专题03 轴对称-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

这是一份专题03 轴对称-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案），文件包含专题03轴对称6个知识点+10个核心考点+复习提升试题版docx、专题03轴对称6个知识点+10个核心考点+复习提升解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共107页， 欢迎下载使用。
串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
【知识点1 轴对称及其性质】
【轴对称图形与对称轴】
1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
【注意】
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
【两个图形成轴对称】
1．轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
2．轴对称和轴对称图形的区别与联系
【两个图形成轴对称和轴对称图形的性质】
（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．
（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
【知识点2 线段的垂直平分线的性质】
【线段垂直平分线的定义及性质】
1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB.
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
【线段垂直平分线的判定】
方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。
【作已知线段的垂直平分线】
已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线．
作法：
①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。
②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示：
【知识点3 画轴对称图形】
【轴对称变换】
1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。
2.性质：
①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。
②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。
③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。
【作轴对称图形】
1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
2.具体步骤：
①找图形的关键点。
②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。
③按照原图形连接各对应点。
【关于坐标轴对称的点的坐标的特点】
1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y).
2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法
（1）写出坐标—写出对称点的坐标；
（2）描点—根据对称点的坐标描点；
（3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形.
【知识点4 等腰三角形】
【等腰三角形的性质】
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
【等腰三角形的判定】
1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【作一个等腰三角形】
尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形.
作法：如图（2）
①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h；
④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
【知识点5 等边三角形】
【等边三角形的性质】
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【等边三角形的判定】
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点6 含30°角的直角三角形的性质】
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD.
又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC，
所以BC=12AB.由此可以得到上述结论.
考点一：轴对称性质的应用
例1．如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1、P关于OA对称，点P2、P关于OB对称，连接P1P2，分别交OA，OB于C，D，连接PC，PD．若P1P2=10cm，求△PCD的周长．
【答案】10cm
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等．
根据轴对称的性质得出PC=P1C，PD=P2D，即可解答．
【详解】解：∵点P1、P关于OA对称，点P2、P关于OB对称，
∴PC=P1C，PD=P2D，
∵P1P2=P1C+CD+P2D=10cm，
∴△PCD的周长=PC+CD+PD=10cm．
【变式1-1】如图，△ABC中，点D在BC上，连接AD，分别以AB、AC为对称轴，作点D的对称点E、F，连接AE、AF．
(1)如图1，若∠BAC=60°，求∠EAF的度数．
(2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出∠BAC的度数．
【答案】(1)∠EAF=120°
(2)90°
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
（1）利用轴对称的性质解答即可；
（2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出∠EAB+∠FAC+∠BAD+∠CAD=180°，根据轴对称的性质得出∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，即可得出∠EAB+∠FAC=∠BAD+∠CAD=∠BAC，从而得出2∠BAC=180°，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以AB、AC为对称轴的对称点，
∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，
∴∠EAB+∠FAC=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠EAB+∠FAC+∠BAC=60°+60°=120°；
（2）解：∵E，A，F三点在同一直线上，
∴∠EAB+∠FAC+∠BAD+∠CAD=180°，
∵点E、F分别是点D以AB、AC为对称轴的对称点，
∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，
∴∠EAB+∠FAC=∠BAD+∠CAD=∠BAC，
∴2∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°．
【变式1-2】在△ABC中，AB=AC，∠CAB=46°，在△ABC的外侧作直线AP，作点C关于直线AP的对称点D，连接BD，CD，AD，其中BD交直线AP于点E．
(1)如图1，①若AD=5，BC=3，求△ABC的周长；②若∠PAC=25°，求∠BDC的度数；
(2)如图2，当∠PAC=90°时，作AF⊥CE于点F，若EF=2，BE=6，求DE的长．
【答案】(1)①13；②23°
(2)10
【分析】（1）①由对称可得，AC=AD=5，然后求出AB=AC=5，然后根据三角形周长公式求解即可；
②由对称可得，∠PAD=∠PAC=25°，求出∠DAC=25°+25°=50°，∠DAB=∠DAP+∠CAP+∠BAC=96°，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，过点A作AG⊥DB于点G，首先利用三线合一得到∠CEP=∠DEP，得到AF=AG，证明出Rt△AEF≌Rt△AEGHL，得到GE=FE=2，然后求出DG=BG=8，进而求解即可．
【详解】（1）解：①由对称可得，AC=AD=5，
∴AB=AC=5，
∵BC=3，
∴△ABC的周长=AC+AB+BC=5+5+3=13；
②∵∠PAC=25°，
由对称可得，∠PAD=∠PAC=25°，
∴∠DAC=25°+25°=50°，
∵∠CAB=46°，
∴∠DAB=∠DAP+∠CAP+∠BAC=96°，
∵AD=AC=AB，
∴ADB=∠ABD=12180°-∠DAB=42°，∠ADC=∠ACD=12180°-∠DAC=65°，
∴∠BDC=ADC-∠ADB=23°；
（2）解：如图所示，过点A作AG⊥DB于点G，
∵∠PAC=90°，
由对称可得，AC=AD，
∴AP⊥CD，
∴CE=DE，
∴∠CEP=∠DEP，
∵AF⊥CE，AG⊥DB，
∴AF=AG，
又∵AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEGHL，
∴GE=FE=2，
∴GB=GE+BE=2+6=8，
∵AB=AC，
∴AB=AD，
∵AG⊥DB，
∴DG=BG=8，
∴DE=DG+GE=8+2=10．
【变式1-3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点M是边AB上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线CM对称，点B和点P关于直线CM对称，直线CM与线段AQ交于点E，连接AP、PM、QM、CQ，设∠BMC=α．
(1)若α=50°，直接写出∠BMP的度数；
(2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由；
(3)若AC=10，AB=8，BC=6，求△AMP与△AQM的面积之和的最大值．
【答案】(1)∠BMP=100°；
(2)点P、M、Q在同一条直线上，理由见解析
(3)△AMP和△AQM的面积之和的最大值是16
