专题04 整式的乘法-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

这是一份专题04 整式的乘法-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案），文件包含专题04整式的乘法3个知识点+7个核心考点+复习提升试题版docx、专题04整式的乘法3个知识点+7个核心考点+复习提升解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共63页， 欢迎下载使用。
串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
【知识点1 幂的运算】
【同底数幂的乘法】
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
am⋅an=(a⋅a⋅⋯⋅am个a)⋅(a⋅a⋅⋯⋅an个a)=(a⋅a⋅⋯⋅a(m+n)个a)=am+n
因此，我们有am⋅an=am+n(m，n都是正整数)．
2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：am⋅an⋅ap=am+n+p(m，n，p都是正整数)；am+n=am⋅an(m，n都是正整数)．如23⋅24⋅25=23+4+5=212；28=23⋅25．
【幂的乘方】
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
(am)n=am⋅am⋅⋯⋅amn个am=am+m+⋯+mn个m=amn．
因此，我们有(am)n=amn(m，n都是正整数)．
底数a为负数时，(-am)n=amn，n为偶数，-amn，n为奇数．
2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点
乘法法则
乘方法则
am⋅an=am+n
指数相加
(am)n=amn
指数相乘
底数不变，
其中m，n
都是正整数
【积的乘方】
1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
(ab)n=(ab)⋅(ab)⋅⋯⋅(ab)n个ab=(a⋅a⋅⋯⋅an个a)⋅(b⋅b⋅⋯⋅bn个b)=anbn．
因此，我们有(ab)n=anbn(n为正整数)．
2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【同底数幂的除法】
一般地，我们有am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【知识点2 整式的乘法】
【单项式与单项式相乘】
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【单项式与多项式相乘】
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
【多项式与多项式相乘】
（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
【单项式除以单项式】
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【多项式除以单项式】
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【知识点3 乘法公式】
【平方差公式】
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
【完全平方公式】
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
考点一：整式乘法相关计算
例1．计算：
(1)x2⋅x3⋅x4+x33--2x42⋅x
(2)186.72-2×186.7×86.7+86.72
(3)2x+3y2-2x+y2x-y
(4)a+2b+3ca+2b-3c
【答案】(1)-2x9
(2)10000
(3)12xy+10y2
(4)a2+4ab+4b2-9c2
【分析】本题考查了幂的混合运算，同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，正确进行计算是解题的关键．
（1）先进行同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，然后进行合并同类项；
（2）利用完全平方公式进行简化运算即可；
（3）先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可；
（4）先构造平方差公式，然后利用平方差公式进行运算，再运用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：x2⋅x3⋅x4+x33--2x42⋅x
=x9+x9-4x8⋅x，
=2x9-4x9，
=-2x9；
（2）解：186.72-2×186.7×86.7+86.72，
=186.7-86.72，
=1002，
=10000；
（3）解：2x+3y2-2x+y2x-y，
=4x2+12xy+9y2-4x2-y2，
=4x2+12xy+9y2-4x2+y2，
=12xy+10y2；
（4）解：a+2b+3ca+2b-3c，
=a+2b+3ca+2b-3c，
=a+2b2-3c2，
=a2+4ab+4b2-9c2
【变式1-1】计算
(1)x4⋅x2⋅x3--2x32+x10÷x4．
(2)-2x24xy3-y2+2xy3
(3)n-m2⋅m-n3⋅n-m54；
(4)2x+1x-3-4x4-6x3÷2x2．
【答案】(1)x9-3x6
(2)2x2y2
(3)m-n25
(4)-2x-3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算：
（1）先计算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂除法，再合并，即可求解；
（2）先计算单项式乘以多项式，积的乘方，再合并，即可求解；
