步骤：
∵AB=3，AC=4，∴BC=AB2+AC2=5，
∵折叠纸片使得点A落在BC边上点D处，折痕是BE，
∴AB=BD=3，AE=DE，∠BDE=∠A=90°，∠ABE=∠CBE，
∴∠CDE=90°，CD=BC-BD=5-3=2，
∵DE2+DC2=CE2，
∴DE2+22=4-AE2，即AE2+22=4-AE2，∴AE=32，
∵折叠纸片，使得点B落在边AC上的点E处，折痕是MN，∴BM=ME，BN=EN，
∴∠CBE=∠NEB，∴∠ABE=∠NEB，∴AB∥NE，
∴∠CEN=∠A=90°，
∴CN2=CE2+NE2，即CN2=4-322+5-CN2，∴CN=258．
‌折叠长方形中的三角形模型‌：长方形本身有直角，折叠后会产生新的直角三角形。一般先根据长方形的边长及折叠的性质找出相等的线段，然后设未知数表示出折叠后直角三角形的各边，最后运用勾股定理建立方程求解。比如将长方形纸片一边折叠，点落在对边某处，求相关线段长度。
已知条件：
如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=6．
(1)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长；
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E，求△BDE的面积；
(3)如图③，，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP，A'B，A'P分别交CD边于点E，F，且DF=A'F，求CE的长．
解题步骤：
（1）解：根据折叠的性质，得AF=CF．∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=90°．
设BF=x，则AF=CF=AB-BF=10-x，
在Rt△BFC中， BF2+BC2=FC2，∴x2+62=(10-x)2，解得x=165，∴BF=165．
（2）解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠C=90°．
根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°, AD=A'D．
又∵BC=AD，∴A'D=CB,∠A'=∠C．
∵A'B交CD于点E，∴∠A'ED=∠CEB，∴△A'ED≌△CEBAAS，∴ED=EB．
设CE=y，则ED=EB=DC-CE=10-y．
在Rt△BCE中， CE2+BC2=BE2，∴y2+62=(10-y)2，解得y=165，
∴CE=165．∴DE=10-165=345，∴S△BDE=12×DE×BC=12×345×6=1025．
（3）解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠D=90°．
由折叠的性质，得∠A'=∠A=90°, AP=A'P, AB=A'B=10，∴∠D=∠A'=90°．
又∵DF=A'F,∠DFP=∠A'FE，∴△DFP≌△A'FEASA，∴DP=A'E,PF=EF，∴DE=PA'．
又∵AD=BC=6，设PA=m，则DP=A'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m，
∴EC=10-m,BE=10-6-m=4+m．
在Rt△ECB中，(4+m)2=62+(10-m)2，
解得m=307，∴CE=10-307=407．
【题型1 勾股定理与圆柱体中的最短路径问题】
【例1】如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于10cm，底面周长为24cm，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．若蚂蚁爬行的速度为2cm/s．那么它至少需要 秒．
【变式1-1】如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高AB=5，点P在圆柱上底面的圆周上，点B距点P在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的13，AC为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点A处爬到点P处，然后再从点P处爬到点C处，则小虫爬行的最短路程为 ．
【变式1-2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为1m．若油罐高约18m，油罐底面圆直径约为503m，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m，则旋梯的扶手长度l的最小值为 m（本题中π≈3）．

【变式1-3】如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为 米．
【变式1-4】如图，一圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为16cm（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底2.5cm的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿1.5cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（ ）
A．10cmB．11cmC．52cmD．43cm
【题型2 勾股定理与长方体中的最短路径问题】
【例2】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【变式2-1】如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从顶点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为（ ）
A．24cmB．25cmC．26cmD．27cm
【变式2-2】如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点C的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
【变式2-3】如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面ABB1A1和而A1B1C1D1爬行；②沿面ABB1A1和而BCC1B1爬行；③沿面AA1D1D和面A1B1C1D1爬行．
(1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；
(2)若AB=4，BC=2，BB1=1，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？
(3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（P是长方体的顶点，NP=3cm），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少．
【题型3 勾股定理与几何最值问题】
【例3】如图，等边三角形ABC内有一点D，CD=2.5，BD=5，∠BDC= 150°，点E、F在AB、AC上，且AE=AF，则DE+DF的最小值是 ．
【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=7，点D为AB边上任意一点（不与点B重合），在AB上方作等边△BDE，F为DE中点，连结AF,CF，则AF+CF的最小值为 ．