【分析】（1）根据轴对称的性质得到∠CMB=∠CMP=50°，于是得到∠BMP=100°；
（2）根据轴对称的性质得到∠CMP=∠BMC=α，求得∠BMP=2∠BMC=2a，根据轴对称性质得到∠QME=∠AME=α，得到∠AMQ=2∠AME=2α，求得∠BMP=∠AMQ，推出∠AMP+∠AMQ=180°，于是得到点P、M、Q在同一条直线上；
（3）过Q作QH⊥AB于点H，连接BQ，设CQ与AB相交于点D，根据轴对称的性质得到CQ=AC=10，推出△AMP≌△QMB，得到S△AMP+S△AQM=S△QMB+S△AQM=S△AQB，得到QH≤4，当点H、D与点B重合时，QH最大值是4；根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点B和点P关于直线CM对称，
∴∠CMB=∠CMP=50°，
∴∠BMP=∠CMB+∠CMP=100°；
（2）解：点P、M、Q在同一条直线上，理由如下：
∵∠BMC=α，
∴∠AME=α，
∵点B和点P关于直线CM对称，
∴∠CMP=∠BMC=α，
∴∠BMP=2∠BMC=2a，
∵点A和点Q关于直线CM对称，
∴∠QME=∠AME=α，
∴∠AMQ=2∠AME=2α，
∴∠BMP=∠AMQ，
∵∠AMP+∠BMP=180°，
∴∠AMP+∠AMQ=180°，
∴点P、M、Q在同一条直线上；
（3）解：过Q作QH⊥AB于点H，连接BQ，设CQ与AB相交于点D，
∵点A和点Q关于直线CM对称，AC=10，
∴CQ=AC=10，
∵点A和点Q关于直线CM对称，点B和点P关于直线CM对称，
∴△AMP和△QMB关于直线CM对称，
∴△AMP≌△QMB，
∴S△AMP+S△AQM=S△QMB+S△AQM=S△AQB，
∵BC≤CD，QH≤DQ，
∴BC+QH≤CD+DQ，
∵BC=6，CD+DQ=CQ=10，
∴6+QH≤10，
∴QH≤4，
∴当点H、D与点B重合时，QH最大值是4；
∴S△AQB=12AB⋅QH，
又∵AB=8，
∴S△AQB=12AB⋅QH=12×8×4=16，
故△AMP和△AQM的面积之和的最大值是16．
考点二：线段垂直平分线的性质应用
例2.如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB=100°．若O是△ABC三边垂直平分线的交点，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】D
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角等知识，先根据“O是△ABC三边垂直平分线的交点”得到OA=OB，OA=OC，从而可知∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，用三角形的内角和求出∠BAC，从而得到∠OBA+∠OCA=80°，则∠OBC+∠OCB=20°，最后再用三角形内角和求解即可．
【详解】如图，连接OA．
∵O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BAC=180°-∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，
∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC=80°，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB-∠OBA+∠OCA=100°-80°=20°，
∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-20°=160°．
故选：D．
【变式2-1】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF、若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．
【答案】48°/48度
【分析】由角平分线的定义可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分线的性质可得BF=CF，从而得到∠FBC=∠FCB，进而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，
∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，
故答案为：48°．
【变式2-2】如图，ΔABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．若△ABC周长为13cm，AC=6cm，DC= cm．
【答案】3.5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，
先根据线段垂直平分线的性质和判定得AB=AE=CE，再根据△ABC的周长为13cm，AC=6cm，求出AB+BC=7cm，然后等量代换可得答案．
【详解】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE．
∵AD⊥BC,BD=DE，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB=AE=CE．
∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7(cm)，
∴AB+CE+BD+DE=7cm，
则2CE+2DE=7，
∴CE+DE=3.5cm，
即CD=3.5cm．
故答案为：3.5．
【变式2-3】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O．若S△ODE=1，S△ADE=4，则S△BOC= ．

【答案】6
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，连接AO，根据S△ODE=1，S△ADE=4，可得：S四边形ADOE=5，根据SSS可证△ADO≌△BDO，可得：S△ADO=S△BDO，同理可证：S△AEO=S△CEO，从而可证：S△BDO+S△CEO=S四边形ADOE=5，即可得到：S△OBC=S△BDO+S△CEO+S△ODE=6．
【详解】解：如图，连接AO，

∵S△ODE=1，S△ADE=4，
∴S四边形ADOE=S△ODE+S△ADE=1+4=5，
∵MD是AB的垂直平分线，
∴AO=BO，AD=BD，
在△ADO和△BDO中，
AO=BOAD=BDOD=OD，
∴△ADO≌△BDOSSS，
∴S△ADO=S△BDO，
同理可证：S△AEO=S△CEO，
∴S△BDO+S△CEO=S△ADO+S△CEO=S四边形ADOE=5，
∴S△OBC=S△BDO+S△CEO+S△ODE=5+1=6．
故答案为：6．
考点三：线段垂直平分线的判定与性质综合
例3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB=70°．求证：BE=AC．
【答案】见解析
【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB的垂直平分线EF，即可得出AE=BE,即可证明．
【详解】证明：连接AE，
∵∠ACB=70°，∠DAC=20°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-20°-70°=90°，
∴AD⊥EC．
∵点D为线段CE的中点，
∴DE=DC，
∴AD垂直平分线段CE，
∴AE=AC，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE=AC．
【变式4-3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=EB．
(2)连接CE，求证：AD垂直平分CE．
(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)CF=2
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．
（1）利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF=EB；
（2）利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC=DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；
（3）设CF=BE=x，则AE=AB-BE=10-x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
又AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DF=DBDC=DE，
∴Rt△DCF≌Rt△DEBHL，
∴CF=EB．
（2）证明：连接CE，如图，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADDC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AEDHL，
∴AC=AE名称
关系
轴对称
轴对称图形
区别
意义不同
两个图形之间的特殊位置关系
一个形状特殊的图形
图形个数
两个图形
一个图形
对称轴的位置不同
可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）
一定经过这个图形
对称轴的数量
只有一条
有一条或多条
联系
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称
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该二维码7天内(11月23日前)有效，重新进入将更新∴点A在CE的垂直平分线上，
∵DC=DE，
∴点D在CE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE；
（3）解：设CF=BE=x，
∵AB=10，AF=6，
∴AE=AB-BE=10-x，AC=AF+FC=6+x，
∵AE=AC，
∴10-x=6+x，
解得：x=2，
∴CF=2．
【变式3-2】如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E．
(1)若AB=9，△ABD的周长为19，求AC的长度；
(2)若∠ADB=90°，求∠ACB的度数；
(3)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由．
【答案】(1)AC=10
(2)∠ACB=45°
(3)点P在边AB的垂直平分线上，理由见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质得BD=CD，再根据△ABD的周长为19、AB=9得BD+AD=10，所以CD+AD=10，即AC=10；