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，即可求解；
（4）先计算多项式乘以多项式，多项式除以单项式，再合并，即可求解．
【详解】（1）解：x4⋅x2⋅x3--2x32+x10÷x4
=x9-4x6+x6
=x9-3x6；
（2）解：-2x24xy3-y2+2xy3
=-8x3y3+2x2y2+8x3y3
=2x2y2；
（3）解：n-m2⋅m-n3⋅n-m54
=n-m2⋅m-n3⋅n-m20
=m-n2⋅m-n3⋅m-n20
=m-n25；
（4）解：2x+1x-3-4x4-6x3÷2x2
=2x2+x-6x-3-2x2+3x
=-2x-3．
【变式1-2】（1）计算：
①25x2y⋅-0.5xy2
②-8m4n+12m3n2-4m2n3÷-4m2n
（2）先化简再求值：x+yx-3y-x-y2+x+2yx-2y，其中x=2, y=12．
【答案】（1）①110x4y3；②2m2-3mn+n2；（2）x2-8y2，2
【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘法、多项式除以单项式以及乘法公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可；
②根据多项式除以单项式的法则求解即可；
（2）先计算多项式的乘法、同时根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算整式的加减即可．
【详解】解：（1）①25x2y⋅-0.5xy2
=25x2y⋅14x2y2
=110x4y3；
②-8m4n+12m3n2-4m2n3÷-4m2n
=2m2-3mn+n2；
（2）x+yx-3y-x-y2+x+2yx-2y
=x2-3xy+xy-3y2-x2-2xy+y2+x2-4y2
=x2-2xy-3y2-x2+2xy-y2+x2-4y2
=x2-8y2，
当x=2, y=12时，
原式=22-8×122=4-2=2．
【变式1-3】（1）计算：
①a5b3⋅-2ab32；
②20242-2023×2025；（用乘法公式简便计算）
（2）先化简，再求值：2x+y2x-y-2x-3y2÷-2y，其中x=1，y=2．
【答案】（1）①4a7b9；②1；（2）-6x+5y；4
【分析】本题主要考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟记完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）①先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；②根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则结合平方差公式和完全平方公式进行计算化简，再代值求解即可．
【详解】解：（1）①原式=a5b3⋅4a2b6
=4a7b9；
②原式=20242-2024-1×2024+1
=20242-20242+1
=1；
（2）原式=4x2-y2-4x2+12xy-9y2÷-2y
=12xy-10y2÷-2y
=-6x+5y，
当x=1，y=2时，原式=-6×1+5×2=-6+10=4．
考点二：巧用幂的运算求值
例2.求值：
(1)已知2x+3×3x+3=36x+1，求x的值；
(2)已知n是正整数，且x3n=2，求(3x3n)3+(-2x2n)3的值．
【答案】(1)x的值为1
(2)184
【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为6x+3=62x+2，进而即可求出x的值；
（2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把x3n=2代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ 2x+3×3x+3=36x+1，
∴2×3x+3=62x+1，
即6x+3=62x+2，
∴x+3=2x+2，
解得x=1；
（2）解：(3x3n)3+(-2x2n)3 =3x3n3+-23x3n2，
∵ x3n=2，
∴原式=3×23+-23×22 =184．
【变式2-1】已知：2a=3，2b=5，2c=75．
(1)求22a-22b的值；
(2)求2c-b+2的值；
(3)试说明：a+2b=c．
【答案】(1)-16
(2)60
(3)见解析
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据幂的乘方的逆用可得22a-22b=2a2-2b2，代入计算即可得；
（2）根据同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用可得2c-b+2=2c÷2b×22，代入计算即可得；
（3）根据75=3×5×5可得2a×2b×2b=2c，再根据同底数幂的乘法法则计算即可得．
【详解】（1）解：∵2a=3，2b=5，
∴22a-22b
=2a2-2b2
=32-52
=9-25
=-16．
（2）解：∵2b=5，2c=75，
∴2c-b+2
=2c÷2b×22
=75÷5×4
=60．
（3）解：∵2a=3，2b=5，2c=75，75=3×5×5，
∴2a×2b×2b=2c，
∴2a+2b=2c，
∴a+2b=c．
【变式2-2】已知4m÷2n=8，2m2⋅2n=32．
(1)求2m-n的值；
(2)求n+2m-12m-n+1的值；
(3)计算：-82m-n+2025×0.1252m+n+2022的结果．
【答案】(1)3
(2)16
(3)8
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则求得2m+n=5，结合（1）所求即可解答；
（3）逆用积的乘方法则解答即可．
【详解】（1）解：∵4m÷2n=8，
∴22m÷2n=23，
∴22m-n=23，
∴2m-n=3；
（2）解：∵2m2⋅2n=32，
∴22m⋅2n=25，
∴22m+n=25，
∴2m+n=5；
∵2m-n=3，
