专题06 分式-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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【知识点1 分式】
【分式的概念】
（1）分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
（2）一个式子是分式需满足的三个条件：
①是形如的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
【注意】
（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
【分式有意义、无意义的条件】
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0．
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0．
【注意】
（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．
（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了．
【分式的值为0的条件】
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0．
分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．
【拓展】对于分式，
若的值为正数，则或；
若的值为负数，则或；
若的值为1，则A=B且B≠0；
（4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0．
【分式的基本性质】
（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．
分式的基本性质是分式变形的理论依据．
【注意】
①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．
用式子表示为：
或
【约分、最简分式】
（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【归纳】
（1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式．
（2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．
（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．
（4）约分的结果是整式或最简分式．
（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．
【通分】
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
约分与通分的联系与区别：
（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值．
（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．
（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【注意】
（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．
确定最简公分母的方法：
（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．
通分的步骤：
（1）求各分式的最简公分母；
（2）用这个最简公分母除以分式的分母；
（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．
【知识点2 分式的运算】
【分式的乘除】
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为
【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．
（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．
（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．
（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．
【分式的乘方】
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
【注意】
（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成．
（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
【分式的加减】
（1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为．
（2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为．
【注意】
（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．
（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．
（3）异分母分式相加减的一般步骤：
①通分：将异分母分式转化成同分母分式；
②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；
③合并：分子去括号，合并同类项；
④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．
【分式的混合运算】
（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．
（2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．
【整数指数幂与科学记数法】
（1）整数指数幂：
若m，n为正整数，a≠0，则．
又因为，所以．
一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．
整数指数幂的运算性质
①；②；③；
④；⑤．
上述式子中，m，n均为任意整数．
（2）科学记数法
用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a