（2）由∠ADB=90°得∠BDC=90°，由线段垂直平分线的性质得BD=CD，所以∠ACB=∠DBC=45°；
（3）由线段垂直平分线的性质得PB=PC，PA=PC，所以PA=PB，即可得解．
【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长为19，
∴AB+BD+AD=19，
∵AB=9，
∴BD+AD=10，
∴CD+AD=10，
∴AC=10；
（2）解：∵∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵直线l垂直平分边BC，
∴BD=CD，
∴∠ACB=∠DBC=45°；
（3）解：点P在边AB的垂直平分线上，理由如下：
连接PA、PB，
∵直线l垂直平分边BC，点P在直线l上，
∴PB=PC，
∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
∴PA=PB，
∴点P在边AB的垂直平分线上．
【变式3-3】如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上点，连接CD，∠ACD的平分线交AB于点E，并延长至点F，使得EF=AF，且∠EAF=∠ECB．
(1)求证：CD⊥AB．
(2)如图2，若EG⊥AC，点H为CD上一点，连接AH，K为AH中点，且EK⊥AH，求证：AG=DH．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义设∠ACE=∠DCE=α，则∠ECD=α+∠1，根据EF=AF得∠EAF=∠3=α+∠2，再根据∠EAF=∠ECB得∠1=∠2，然后根据∠2+∠B=90°得∠1+∠B=90°，据此即可得出结论；
（2）连接HE，先根据角平分线的性质得EG=ED，再证明EK是线段AH的垂直平分线，则AE=HE，然后可依据HL判定Rt△AEG和Rt△HED全等，再根据全等三角形的性质可得出结论
【详解】（1）证明：如图1，
∵CE平分∠ACD，
∴设∠ACE=∠DCE=α，
∴∠ECB=∠DCE+∠1=α+∠1，
∵EF=AF，
∴∠EAF=∠3
又∵∠3=∠ACE+∠2=α+∠2
∴∠EAF=α+∠2，
∴∠EAF=∠ECB，
∴α+∠1=α+∠2
∴∠1=∠2，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°
∴∠1+∠B=90°，
在△BCD中，∠CDB=180°-∠1+∠B=90°，
∴CD⊥AB；
（2）证明：连接HE，如图：
∵CE平分∠ACD，EG⊥AC,CD⊥AB，
∴EG=ED，
∵点K为AH中点，且EF⊥AK，
∴EK为AH的垂直平分线，
∴AE=HE，
在Rt△AEG和Rt△HED中，
AE=HEEG=ED，
∴Rt△AEG≌Rt△HEDHL，
∴AG=DH．
考点四：等腰三角形的性质应用（等边对等角）
例4. 如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB=BE，AC=CD，连接AD，AE．若∠BAC=110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出∠B+∠C=70°，根据AB=BE，AC=CD得∠BAE=90°-12∠B，∠CAD=90°-12∠C，则∠BAE+∠CAD=180°-12(∠B+∠C)=145°，然后根据∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=70°．
∵AB=BE，
∴∠BAE=12(180°-∠B)=90°-12∠B．
又∵AC=CD，
∴∠CAD=12(180°-∠C)=90°-12∠C，
∴∠BAE+∠CAD=180°-12(∠B+∠C)=180°-12×70°=145°，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=145°-110°=35°．
故选：C．
【变式4-1】如图，C，E和B，D，F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠1=90°，则∠A的度数为 ．
【答案】18°
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，由AB=BC=CD=DE=EF，根据等腰三角形的性质，即可得∠ACB=∠A，∠CDB=∠CBD，∠CED=∠DCE，∠EFD=∠EDF，然后设∠ACB=∠A=α，用α表示相关等腰三角形的底角，并结合三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵AB=BC，
∴设∠ACB=∠A=α，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=2α，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=2α，
∴∠DCE=∠A+∠CDA=α+2α=3α，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=3α，
∴∠EDF=∠A+∠AED=α+3α=4α，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=4α，
∴∠GEF=∠A+∠AFE=α+4α=90°，
∴α=18°，
∴∠A的度数为18°
故答案为：18°．
【变式4-2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC的延长线上，点G是AC上一点，且CG=CD，点F是GD上一点，且DF=DE．若∠A=100°，则∠E= ．
【答案】10°/10度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，通过等量代换得出∠ACB=4∠E是解题的关键．
由DF=DE，CG=CD，得出∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义得出∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CDG，从而得出∠ACB=4∠E，进一步求得答案即可．
【详解】解：∵DF=DE，CG=CD，
∴∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，
∵∠GDC=∠E+∠DFE，∠ACB=∠CDG+∠CGD，
∴∠GDC=2∠E，∠ACB=2∠CDG，
∴∠ACB=4∠E，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=100°，
∴∠ACB=12180°-∠A=40°，
∴∠E=14∠ACB=10°．
故答案为：10°．
【变式4-3】如图，在△ABC中，过顶点B的一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，且∠C是其中一个等腰三角形的顶角．
(1)当∠C=40°时，∠ABC是多少度？说明理由；
(2)当∠C为△ABC中最小角时，请探究∠ABC与∠C之间的数量关系．
【答案】(1)105°，理由见解析
(2)∠ABC=135°-34∠C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，注意同一个三角形中内角不能存在两个钝角．
（1）过B作直线BE交AC于D．可以求出∠DBC和∠ADB的度数，从而求解；
（2）先证出∠A不能为另一等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解．
【详解】（1）解：∠ABC=105°，
理由：过B作直线BE交AC于D，则△BCD、△ABD是等腰三角形．
∵∠C为顶角，
∴∠DBC=∠CDB=180°-40°2=70°，
∴∠ADB=110°，∠ABD=∠A=180°-110°2=35°，
∴∠ABC=35°+70°=105°．
（2）解：∠ABC=135°-34∠C，理由如下：
∵∠C是其中一个等腰三角形的顶角，
∴CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD=12180°-∠C=90°-12∠C，
∴∠ADB=∠C+90°-12∠C=90°+12∠C，
∴∠ADB必为钝角，
∵同一个三角形中内角不能存在两个钝角，
∴ ∠A不能为顶角，
∴∠ADB为等腰三角形的顶角，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠DAB=12∠BDC=1290°-12∠C=45°-14∠C，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°-14∠C+90°-12∠C=135°-34∠C，
∴∠ABC=135°-34∠C．
考点五：等腰三角形的性质应用（三线合一）
例5. 如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE是解题的关键．
延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=12S△ABC．即可求出答案．
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
∠BAD=∠EADAD=AD∠BDA=∠EDA，
∴△ABD≌△AED(ASA)，
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC=12S△ABC，
∴SΔABC=2×4=8；
故答案为：8．
【变式5-1】已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF=CG，求证：DE⊥BC．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键．
由角平分线性质可得EF=EG，可证△BFE≌△CGESAS，得BE=CE，由D为BC的中点，三线合一即可得出DE⊥BC．
【详解】证明：如图，连接BE、CE，
∵E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠BFE=∠CGE=90°，
在△BFE和△CGE中，
EF=EG∠BFE=∠CGEBF=CG，
∴△BFE≌△CGESAS，
∴BE=CE，
又∵D为BC的中点，
∴DE⊥BC．
【变式5-2】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=66°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠B=38°