∴n+2m-12m-n+1=5-1×3+1=16；
（3）解：∵2m-n=3，2m+n=5，
∴-82m-n+2025×0.1252m+n+2022
=-82028×182027
=8×82027×182027
=8×8×182027
=8×1
=8．
【变式2-3】根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题：
(1)已知ax=3，则a4x⋅a6x= ．
(2)若a3=2，b5=3，请比较a与b大小（请写出过程）．
(3)已知7x=4，7y=5，3p=10，3q=5，解关于s的方程：2s-7x+ys-2=9p-q．
【答案】(1)310
(2)a>b；过程见解析
(3)s=2
【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可；
（2）逆用幂的乘方运算法则，得出a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，根据a15>b15，即可得出答案
（3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出7x+y=20，9p-q=4，再代入2s-7x+ys-2=9p-q，解关于s的方程即可．
【详解】（1）解：∵ax=3，
∴a4x⋅a6x
=ax4⋅a6x
=ax4⋅ax6
=34⋅36
=310；
（2）解：∵a3=2，b5=3，
∴a15=a35=25=32，
b15=b53=33=27，
∵32>27，
∴a15>b15，
∴a>b；
（3）解：∵7x=4，7y=5，
∴7x+y=7x×7y=4×5=20，
∵3p=10，3q=5，
∴9p-q=9p÷9q
=32p÷32q
=32p÷32q
=3p2÷3q2
=102÷52
=100÷25
=4，
把7x+y=20，9p-q=4代入2s-7x+ys-2=9p-q得：
2s-20s-2=4，
解得：s=2．
考点三：整式乘法中的不含某项问题
例3.（1）若x2+nx+3x2-3x的结果中不含x2项，求n的值；
（2）试说明多项式xx2+x-3-x2x-1-2x-12x+1+x2x+1的值与x的取值无关．
【答案】（1）1；（2）见解析
【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令x2项的系数为零，即可求解n；
（2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关．
【详解】解：（1）x2+nx+3x2-3x
=x4-3x3+nx3-3nx2+3x2-9x
=x4-3-nx3-3n-3x2-9x
∵x2+nx+3x2-3x的结果中不含x2项，
∴3n-3=0，
∴n=1；
（2）∵xx2+x-3-x2x-1-2x-12x+1+x2x+1
=x3+x2-3x-x3+x2-22x2+x-2x-1+2x2+x
=x3+x2-3x-x3+x2-4x2+2x+2+2x2+x
=2
∴多项式xx2+x-3-x2x-1-2x-12x+1+x2x+1的值与x的取值无关．
【变式3-1】若x2+px+283x2-3x+q的展开式中不含x2和x3的项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式-2p2q3+6p6q3+p2024q2025的值．
【答案】(1)p=3,q=-13
(2)1613
【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键．
（1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据x2+px+283x2-3x+q的展开式中不含x2和x3的项，得到p-3=0，q-3p+283=0，解方程即可得到答案；
（2）由（1）知，p=3,q=-13，先化简代数式得到-2p3pq3+pq2024q，再将p=3，q=-13，pq=-1代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解：x2+px+283x2-3x+q
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+283x2-28x+283q
=x4+px3-3x3+qx2-3px2+283x2+pqx-28x+283q
=x4+p-3x3+q-3p+283x2+pq-28x+283q，
∵ x2+px+283x2-3x+q的展开式中不含x2和x3的项，
∴ p-3=0，q-3p+283=0，
解得p=3，q=-13；
（2）解：由（1）知，p=3，q=-13，
∴ -2p2q3+6p6q3+p2024q2025
=-8p6q3+6p6q3+p2024q2025
=-2p6q3+p2024q2025
=-2p3pq3+pq2024q，
∵pq=3×-13=-1，
∴原式=-2×33×-13+-12024×-13
=54-13
=1613．
【变式3-2】小红准备完成题目：计算■x-1-3x+1时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：2x-1-3x+1；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】(1)-6x2+5x-1
(2)-3
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则．
（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可；
（2）设被遮住的一次项系数为a，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出ax+3x=0，求解即可．
【详解】（1）解：由题意知：2x-1-3x+1
=-6x2+3x+2x-1
=-6x2+5x-1；
（2）解：设被遮住的一次项系数为a，
即ax-1-3x+1=-3ax2+ax+3x-1，
因为这个题目的正确答案是不含一次项的，
所以ax+3x=0，所以a=-3，
所以被遮住的一次项系数为-3．
