第02讲 二次根式的乘法与除法-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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第一步 学
析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识：6大核心题型精准练
第二步 记
串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步 测
过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 二次根式的乘法】
1.二次根式的乘法法则：
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即a·b=ab，（a≥0，b≥0）.
2.二次根式的乘法法则的拓展：
（1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即a·b·c=abc，（a≥0，b≥0，c≥0）.
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，
即ma·nb=mnab，（a≥0，b≥0）.
3.积的算术平方根：
积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即ab=a·b，（a≥0，b≥0）.
【知识点2 二次根式的除法】
1.二次根式的除法法则：
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即ab=ab，（a≥0，b＞0）.
2.二次根式的除法法则的拓展：
二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即a÷b÷c=a÷b÷c，
（a≥0，b＞0，c＞0）.
3.商的算术平方根：
（1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即ab=ab，（a≥0，b＞0）.
（2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程
方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号.
【知识点3 最简二次根式】
1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简二次根式.
2.化为最简二次根式的步骤：
(1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
(2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方；
(3)利用商的算术平方根ab=ab，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母；
(4)分母有理化，化去分母中的根号；
(5)约分化简，整理成最简二次根式。
【题型1 二次根式的乘法运算】
【例1】计算：
(1)13×27． (2)68×-32． (3)135×23×-102．
【答案】(1)3
(2)-72
(3)-43
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则计算，即可作答．
（2）先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘法法则计算，即可作答．
（3）根据二次根式的乘法法则计算，再结合二次根式的性质化简，即可作答．
【详解】（1）解：13×27
=13×27
=9
=3．
（2）解：68×-32
=122×-32
=-36×2
=-72．
（3）解：135×23×-102
=2×-12×85×3×10
=-16×3
=-43．
【变式1-1】计算：
(1)630×2352； (2)25a⋅10aa≥0．
【答案】(1)203
(2)102a
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．
（1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可；
（2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：630×2352
=6×2330×52
=475
=4×53
=203；
（2）解：25a⋅10aa≥0
=25a⋅10a
=250a2
=2×52a
=102a．
【变式1-2】计算：
(1)20×5； (2)42×(-38)； (3)6a3×3a2(a≥0)．
【答案】(1)10
(2)-48
(3)3a2
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）利用二次根式乘法计算即可；
（2）把根号外的系数相乘，被开方数相乘，再化为最简二次根式即可；
（3）利用二次根式乘法计算即可．
【详解】（1）解：20×5=20×5=100=10；
（2）解：42×(-38)=4×(-3)2×8=-1216=-48；
（3）解：6a3×3a2=6a3×3a2=9a4=3a2．
【变式1-3】计算：
(1)2×1372×4512； (2)1b3ab2⋅ba⋅1ba>0,b>0．
【答案】(1)8315；
(2)3．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解；
（2）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解．
【详解】（1）解：2×1372×4512
=13×4×2×72×512
=4360
=8315；
（2）解：1b3ab2⋅ba⋅1b
=1b3ab2×ba×1b
=1b3b2
=3．
【题型2 二次根式的除法运算】
【例2】计算：
(1)； (2)315÷135； (3)27-153．
【答案】(1)2
(2)2
(3)3-5
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）直接根据二次根式的除法法则计算即可；
（2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可；
（3）直接根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=165÷85=165÷85=165×58=2；
（3）原式=273-153=9-5=3-5．
【变式2-1】计算：
(1)4010； (2)412÷214； (3)672÷(-36)．
【答案】(1)2
(2)2
(3)-43
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键.