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接AE，由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合题意得出AE=AC，再由等腰三角形的性质即可得解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由等边对等角得出∠B=∠BAE，再由三角形外角的定义及性质得出∠AEC=2∠B，由等边对等角得出∠C=∠AEC=2∠B，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接AE，
，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，
由（1）可得：AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2∠B，
∵∠BAC=66°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+2∠B+66°=180°，
∴∠B=38°．
【变式5-3】如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE．
(1)如图2，将仪器放置在锐角△ABC上，使点O与点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P，求证：PA平分∠BAC；
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，H在边AC上，若PH=BP，求证：AQ=AH+BQ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）证明△ADF≌△AEF，即可解答；
（2）在AB上截取AG=AH，证明△PAG≌△PAH，可得PG=PH，从而得到PG=BP，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：在△ADF和△AEF中
AD=AEFD=FEAF=AF
∴△ADF≌△AEFSSS
∴∠DAF=∠EAF，
∴AP是∠BAC的平分线；
（2）证明：在AB上截取AG=AH，
由（1）得：AP平分∠BAC，
∴∠PAG=∠PAH，
在△PAG和△PAH中，
AG=AH∠PAG=∠PAHAP=AP
∴△PAG≌△PAHSAS，
∴PG=PH
∵PH=BP，
∴PG=BP，
∵PQ⊥AB
∴QB=QG，
∴AQ=AG+GQ=AH+BQ．
考点六：等腰三角形的判定与性质综合
例6. 如图，在△ABC中，AB=BC，AD平分∠BAC，点E，F分别在边AB，AC上，∠B=36°，∠EDF=3∠B．
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)若CF=3，BE=4.5，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)7.5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠ACB=72°，根据角平分线的定义求出∠BAD=∠DAC=36°=∠B，然后根据等角对等边即可得证；
（2）证明△BED≌△AFD(ASA)，得出BE=AF=4.5，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=BC，∠B=36°，
∴∠BAC=∠ACB=72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=36°，
∴∠B=∠BAD=36°
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）解：由（1）知DB=DA，∠B=∠BAD=∠DAC=36°
∴∠BDA=180°-∠CBA-∠BAD=108°，
∵∠EDF=3∠B=3×36°=108°．
∴∠EDF=∠BDA=108°
∴∠EDB=108°-∠EDA，
∠ADF=108°-∠EDA，
∴∠EDB=∠ADF
在△BED和△AFD中，
∠EDB=∠FDADB=DA∠B=∠DAC
∴△BED≌△AFD(ASA)
∴BE=AF=4.5，
∵CF=3，
∴AC=AF+FC=4.5+3=7.5．
【变式6-1】如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=4，D是BC的中点．动点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C．连接PQ、DP和DQ．设点P的运动时间为ts．
(1)求证：△DPQ是等腰三角形；
(2)若△BDP是等腰三角形，直接写出∠APD的大小．
【答案】(1)见解析
(2)105°或60°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合等边对等角得∠B=∠C，再由线段的中点得BD=CD，即可证明△BPD≌△CQDSAS，故PD=QD，即可作答．
（2）先得出∠ADB=90°，结合△BDP是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵AB=AC=4，
∴∠B=∠C
∵D是BC的中点．
∴BD=CD
∵动点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C．
∴AP=AQ，
则AB-AP=AC-AQ，
即BP=CQ，
∴△BPD≌△CQDSAS，
∴PD=QD，
∴△DPQ是等腰三角形；
（2）解：连接AD，
∵AB=AC=4，D是BC的中点．
∴AD⊥BC，
即∠ADB=90°，
∵∠A=120°，AB=AC=4，
∴∠B=∠C=180°-120°2=30°，
依题意，当BP=BD时，
则∠BPD=∠BDP=180°-30°2=75°
∴∠APD=180°-∠BPD=180°-75°=105°；
依题意，当BP=PD时，
则∠BDP=∠B=30°
∴∠APD=∠BDP+∠B=60°；
依题意，当BD=PD时，
则∠BPD=∠B=30°
∴∠BDP=180°-30°-30°=120°>90°（舍去）；
综上：△BDP是等腰三角形，则∠APD =105°或60°．
【变式6-2】如图，AD为△ABC的角平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点G．
(1)求证：△AFG为等腰三角形．
(2)求证：BF=CG．
(3)求AB+ACCG的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据AD为△ABC的角平分线，EF∥AD，证得∠F=∠AGF进而证得△AFG为等腰三角形；
（2）延长FE至点H，使EH=FE，连接CH，根据全等三角形SAS的判定方法，证得△CEH≌△BEF，根据全等三角形的性质证得CH=BF，根据角平分线的性质证得∠CGH=∠H，进而证得BF=CG；
（3）由（1）知AG=AF，根据AC=CG+AG、AF+AB=BF，证得AB+AC=2CG，进而证得AB+ACCG=2即可．
【详解】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠F=∠BAD，∠AGF=∠CAD
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠F=∠AGF
∴AF=AG
∴△AFG为等腰三角形；
（2）证明：延长FE至点H，使EH=FE，连接CH，
∵E为BC的中点
∴BE=CE
在△CEH和△BEF中，
EH=EF∠CEH=∠BEFCE=BE
∴△CEH≌△BEF
∴CH=BF、∠H=∠F
∵EF∥AD
∴∠CGH=∠CAD、∠BAD=∠F
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠CGH=∠F
∴∠CGH=∠H
∴CH=CG
∴BF=CG；
（3）解：由（1）知AG=AF，
∵AC=CG+AG、AF+AB=BF、BF=CG
∴AC=CG+CG-AB
∴AB+AC=2CG
∴AB+ACCG=2．
【变式6-3】如图，AD为△ABC的角平分线，CE⊥AD交AD的延长线于点E，∠BAD=2∠DCE=2α．
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若DA=DC，BD=4，求DE的长；
(3)求证：AD+AC=2AE．
【答案】(1)见解析；
(2)2；
(3)见解析．
【分析】1利用三角形内角和定理可证∠ABD=∠ADB，根据等角对等边可证结论成立；
2过点A作AF⊥BD，利用三角形内角和定理可证∠ABC=∠ADB，根据等腰三角形的三线合一定理可知DF=4，利用AAS可证△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质求知DE=2；
3过点C作CM∥AB，利用AAS可证△CAB≌△MCD，根据全等三角形的性质可证AM=AD+AC，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立．
【详解】（1）证明：∵ ∠BAD=2∠DCE=2α，
∴∠DCE=α，
∵ CE⊥AD交AD的延长线于点E，
∴∠E=90°，
∴∠CDE=90°-α，
∴∠ADB=∠CDE=90°-α，
在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=180°-2α-90°-α=90°-α，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
（2）解：如下图所示，过点A作AF⊥BD，
由1可知∠ABD=90°-α，
∵ AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=2α，
∴∠BAC=4α，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=2α，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴4α+2α+90°-α=180°，
解得：α=18°，
∴∠ABC=90°-α=72°，∠BAC=4α=72°，∠ACB=2α=36°，
∴∠BAD=∠DAC=36°，
∴∠ADB=∠DAC+∠ACB=72°，
∴∠ABC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵BD=4，
∴DF=12BD=12×4=2，
在△ADF和△CDE中，∠AFD=∠CED∠ADF=∠CDEAD=CD，
∴△ADF≌△CDEAAS，
∴DE=DF=2；
（3）证明：如下图所示，过点C作CM∥AB，
∴∠BAD=∠M，
∵∠BAD=∠CAD=∠ACD，
∴∠ACB=∠M
由2可知AB=AD=DC，∠ABC=∠ADB=∠CDE，
在△CAB和△MCD中，∠M=∠ACB∠CDM=∠BCD=AB，
∴△CAB≌△MCDAAS，
∴AC=DM，
∴AM=AD+DM=AD+AC=AE+ME，
∴∠M=∠ACB=∠CAD，
∴CA=CM，
∵CE⊥AM，