【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，M、N分别是AC、BC边上的动点，AM=CN,连接BM、AN，则BM+AN的最小值是 ．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC=75∘，∠B=60∘，AB=4，点M和点N分别在射线AB与射线CB上，且AM=CN，则AN+CM的最小值为 ；AN+MN的最小值为 ．
【题型4 勾股定理与三角形的翻折问题】
【例4】如图，在△ABC中，AB>AC，∠B=45°，AC=5，BC=42，E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，则EC的长为
【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=9, BC=12，将边AC沿CE翻折，使点A落在边AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B'F的长为 ．
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=10，D是BC的中点，E是AC边上一动点．将△CDE沿DE所在直线折叠得到△C'DE．当△AEC'是直角三角形时，AC'的长为 ．
【变式4-3】有一块直角三角形纸片：
（1）如图1，若两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为 ；
（2）如图2，若两直角边AC=6，BC=8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB'D，边AB与边BC交于点E．若△DEB'为直角三角形，则BD的长为 ．
【题型5 勾股定理与矩形的翻折问题】
【例5】如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，取BE的中点P，连接AP，将△BCE沿BE折叠，当点C恰好落在AD边上的点F处时，则AP的长为 ．
【变式5-1】如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD'E关于直线AE对称，当△AD'B为直角三角形时，DE的长为 ．
【变式5-2】已知△ABC≌△CDE，且∠B=∠D=90°，把△ABC和△CDE拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若AB=4，DE=3．

(1)求AE的长；
(2)将△ABC沿AC折叠，点B落在点F处，延长AF与CE相交于点G，求FG的长．
【变式5-3】在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=8．P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E在边CD上时，求CP的长度．
(2)如图2，当点E在边CD外时，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC=FE，求BP的长．
(3)如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B'处，求BQ的长．
【题型6 勾股定理与全等构造】
【例6】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
(1)如图1，若AB=13，BC=10，求AF的长度；
(2)如图2，若AF=BC，求证：BF2+EF2=AE2．
【变式6-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB=AC,AD=AE，且∠BAC=∠DAE．
(1)如图1，连接BE、CD，求证：BE=CD．
(2)如图2，若∠BAC=∠DAE=90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和CA2之间的数量关系，并加以说明．
【变式6-2】如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
(1)线段AB与线段AC的数量关系为：______．
(2)在（1）的条件下，求证：AE2+AD2=2AC2；
(3)如图2，若AE=2，AC=25，点F是AD的中点，请直接写出CF的长．
【变式6-3】在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．
(1)如图1，当点D、E为AB边上不同两点，且CD=CE，求证：AD=BE；
(2)如图2，当点D、E在AB边上，∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2；
(3)点D、E在直线AB上，∠DCE=45°，其中AC=BC=4，AD=2，直接写出DE长．
1．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A．8B．25C．210D．42
2．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为2，已知AE+BF=6m，BC=5m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程．（π取3）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为 ．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点E,F分别为边AC,AB上的点，连接EF，将△AEF沿着EF翻折，使A点落在BC边上的A'处，BA'=4，则AE的长度为 ：DF的长度为 ．
5．如图，在长方形纸片ABCD中，AD=14cm，AB=24cm，点E为边BC的中点，连接DE，点F在边AB上，连接DF，将△ADF沿DF翻折得到△DFA'．若点A'恰好落在线段DE上，则线段AF的长为 cm．
6．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D, E分别在边AB, BC上运动，且BD=CE，连接AE, CD，则AE+CD的最小值为 ．
7．如图，AD为等腰△ABC底边上的高，AB=AC=6，BC=4，E,F分别是线段AC,AD上的动点，且AF=CE，则BE+CF取最小值时，其最小值为 ．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC=3，BC=4，求CD的长；
(2)求证：BD2-AD2=2DE⋅AB；
(3)求证：CE= 12 AB．
9．已知长方形ABCD，AB=5，BC=4，Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿直线CQ翻折至△B'CQ的位置（点B落在点B'处）．
(1)如图1，连接AC，当点B'落在AC上时，AB'= ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时，B'Q与CD交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线B'Q经过点D时，求BQ的长．
10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，△ECD的顶点D是△ACB的斜边AB上的点，连接AE．
(1)求∠EAC的度数；
(2)求证：AD2+BD2=2CD2
(3)若BD=3AD，请直接写出ECBD的值．