（1）根据二次根式的除法法则计算即可，
（2）根据二次根式的除法法则计算即可，
（3）根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】（1）解：4010=4=2；
（2）解：412÷214=92÷94=92×49=2；
（3）解：672÷(-36)=-2×72÷6=-212=-43；
【变式2-2】计算：
(1)245÷32135； (2)12x÷25y； (3)2x2y3xy ； (4)a+22a+2．
【答案】(1)19
(2)53xyy
(3)2x3
(4)a+22
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可；
（4）利用二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：原式=245÷94×85
=245÷185
=245×518
=245×518
=19；
（2）原式=23x×521y
=23x×52×yy
=53xyy；
（3）2x2y3xy
=2xy3xy
=2x3x
=2x3；
（4）a+22a+2
=(a+2)22a+2
=a+22．
【变式2-3】计算：
（1）18÷2；（2）726；（3）2a÷6a；（4）b5÷b20a2．
【答案】（1）3；（2）23；（3）33；（4）2a
【分析】分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质计算即可．
【详解】解：（1）原式=182=9=3；
（2）原式=726=12=23；
（3）原式=2a6a=13=33；
（4）原式=b5×20a2b=4a2=2a．
【题型3 二次根式的乘除混合运算】
【例3】计算：
(1)42÷5×15； (2)312x2y⋅-23x÷254yx≥0,y>0．
【答案】(1)425
(2)-45xx
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：42÷5×15
=42÷5×15
=4225
=425
（2）解：312x2y⋅-23x÷254y
=3×2x⋅3y⋅-23x×52×2y
=-15x⋅3x⋅3yy
=-15x⋅3x
=-45xx
【变式3-1】计算：
(1)912÷5412×36； (2)ab3⋅-32a3b÷13ba．
【答案】(1)36
(2)-92a2bab
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键．
（1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可；
（2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数．
【详解】（1）912÷5412×36
=912×1254×36
=112
=36
（2）ab3⋅-32a3b÷13ba
=-92ab3⋅a3b⋅ab
=-92a2bab
【变式3-2】计算：
(1)123÷213×125； (2)44a2÷2a2⋅-232a(a>0)．
【答案】(1)1
(2)-163
【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键．
（1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简；
（2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可．
解：（1）原式=53÷73×75
=53×37×75
=1．
（2）原式=-4×12×23×4a2⋅2a⋅2a
=-43×16
=-163．
【变式3-3】计算：
(1)3312×18147÷14512； (2)2yxy5⋅32x2y÷13yxx>0,y>0．
【答案】(1)32
(2)9x2yy
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：3312×18147÷14512
=372×18117×4211
=3×18×4×72×117×211
=32．
（2）解：2yxy5⋅32x2y÷13yx
=2y×32xy5⋅x2y÷y3x
=2y×32xy5⋅x2y⋅3xy
=2y×32×3×xy5⋅x2y⋅xy
=2y×32×3×x4y5
=9y⋅x2y2y
=9x2yy
【题型4 最简二次根式的定义】
【例4】下列二次根式：5,12,0.5a,-2a2b,x2+y2，是最简二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【详解】解：下列二次根式：5,12,0.5a,-2a2b,x2+y2中，
是最简二次根式的有5，x2+y2，
其中12,0.5a,-2a2b都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式，
12=22，
0.5a=2a2，
-2a2b=-2ab，
故选：B．
【变式4-1】有下列各式：①2x2y；②ab2；③5a2-b2；④3xy5；⑤75x3y3；⑥x2+y2；⑦2y2c．其中，最简二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式为最简二次根式，进行判断即可．
【详解】解：2x2y=2xy，ab2=2ab2，75x3y3=5xy3xy，2y2c=yc2c，故①，②，⑤，⑦都不是最简二次根式，③5a2-b2，④3xy5，⑥x2+y2，都是最简二次根式，共3个；
故选B．
【变式4-2】若最简二次根式n-12n+1与最简二次根式4n-m相等，则n= ．m= ．
【答案】 3 5
【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案．
【详解】解：最简二次根式n-12n+1与最简二次根式4n-m相等，
∴n-1=2，2n+1=4n-m
解得：n=3，m=5．
故答案为：3，5．
【变式4-3】若2m+n-2和33m-2n+2都是最简二次根式，则m= ，n= ．
【答案】 1 2
【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：∵2m+n-2和33m-2n+2都是最简二次根式，
∴m+n-2=13m-2n+2=1，
解得m=1n=2，
故答案为：1；2．
【题型5 根号内、外因式互移】
【例5】化简：-4ab(a>0)= ．
【答案】-2b-ab
【分析】本题考查化简二次根式，根据最简二次根式的定义，需将根式内的分母去掉，因此要根据a的符号和被开方数的非负性判断出b的符号，然后再化简．
【详解】解：∵ -4ab>0，且a>0，
∴b