∴AM=2AE，
∴AD+AC=2AE．
考点七：等边三角形的判定与性质综合
例7. 如图①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=a，AD,BE交于点M，AD，BC交于点O，连接CM．
(1)求证：BE=AD；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数；
(3)当α=60°时，分别取AD,BE的中点P，Q，连接CP,CQ,PQ，如图②所示，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠AMB=α
(3)等边三角形，见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，即可得BE=AD；
（2）根据△ACD≌△BCE得出∠CAD=∠CBE，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出∠AMB的度数；
（3）先证明△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ,∠ACP=∠BCQ，然后得∠PCQ=60°，进而得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴BE=AD．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=180°-α，
∴∠BAM+∠ABM=∠BAM+(∠ABC+∠CBE)
=(∠BAM+∠CBE)+∠ABC
=(∠BAM+∠CAD)+∠ABC
=∠BAC+∠ABC
=180°-α，
在△ABM中，
∠AMB=180°-(∠BAM+∠ABM)
=180°-(180°-α)
=α；
（3）解：△CPQ为等边三角形．
证明：如图2，由（1）得BE=AD，
∵ AD,BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=12AD=12BE=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP与△BCQ中，
CA=CB∠CAP=∠CBQAP=BQ，
∴△ACP≌△BCQSAS，
∴CP=CQ,∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=60°，
∴∠BCQ+∠PCB=60°，
∴∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形．
【变式7-1】如图，已知△ABD≌△EBC，∠DBC=60°，连接CD，AC，DE．
(1)求证：△BCD为等边三角形；
(2)若AB=AC．
①∠ADB的度数为______；
②若∠DEC=60°，DE=4，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)①150度；②2
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由△ABD≌△EBC得BD=BC，结合∠DBC=60°可判断△BCD为等边三角形；
（2）①证明△ABD≌△ACD得∠ADB=∠ADC，运用周角可求出结论；
②证明∠DCE=90°，∠CDE=30°可得结论．
【详解】（1）证明：∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC,
∵∠DBC=60°，
∴△BCD为等边三角形；
（2）解：①∵△BCD为等边三角形，
∴BD=CD,∠BDC=60°，
又AD=AD，AB=AC，
∴△ABD≌△ACDSSS
∴∠ADB=∠ADC，
又∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°，∠BDC=60°，
∴∠ADC=150°
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠ECB=∠ADB=150°．
由（1）知，∠BCD=60°，
∴∠DCE=90°，
又∠DEC=60°，
∴∠CDE=30°，
∴CE=12DE=2．
【变式7-2】在等腰△ABC中，AB=AC,FC⊥AB．
(1)如图1，求证2∠BCF=∠A；
(2)如图2，点F是BA的中点，求证：△ABC是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，点R在BF上，点D在CR的延长线上，点K在CB延长线上，连接DB、DK，若2∠BDC=∠A,∠K=2∠BDC-2∠BCD,KB=3BR,AC-DK=4，求RF的长．
【答案】(1)见解析
(2)△ABC
(3)2
【分析】（1）由等边对等角和三角形内角和定理可得2∠ABC+∠A=180°，∠FBC+∠BCF=90°，据此可证明结论；
（2）证明△ACF≌△BCFSAS，则可证明AB=AC=BC，进而可证明△ABC是等边三角形；
（3）过点A作AQ⊥CD于Q，过点C作CP⊥DB交DB延长线于P，连接AD，则∠AQC=∠BPC=90°；可求出∠BDC=30°，则可得到CD=2CP，∠PCD=60°，证明△ACQ≌△BCPSAS，推出CQ=12CD，则可证明AD=AC，得到AD=AB；在AD上截取AT=AR，连接BT，证明△TAB≌△RADSAS，可得∠ABT=∠ADR；可证明∠KDC+∠ADC=180°，得到A、D、K三点共线；可证明∠KBT=∠KTB，得到KT=KB；证明DT=BR；设DT=BR=x，则KB=KT=3BR=3x，则DK=KT-DT=2x；AC=AB=2BF=2x+2RF，根据AC-DK=4，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠ABC+∠A=180°；
∵FC⊥AB，
∴∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠BCF=180°-∠BFC=90°，
∴2∠FBC+2∠BCF=180°，
∴2∠BCF=∠A；
（2）证明：∵FC⊥AB，
∴∠BFC=∠AFC=90°，
∵点F是BA的中点，
∴BF=AF，
又∵CF=CF，
∴△ACF≌△BCFSAS，
∴AC=BC，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（3）解：如图所示，过点A作AQ⊥CD于Q，过点C作CP⊥DB交DB延长线于P，连接AD，则∠AQC=∠BPC=90°；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB，
∵2∠BDC=∠BAC，
∴∠BDC=30°，
∴CD=2CP，∠PCD=90°-30°=60°，
∴∠PCD=∠ACB，
∴∠PCD-∠BCP=∠ACB-∠BCP，
∴∠ACQ=∠BCP，
∴△ACQ≌△BCPSAS，
∴CQ=CP，
∴CQ=12CD，
又∵AQ⊥CD，
∴AQ垂直平分CD，
∴AD=AC，
∴AD=AB；
如图所示，在AD上截取AT=AR，连接BT，
∵AT=AR，∠TAB=∠RAD，AB=AD，
∴△TAB≌△RADSAS，
∴∠ABT=∠ADR；
设∠BCD=x，则∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°-x，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=∠ABT=60°-x；
∵∠K=2∠BDC-2∠BCD，
∴∠K=60°-2x，
∴∠KDC=180°-∠K-∠BCD=120°+x，
∴∠KDC+∠ADC=180°，
∴A、D、K三点共线；
∵∠KBT=180°-∠ABC-∠ABT=180°-60°-60°-x=60°+x，
∴∠KTB=180°-∠K-∠KBT=180°-60°-2x-60°+x=60°+x，
∴∠KBT=∠KTB，
∴KT=KB；
∵AD=AB，AT=AR，
∴AD-AT=AB-AR，
∴DT=BR；
设DT=BR=x，则KB=KT=3BR=3x，
∴DK=KT-DT=2x；
∵△ABC是等边三角形，CF⊥AB，
∴AC=AB=2BF=2BR+RF=2x+2RF，
∵AC-DK=4，
∴2x+2RF-2x=4，
∴RF=2．
【变式7-3】问题：在等边△ABC中，点E在AC边上，点D在BC的延长线上，且AE=CD，请完成下列探究问题．
(1)【特例引路】当点E为AC的中点时，如图1，请判断线段BE与DE的数量关系，并说明理由．
(2)【猜想证明】如图2，点E在边AC上，但点E不在AC的中点处，猜想BE与DE的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点E作EF∥BC交AB于点F）
(3)【变式探究】如图3，点E在CA的延长线上，点D在线段BC上（不与点B重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出BE与DE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)BE=DE，理由见解析
(2)BE=DE，理由见解析
(3)结论成立，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定，解题的关键是：
（1）根据三线合一的性质求出∠EBC=30°，AE=CE，根据等边对等角以及三角形外角的性质求出∠D=∠EBD=30°，然后根据等角对等边即可得出答案；
（2）过点E作EF∥BC交AB于点F，证明△AEF是等边三角形，推出BF=CE，根据SAS证明△BEF≌△EDC，最后根据全等三角形的性质即可得出答案；
（3）过点E作EF∥AB交CB于点F，证明△CEF是等边三角形，推出BF=CD，根据SAS证明△EBF≌△EDC，最后根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：BE=DE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点E为AC中点，
∴∠EBC=30°，AE=CE，
∵AE=CD，
∴CE=CD
∴∠D=∠DEC，
∵∠ACB=∠D+∠DEC，
∴∠D=∠DEC=30°，
∴∠D=∠EBD，
∴BE=DE．
（2）解：BE=DE，理由如下：
过点E作EF∥BC交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵ EF∥AC，
∴ ∠AFE=∠ABC=60°，∠AEF=∠ACB=60°，
∴ △AEF是等边三角形，
∴ AF=EF=AE，
∴ AB-AF=AC-AE，即BF=CE，
∵ ∠AFE=∠ACB=60°，
∴ ∠BFE=∠ECD，
又EF=AE=CD，
∴ △BEF≌△EDCSAS，
∴ BE=DE；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
过点E作EF∥AB交CB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∵ EF∥AB，