【变式3-3】若等式x-s3x+t=3x2+mx-n恒成立．无论t为何值，2m+3n的值始终为一个定值，则这个定值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则得到3x2-3s-tx-st=3x2+mx-n，则m=-3s+t，n=st，进而可得2m+3n=-6s+2t+3st=2+3st-6s，再根据2m+3n是定值，得到2+3s=0，据此求解即可．
【详解】解：∵x-s3x+t=3x2+mx-n，
∴3x2-3sx+tx-st=3x2+mx-n，
∴3x2-3s-tx-st=3x2+mx-n，
∴m=-3s-t=-3s+t，n=st，
∴2m+3n=-6s+2t+3st=2+3st-6s，
∵无论t为何值，2m+3n的值始终为一个定值，
∴2+3s=0，
∴s=-23，
∴2m+3n=-6s+2t+3st=0-6×-23=4，
故答案为：4．
考点四：整式乘法中的规律问题
例4. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则(a+b)10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．512B．1024C．2048D．4096
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律．
根据题意可以得出规律：a+bn展开式中所有项的系数为2n，则(a+b)10展开式中所有项的系数和是210，以此求解．
【详解】解：由题可知，
a+b0展开式中所有项的系数为1；
a+b1展开式中所有项的系数为1+1=2=21；
a+b2展开式中所有项的系数为1+2+1=4=22；
a+b3展开式中所有项的系数为1+3+3+1=8=23；
a+b4展开式中所有项的系数为1+4+6+4+1=16=24；
…
得出规律：a+bn展开式中所有项的系数为2n，
∴(a+b)10展开式中所有项的系数和为：210=1024，
故选：B．
【变式4-1】阅读以下内容：(x-1)(x+1)=x2-1，(x-1)x2+x+1=x3-1，(x-1)x3+x2+x+1=x4-1，根据这一规律填空：
（1）(x-1)x2024+⋅⋅⋅+x2+x+1= ；
（2）计算：1+2+22+23+24+⋅⋅⋅+22024-22025= ．
【答案】 x2025-1 -1
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据给定的等式规律，x-1xn+xn-1+⋯+x+1=xn+1-1，其中n为多项式中最高次项的指数，直接应用此规律；
（2）令x=2，利用规律将求和部分化简，再计算表达式值．
【详解】解：（1）由规律可知，x-1xn+xn-1+⋯+x+1=xn+1-1，
此处n=2024，故x-1x2024+⋯+x+1=x2025-1，
故答案为：x2025-1；
（2）根据规律，2-122024+22023+⋯+2+1=22025-1，
即1+2+22+⋯+22024=22025-1，
故原式=22025-1-22025=-1，
故答案为：-1．
【变式4-2】观察下列各式：
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该二维码7天内(11月23日前)有效，重新进入将更新①(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
②(x+2)(x-3)=x2-x-6；
③(x-2)(x+3)=x2+x-6；
④(x-2)(x-3)=x2-5x+6．
请回答下列问题：
(1)总结公式：(x+a)(x+b)=x2+____x+ab；
(2)已知a，b，m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+5，求m的值．
【答案】(1)(a+b)
(2)m的值为6或-6
【分析】本题主要考查了整式的乘法，
对于（1），根据上述过程解答；
对于（2），根据（1）可得ab=5，a+b=m，再根据讨论a，b的取值可得答案．
【详解】（1）解：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab；
故答案为：(a+b)；
（2）解：∵(x+a)(x+b)=x2+mx+5，
由（1）得：ab=5，a+b=m，
∵a，b，m均为整数，
∴有以下四种情况：
①a=1，b=5；②a=-1，b=-5；③a=5，b=1；④a=-5，b=-1，
①当a=1，b=5时，m=a+b=6；
②当a=-1，b=-5时，m=a+b=-6；
③当a=5，b=1时，m=a+b=6；
④当a=-5，b=-1时，m=a+b=-6，
综上所述：m的值为6或-6．
【变式4-3】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
(1)①(a+b)n的展开式共有______项；②根据上面的规律，则(a+b)5的展开式=______．
(2)运用：今天是星期一，经过82025天后是星期几？
(3)若(2x-1)2025=a1x2025+a2x2024+⋅⋅⋅+a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+⋅⋅⋅+a2024+a2025的值．
【答案】(1)n+1，a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(2)二
(3)2
【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：
（1）根据给出的等式，得出规律，故a+bn的展开式共有n+1项，观察规律可知，a+b5的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答；
（2）利用7天为一个周期，82025=7+12025的最后一项是1， 则82025÷7的余数是1，即可得出答案；
（3）分别令x=1和x=0，进行求解即可．
【详解】（1）解：观察可知：a+b1的展开式有2项，a+b2的展开式有3项，a+b3的展开式有4项，a+b4的展开式有5项，依次类推，a+bn共有n+1项，