∴ ∠F=∠ABC=60°，
∴ △CEF是等边三角形，
∴ EF=CF=CE，
∴ CF-CB=CE-CA，即BF=AE，
又AE=CD，
∴ BF=CD，
又∠F=∠C=60°，EF=EC，
∴ △EBF≌△EDCSAS，
∴ BE=DE．
考点八：多结论问题
例8. 如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD相交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD相交于点F，连接OC，FG，则下列结论：①AE=BD；②∠DOE=60°；③AG=BF；④FG∥BE；其中正确的结论有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明△BCD≌△ACESAS，得到BD=AE,∠DBC=∠EAC可判断①，结合∠BFC=∠AFO，得到∠ACB=∠AOF=60°，可判断②，接着证明△BFC≌△AGCASA，得到BF=AG,CF=CG，可判断③，最后证明△FCG是等边三角形，可得到∠CFG=∠ACB=60°，从而判断④．
【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°，
∵点B，C，E在同一条直线上，
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACESAS，
∴BD=AE，故①正确；
∵△BCD≌△ACESAS，
∴BD=AE,∠DBC=∠EAC，故①正确；
∵∠BFC=∠AFO，
∴180°-∠DBC-∠BFC=180°-EAC-∠AFO，
∴∠ACB=∠AOF=60°，
∴∠DOE=∠AOF=60°，故②正确；
在△BFC和△AGC中，
∠FBC=∠GACBC=AC∠FCB=∠GCA，
∴△BFC≌△AGCASA，
∴BF=AG,CF=CG，故③正确；
∵∠ACD=60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴∠CFG=60°，
∵∠CFG=∠ACB=60°，
∴FG∥BE，故④正确；
故答案为：①②③④．
【变式8-1】如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：① CD=BE；② FA平分∠DFE；③ ∠BFC=120°；④ S△AFES△EFC=AFFC；其中正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】由等边三角形的性质，可得∠DAC=∠BAE，证明△DAC≌△BAESAS，可判断①；作AM⊥CD，AN⊥BE，证明△AMD≌△ANBAAS，可得AM=AN，可判断②；AB与CD的交点记为点K，由三角形的内角和定理，可得∠BFD=∠BAD=60°，可判断③；由对顶角相等，结合FA平分∠DFE，可得FE平分∠AFC，作EP⊥FA，交FA延长线于点P，作EH⊥FC于点H，可得EP=EH，可判断④．
【详解】解：∵△ABD，△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=60°，∠CAE=60°，
∴∠DAC=60°+∠BAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAESAS，
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，
∴①正确，
作AM⊥CD，AN⊥BE，则∠AMD=90°，∠ANB=90°，
∴∠AMD=∠ANB，
在△AMD和△ANB中，
∠AMD=∠ANB∠ADC=∠ABEAD=AB，
∴△AMD≌△ANBAAS，
∴AM=AN，
∴FA平分∠DFE，
∴②正确；
AB与CD的交点记为点K，则∠BKF=∠DKA，
又∵∠ABE=∠ADC，
∴180°-∠ABE-∠BKF=180°-∠ADC-∠DKA，
∴∠BFD=∠BAD=60°，
∴∠BFC=180°-60°=120°，
∴③正确；
∴∠CFE=60°，∠DFE=120°，
∵FA平分∠DFE，
∴∠AFE=120°×12=60°，
∴∠AFE=∠CFE，
∴FE平分∠AFC，
作EP⊥FA，交FA延长线于点P，作EH⊥FC于点H，则EP=EH，
又∵S△AFE=12AF·EP，S△EFC=12FC·EH，
∴S△AFES△EFC=AFFC，
∴④正确，
∴正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【变式8-2】如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连接AD、AC、BC、BD，AD=AC=AB，给出下列结论：①AE⊥CD；②△ABD是等边三角形；③AC平分∠BAD；④∠BCD的度数为120°．其中正确的结论为 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用图形的对称性和全等三角形推导角度与线段关系。
通过等腰直角三角形的性质推导线段垂直平分线，利用全等三角形证明线段与角度关系，结合等边三角形、等腰三角形的角度计算判断结论。
【详解】解：∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，
∴AE=BE，ED=EC，
∴ 点E在CD的垂直平分线上，
∵AD=AC，
∴ 点A在CD的垂直平分线上，
∴直线AE垂直平分CD，①正确；
∵∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，
∴∠AEC=∠BED，
∴△ACE≌△BDE(SAS)，
∴∠ACE=∠BDE,AC=BD,，
∵∠DNE=∠CNM，如图所示：
∴ 由三角形内角和定理得：∠CMB=∠DEC=90°，
∴AC⊥BD
∵AD=AB
∴AC平分∠BAD，③正确；
∵AC=BD，AD=AC=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，②正确；
∴∠BAD=∠ABD=60°，∠DAC=∠BAC=30°，
∵AD=AC=AB
∴∠ACD=∠ADC=∠ACB=∠ABC=12180°-30°=75°，
∴∠BCD=2×75°=150°，④错误，
正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【变式8-3】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和BA的延长线上的点，AE=BD，延长DA交CE于点F，G是AD上一点，且CG=CA，CG交AB于点H．下列结论：①∠DFC=60°；②∠DCG=2∠ACE；③EH=CH；④H为AB中点；⑤CF-AF=GF．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质及多边形的内角和定理的应用．设∠ACE=x，证明△CAE≌△ABDSAS，可得①符合题意；连接GB，求解∠DGB=30°，证明∠DCG=2x=2∠ACE，可得②符合题意；通过角度计算得出∠E=∠HCE=60°-x，证明EH=HC，可得③符合题意；通过角度计算得出∠ACG≠∠DCG从而证明出H不是AB中点，可得④不符合题意；过G作GI∥AE交CE于I，截取FK=FA，连接AK，而∠DFC=60°，证明△CAK≌△GIFAAS，可得⑤符合题意，从而可得出答案．
【详解】解：设∠ACE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠ABD=120°，
在△CAE和△ABD中，
AE=BD∠CAE=∠ABDAB=AC，
∴△CAE≌△ABDSAS，
∴∠AEF=∠D，∠ACE=∠BAD，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠BAD=∠ACE=x，
∴∠DFC=∠AEF+∠EAF=∠D+∠BAD=∠ABC=60°，故①正确；
如图，连接GB，
∵CA=CG=CB，
∴∠CAG=∠CGA，∠CGB=∠CBG，
∴∠CGB+∠CGA=12360°-∠ACB=150°，
∴∠DGB=30°，
又∵∠AEC=∠D=∠BAC-∠ACE=60°-x，
∴∠CBG=∠D+∠DGB=90°-x=∠CGB，
∴∠DCG=180°-∠CBG-∠CGB=180°-2∠CBG=2x=2∠ACE，故②正确；
∵∠BAD=∠ACE=∠EAF=x，
∴∠GAC=60°+x，
又∵AC=CG，
∴∠GAC=∠AGC=60°+x，
∴∠ACG=180°-2∠AGC=60°-2x，
∴∠HCE=∠ACG+∠ACE=60°-x，
∵∠E=∠D=60°-x，
∴∠E=∠HCE=60°-x，
∴EH=HC，故③正确；
∵∠DCG=2∠ACE=2x，∠ACG=60°-2x，
又∵△ABC为等边三角形，
要使H为AB中点，
则CH需垂直平分AB，即∠ACG=∠DCG，
而∠ACG=60°-2x，∠DCG=2x，
∴∠ACG≠∠DCG，
∴H不是AB的中点，故④错误；
过G作GI∥AE交CE于I，截取FK=FA，连接AK，
∵∠DFC=60°，
∴∠I=∠AEC=60°-x，△AFK为等边三角形，
∴AK=FK=AF，∠AKF=60°，
∴∠AKC=∠GFI=120°，∠CAK=60°-x=∠I，
∵∠GCI=∠DCF-∠DCG=60°+x-2x=60°-x=∠I，
∴CG=GI=CA，
在△CAK和△GIF中，
∠AKC=∠GFI=120°∠CAK=∠ICA=GI，
∴△CAK≌△GIFAAS，
∴CK=GF，IF=AK=AF=FK，
∴CF=CK+FK=GF+AF，
∴CF-AF=GF，故⑤正确，
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
考点九：最短路径问题
例9. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，点E在边BC上，且BE=2，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，点P为直线MN上一动点，点F为边AB上一动点，当PE+PF的值最小时，AF的长为 ．
【答案】2
【分析】作点E关于MN的对称点G，连接PG，FG，则EN=GN，PG=PE，所以PE+PF=PG+PF，由两点之间线段最短可知，当点F，P，G共线时，PG+PF的值最小，最小值为FG，由垂线段最短可知，当FG⊥AB时，FG的值最小, 即PE+PF的值最小，由垂直平分线性质可得BN=CN=12BC=5，然后由∠BGF=30°，所以BF=12BG=4， 故有当PE+PF的值最小时，AF的长为AB-BF=6-4=2．
【详解】解：如图，作点E关于MN的对称点G，连接PG，FG，
则EN=GN，PG=PE，
∴PE+PF=PG+PF，
由两点之间线段最短可知，当点F，P，G共线时，PG+PF的值最小，最小值为FG，由垂线段最短可知，当FG⊥AB时，FG的值最小, 即PE+PF的值最小，
∵MN垂直平分BC，且BC=10，
∴BN=CN=12BC=5，
∵BE=2，
∴GN=EN=BN-BE=5-2=3，
∴BG=BN+GN=5+3=8，
∵FG⊥AB，∠ABC=60°，
∴∠BGF=30°，
∴BF=12BG=4，
∵AB=6，
∴当PE+PF的值最小时，AF的长为AB-BF=6-4=2，
故答案为：2．
【变式9-1】如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB的度数是 ．
【答案】40°/40度
【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键．
作P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2.则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，由轴对称知，△P1OP2是等腰三角形，
∠OP2N=∠OP1M=50°，∠P1OP2=2∠AOB，得出结论∠AOB=40°．
【详解】作P关于OA，OB的对称点P1，P2.连接OP1，OP2，P1O、P2O，
则P1M=PM,P2N=PN，
∴PM+MN+PN=P1M+MN+P2N≤P1P2，
∴M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，
∵P，P1关于OA对称，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°
同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2∠MOP+∠NOP=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M=50°，
∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40°．
【变式9-2】已知：如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D是AB边上的定点，点E、点F、点G分别是AC边、BC边和AB边上的动点．当DE+EF+FG最小时，∠DEF与∠EFG的度数和是 °．
【答案】120
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
作点D关于AC的对称点D'，作线段AB、A'B关于BC对称，则点G关于BC的对称点G'在A'B上，连接D'G'交AC于点E，交BC于点F，则DE+EF+FG=D'E+EF+FG'，当D'G'⊥A'B时，DE+EF+FG最小，根据三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，计算即可得的度数．
【详解】解：如图，作点D关于AC的对称点D'，作线段AB、A'B关于BC对称，则点G关于BC的对称点G'在A'B上，连接D'G'交AC于点E，交BC于点F，则DE+EF+FG=D'E+EF+FG'，当D'G'⊥A'B时，DE+EF+FG最小，
∵ ∠ABC=30°，
∴ ∠A'BC=30°，
∴ ∠ABA'=60°，
∵ ∠BG'D'=90°，
∴ ∠D'=∠EDD'=90°-∠ABA'=30°，∠BFG=∠BFG'=90°-∠A'BC=60°，
∴ ∠DEF=∠D'+∠EDD'=30°+30°=60°，∠EFG=180°-∠BFG-∠BFG'=180°-60°-60°=60°，
∴ ∠DEF+∠EFG=120°，
故答案为：120．
【变式9-3】如图，在△ABC中，∠ABC=120°，∠A=30°，AB=8，点D为AB延长线上一点，连接CD，若∠BCD=15°，点P和点Q分别是AC边和CD边上的动点，当BQ+QP最小时，PQ的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，30°角直角三角形性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．
先证明∠ACB=∠A，则AB=CB=8，可求∠ACD=∠ACB+∠BCD=45°，作点P关于DC对称的点K，连接CK，过点B作BJ⊥CK于点J，连接BK，则BJ∥AC，此时∠JBC=∠ACB=30°，那么CJ=12BC=4，由于BQ+QP=BQ+QK≥BK≥BJ，故BQ+QP的最小值为BJ，当点B,Q,J三点共线，且点J,K重合时，BQ+QP取得最小值，此时点Q为BJ与CD的交点，可得△CKQ为等腰直角三角形，此时CK=KQ=PQ=4，故BQ+QP取得最小值时，PQ的长度为4．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=120°，∠A=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=30°，
∴∠ACB=∠A
∴AB=CB=8，
∵∠BCD=15°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=45°，
作点P关于DC对称的点K，连接CK，过点B作BJ⊥CK于点J，则∠J=90°，连接BK，
∴PQ=KQ,∠ACD=∠KCD=45°，
∴∠ACJ=45°+45°=90°，
∴∠ACJ+∠J=180°，
∴BJ∥AC，
∴∠JBC=∠ACB=30°，
∴CJ=12BC=4，
∵BQ+QP=BQ+QK≥BK≥BJ，
∴BQ+QP的最小值为BJ，当点B,Q,J三点共线，且点J,K重合时，BQ+QP取得最小值，此时点Q为BJ与CD的交点，
∵∠DCK=45°，∠QKC=90°，
∴△CKQ为等腰直角三角形，
∴此时CK=KQ=PQ=4
∴BQ+QP取得最小值时，PQ的长度为4，
故答案为：4．
考点十：作图题
例10. 作图题：（不写作法，但要保留痕迹）
(1)作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）．
(2)在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等．
(3)在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及利用轴对称确定最短路径问题，熟记各性质是解题的关键．
（1）找出四边形的四个顶点关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等分别作出∠HOF的平分线和MN的垂直平分线，交点即为A；
（3）根据轴对称确定最短路径问题，作出点B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线的交点即为点M．
【详解】（1）解：轴对称图形如下图所示：
；
（2）点A如下图所示：
；
（3）点M如下图所示：
【变式10-1】如图是由小正方形组成的6×6网格，图中△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．
(1)如图（1），画出△ABC关于直线AC对称的△ADC；
(2)在图（1）的基础上，在△ABC的内部画点E，使AE=BE=CE；
(3)如图（2），画格点F，使∠ABF=90°；
(4)在图（2）的基础上，若点M是AB上任意一点，在BC上画点G，使MG∥AF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查作图，轴对称变换，平行线的判定，线段的垂直平分线，准确理解题意是解题的关键．
（1）作出点B关于直线AC的对称点D，连接AD、CD即可；
（2）连接BD，作线段BC的垂直平分线交BD于点E，点E即为所求；
（3）构造等腰直角三角形即可；
（4）根据垂直平分线的作图方法作图即可．
【详解】（1）解：如下图△ADC即为所求；
（2）解：如下图的点E即为所求；
（3）解：如下图的点F即为所求；
（4）解：如下图的点G即为所求；
【变式10-2】在平面直角坐标系中有6×8的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在指定网格中画图，并回答问题．其中，格点A1,2，B4,3，直线AB与网格线交于M，N两点．
(1)在图（1）中，画线段MN关于x轴对称的线段M'N'，其中M与M'对应，N与N'对应；
(2)在图（1）中，在x轴上画出点D，使DM+DN最小；
(3)在图（2）中，点B关于x轴的对称点为B'，画出线段AB'的垂直平分线l；
(4)若格点C使∠CAB=135°，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)C1-1,3或C20,0或C3-1,-2
【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关知识成为解题的关键．
（1）先根据轴对称的性质确定M、N确定其对称点M'、N'，再连接M'N'即可解答；
（2）由（1）得N关于x轴的对称点N'，然后连接MN'，MN'与x轴的交点即为所求点D；
（3）连接AB'，然后确定到A、B'距离相等的格点P、Q，再过P、Q作直线即可；
（4）先作出以AB为斜边的等腰直角三角形△ABE,△ABD，然后延长EA,DA即可到C点，最后确定点C的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：线段M'N'即为所求；
（2）解：如图：点D即为所求；
（3）解：如图：直线PQ即为所求；
（4）解：如下图：
∴点C的坐标为C1-1,3或C20,0或C3-1,-2．
【变式10-3】如图是10×6的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题．
(1)直接写出三角形ABC的面积_______；
(2)在图1中：
①作△ABC的高CK，作中线BD；
②在高AF上画点P，连接BP，DB，使∠APB=∠APD；
(3)在图2中，M为AC上任意一点，在AB上画点N，使MN∥BC．
【答案】(1)20
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点，并理解题意是解此题的关键．
（1）利用三角形面积公式计算即可得解；
（2）①根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；②取点B关于AF的对称点H，连接HD交AF于点P，连接PB，点P即为所求；
（3）取点H，连接AH，连接HM交AF于点L，连接CL并延长交AH于G，连接MG并延长交AB于点N，则MN即为所作．
【详解】（1）解：三角形ABC的面积为：12×8×5=20；
（2）解：①如图，线段CK，BD即为所求；
②如图，点P即为所求；
；
（3）解：如图，线段MN即为所求，
，
由作图可得，点H、C关于直线AF对称，
∴AH=AC，HF=CF，
∴∠AHC=∠ACH，
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFH=∠AFC=90°，
∵LF=LF，