观察可知a+b5的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1
则a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）解：依题意，82025=7+12025，其展开式的最后一项为1，
∴82025÷7的余数为1，
∵今天是星期一，
∴经过82025天后是星期二；
（3）解：∵2x-12025=a1x2025+a2x2024+⋯+a2024x2+a2025x+a2026，
∴当x=1时，2×1-12025=a1⋅12025+a2⋅12024+⋯+a2024⋅12+a2025⋅1+a2026，
即：a1+a2+⋯+a2024+a2025+a2026=1；
当x=0时，2×0-12025=a2026，即：a2026=-1，
∴a1+a2+⋯+a2024+a2025-1=1，
∴a1+a2+⋯+a2024+a2025=2
考点五：巧用乘法公式求值
例5. 已知x+y=7，xy=9，求下列各式的值．
(1)x2-2xy+y2；
(2)x2+y22．
【答案】(1)13
(2)961
【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含x+y和xy的形式．
（1）将x2-2xy+y2结合完全平方公式转化为x+y2-4xy，代入x+y=7，xy=9计算．
（2）将x2+y2变形为x+y2-2xy，代入已知值求出x2+y2，再对其平方得到结果．
【详解】（1）∵x+y=7，xy=9，
∴x2-2xy+y2=x+y2-4xy=72-4×9=49-36=13．
（2）∵x+y=7，xy=9，
∴x2+y2=x+y2-2xy=49-18=31，
∴x2+y22=312=961．
【变式5-1】已知a-b=8，若ab+c2-16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】8
【分析】本题考查利用完全平方式进行配方，消元法的应用，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．
【详解】解：∵a-b=8，
∴a=b+8，
∵ab+c2-16c+80=0，
∴ bb+8+c2-16c+80=0，
b2+8b+c2-16c+80=0，
b2+8b+16+c2-16c+64=0，
b+42+c-82=0．
∵b+42≥0，c-82≥0，
∴b=-4，c=8，
∴a=-4+8=4，
∴a+b+c=4+-4+8=8．
【变式5-2】若a+x2=2022,b+x2=2023,c+x2=2024，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，根据a2+b2+c2-ab-bc-ca =a-b2+a-c2+b-c2×12，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，x2=2022-a=2023-b=2024-c，
则a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
a2+b2+c2-ab-bc-ca
=2a2+b2+c2-ab-bc-ca×12
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca×12
=a-b2+a-c2+b-c2×12
=1+4+1×12
=3．
故选：D．
【变式5-3】若x满足2024-x2+2026-x2=4042，则2024-x2026-x的值为 ．
【答案】2019
【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设a=2024-x，b=2026-x，则已知 a2+b2=4042，且b-a=2．利用完全平方公式 b-a2=a2+b2-2ab，代入已知值求解ab即可．
【详解】解：设a=2024-x，b=2026-x，则a2+b2=4042，b-a=2026-x-2024-x=2；
∵b-a2=a2+b2-2ab，
∴22=4042-2ab，即4=4042-2ab
∴2ab=4042-4=4038
∴ab=2019
故2024-x2026-x=ab=2019；
故答案为：2019．
考点六：平方差公式与几何图形
例6. 已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题：
(1)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是________．
(2)请利用你得到的等式解决下面的问题：
①计算：20242-2020×2028；
②求2+122+124+128+1⋯264+1+1的结果的个位数字．
【答案】(1)a+ba-b=a2-b2
(2)①16；②6
【分析】（1）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解；
（2）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为2128，再找出个位数字的变化规律即可求解；
本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：由图2可得，阴影部分的面积为a+ba-b；由图3可得，阴影部分的面积为a2-b2，
∴得到的等式是a+ba-b=a2-b2，
故答案为：a+ba-b=a2-b2；
（2）解：①20242-2020×2028
=20242-2024-4×2024+4
=20242-20242-42
=20242-20242+16
=16；
②原式=2-12+122+124+128+1⋯264+1+1
=22-122+124+128+1⋯264+1+1
=24-124+128+1⋯264+1+1
⋯
=2128-1+1
=2128，
∵21=2，个位数字是2，
22=4，个位数字是4，
23=8，个位数字是8，
24=16，个位数字是6，
25=32，个位数字是2，
⋯，
∴个位数字以2，4，8，6的规律重复出现，
∵128÷4=32，
∴2128的个位数字为6，
即2+122+124+128+1⋯264+1+1的结果的个位数字为6．
【变式6-1】【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________．
（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2=12+n2，2m+n=4，则2m-n的值为=___________．
（2）计算：20232-2024×2022．
【扩展】计算：1002-992+982-972+⋯+42-32+22-12
【答案】【探究】a2-b2=a+ba-b【应用】（1）3，（2）1；【扩展】5050
【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用．
探究：利用图形的面积得出平方差公式；
应用：（1）利用平方差公式进行求解即可；
（2）利用平方差公式进行求解即可；
扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可．
【详解】解：【探究】a2-b2=a+ba-b，
故答案为：a2-b2=a+ba-b；
【应用】（1）由4m2=12+n2得，4m2-n2=12，
即2m+n2m-n=12，
将2m+n=4代入上式得，2m-n=3；
故答案为：3；
（2）原式=20232-2023+1×2023-1
=20232-20232+1
=1；
【扩展】1002-992+982-972+⋯+42-32+22-12
=100+99×100-99+98+97×98-97+⋯+4+3×4-3+2+1×2-1
=100+99+98+97+⋯4+3+2+1
=5050．
【变式6-2】数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）；
(2)利用“平方差公式”计算：20252-2026×2024
(3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究a+b+c2的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出a+b+c2的展开式；
(4)利用（3）的结论，计算：m+2n-12．
【答案】(1)①②③
(2)1
(3)见解析，a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(4)m2+4n2+4mn-2m-4n+1
【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键．
（1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得；
（2）将原式变形为20252-2025+1×2025-1，利用平方差公式计算即可得；
（3）画出一个边长为a+b+c大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得；
（4）利用（3）的结果进行计算即可得．
【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为a+b，且这条边上的高等于a-b的平行四边形的面积，
则a2-b2=a+ba-b，可以验证平方差公式；
图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为a+b、宽为a-b的长方形的面积，
则a2-b2=a+ba-b，可以验证平方差公式；
图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于b，下底等于a，高等于a-b的直角梯形的面积，
则a2-b2=2×b+aa-b2=a+ba-b，可以验证平方差公式；
图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为2a、宽为2b的长方形的面积，
则a+b2-a-b2=2a⋅2b=4ab，不可以验证平方差公式；
故答案为：①②③．
（2）解：20252-2026×2024
=20252-2025+1×2025-1
=20252-20252-1
=20252-20252+1
=1．
（3）解：由题意画出图形如下：
由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和，
则a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（4）解：m+2n-12
=m2+2n2+-12+2⋅m⋅2n+2⋅m⋅-1+2⋅2n⋅-1
=m2+4n2+1+4mn-2m-4n
=m2+4n2+4mn-2m-4n+1
=m2+4n2+1+4mn-2m-4n
=m2+4n2+4mn-2m-4n+1．
【变式6-3】综合与实践
【素材】
如图1，一张长方形硬纸板，长为a+b，宽为a-b；
【实践操作】
步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形；
步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方．
【实践探索】
（1）①图2中的阴影部分的面积是______；
②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______．
【实践应用】
（2）如图3，∠ACB=∠EDF=90°,AC=BC,DE=DF,B,E,C,F在同一条直线上，若AD=4，阴影部分的面积为18，求BF的长度．
【实践拓展】
（3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当a=5时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以5+b5-b≤25，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当-5