∴△HFL≌△CFLSAS，
∴∠LHC=∠LCH，
∵CH=HC，
∴△GHC≌△MCHASA，
∴GH=CM，
∴AH-GH=AC-CM，即AG=AM，
∴∠AGM=∠AMG，
∵∠AGM+∠AMG+∠GAM=180°，∠AHC+∠ACH+∠CAH=180°，
∴∠AHC=∠ACH=∠AGM=∠AMG，
∴MN∥BC．
1．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC=115°，则∠DAB1的度数为 ．
【答案】25°/25度
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
根据轴对称可得∠AB1C=∠ABC=115°，再由三角形的外角定理得到∠AB1C=∠D+∠DAB1，据此即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△AB1C关于直线AC对称，∠ABC=115°，
∴∠AB1C=∠ABC=115°，
∵∠D=90°，∠AB1C=∠D+∠DAB1，
∴∠DAB1=115°-90°=25°，
故答案为： 25°．
2．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且CE=AC，连接BE，若BC=16，则△BCE的面积为 ．
【答案】64
【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作AG⊥BC于点G，作EF⊥BD于点F，三线合一，得到BG=CG=8，证明△AGC≌△CFE，进而得到EF=CG，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：作AG⊥BC于点G，作EF⊥BD于点F，则∠AGC=∠EFC=90°，
∵AB=AC，
∴BG=CG=12BC=8，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACG=∠CEF=90°-∠ECF，
又∵AC=CE，
∴△AGC≌△CFEAAS，
∴EF=CG=8，
∴△BCE的面积为12EF⋅BC=12×16×8=64；
故答案为：64．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°．点D在边BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE=30°，使DE交边AB于点E．在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，∠CDA= ．
【答案】60°或105°
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的性质．
根据等腰三角形的性质分类讨论，①当AD=AE时；②当DA=DE时；③当EA=ED时；分情况求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
当△ADE为等腰三角形时分三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=30°，∴∠AED=∠ADE=30°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120°．
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，点D不与点B，C重合，
∴不合题意；
②当DA=DE时，∠ADE=30°，
∴∠DAE=∠DEA
=12180°-∠ADE
=75°，
∴∠CDA=∠BAD+∠B
=30°+75°
=105°；
③当EA=ED时，∠ADE=30°，
∴∠EAD=∠EDA=30°，
∴∠CDA=∠BAD+∠B
=30°+30°
=60°．
综上所述，∠CDA为60°或105°．
故答案为：60°或105°．
4．如图，∠AOB=20°，点M,N分别在边OA,OB上，点P,Q分别在边OB,OA上，当MP+PQ+QN取最小值时，∠MPO+∠OQN= ．
【答案】200°
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接M'N'，即为MP+PQ+QN的最小值；根据轴对称的定义可知：∠MPO=∠M'PO,∠OQN=∠OQN'，则∠MPO+∠OQN=∠M'PO+∠OQN'，利用外角的性质将∠M'PO+∠OQN'转化为∠PON'+∠3+∠1+∠2，再利用三角形内角和定理结合已知条件即可求解．
【详解】解：作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接M'N'，即为MP+PQ+QN的最小值；
根据轴对称的定义可知：
∠MPO=∠M'PO,∠OQN=∠OQN'，
则∠MPO+∠OQN
=∠M'PO+∠OQN'
=∠PON'+∠3+∠1+∠2
=∠5+∠4+∠3+∠1+∠2
=20°+180°
=200°．
故答案为：200°．
5．如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，E是AB上一点，AE=BD，AD、CE相交于点F，过点B作BG∥CE交AD的延长线于点G，过点B作BH⊥AG于点H，下列结论：①AD=CE；②∠CFD=60°；③EF=DH；④CE-2GH=DF．其中正确的结论是 ．
【答案】①②④
【分析】①根据等边三角形性质证△ABD≌△CAE，即可求证；
②在①前提下，根据∠CFD是△ACF外角，即可求证；
③依据以上结论，过A作AI⊥CE于I，求证Rt△AIC≌Rt△BHA，再证Rt△AIE≌Rt△BHD得IE=DH，则DH和EF无固定数量关系；
④依据以上结论，结合平行线的性质，证得Rt△AIF≌Rt△BHG，找到线段关系，即可求证．
【详解】解：①判断AD=CE是否正确
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，
AE=BD∠CAE=∠ABDCA=AB
∴△ABD≌△CAESAS，
∴AD=CE，故①正确；
②判断∠CFD=60°是否正确，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠CFD是△ACF外角，
∴∠CFD=∠ACE+∠CAF，
∴∠CFD=∠BAD+∠CAF=∠CAB=60°，
故②正确；
③判断EF=DH是否正确；
过A作AI⊥CE于I
∵BH⊥AG，∠CFD=60°
∴∠AIC=∠BHG=90°，
在Rt△AIC和Rt△BHA中，
∠ACI=∠BAHAC=BA∠AIC=∠BHA
∴Rt△AIC≌Rt△BHAASA，
∴AI=BH，
在Rt△AIE和Rt△BHD中，
BD=AEBH=AI
∴Rt△AIE≌Rt△BHDHL，
∴IE=DH，
但IE和EF无固定数量关系，
∴EF不一定等于DH，
故③错误；
④判断CE-2GH=DF是否正确
∵CE-DF=AD-DF=AF，
∠AFI=∠DFC=60°，
∴AF=2IF，
∵BG∥CE，
∴∠G=∠DFC=60°=∠AFI，
又∵AI=BH，∠I=∠BHG=90°，
在Rt△AIF和Rt△BHG中，
∠I=∠BHG∠AFI=∠GAI=BH
∴Rt△AIF≌Rt△BHGAAS，
∴FI=GH，
∵AF=2IF，
∴CE-DF=2GH，
即CE-2GH=DF，
故答案为①②④．
6．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）．
(1)在图1中，画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；
(2)在图2中，找一格点D，使得CD⊥AC，且CD=AC；
(3)在图2中，在射线AB的延长线上作一点P，使得PA=PD；
(4)在图2中，在（3）的条件下，若点M、N分别是AB、AC上的点，在CP上找一点Q，使∠NQC=∠MQP．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
(4)详见解析
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、勾股定理、图形与坐标及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握轴对称图形的性质、勾股定理、图形与坐标及线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键；
（1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，进而问题可求解；
（2）根据勾股定理可进行求解；
（3）连接AD，然后作线段AD的垂直平分线，进而问题可求解；
（4）作点N关于线段CP的对称点N'，然后连接MN'，进而问题可求解
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：所作图形如图所示：
（3）解：所作图形如图所示：
（4）解：所作图形如图所示：
7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB,OC，已知△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为28cm．
(1)求线段BC的长．
(2)连接OA，求线段OA的长．
【答案】(1)BC=12cm
(2)OA=8cm
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）先推导出DA=DB，EA=EC，则BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12，即可解答．
（2）先证明OA=OB=OC，得到∵OB+OC+BC=28cm，BC=12cm，由OB+OC+BC=28cm，BC=12cm，得到OB+OB+12=28cm，求出BO的长即可．
【详解】（1）解：∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB．
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA．
∵△ADE的周长为12cm，
∴BC=12cm．
（2）解：∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OA=OB=OC．
∵OB+OC+BC=28cm，BC=12cm，
∴OB+OB+12=28cm，
∴OA=OB=OC=8cm．
8．如图1，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE,∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．
(1)求证：AF=CF；
(2)如图2，若∠B=30°，AF⊥EC，连接ED，直接写出图中的所有等腰三角形（△ABC和△AFC除外）．
【答案】(1)见解析
(2)△FED，△BED，△DBA，△EBC
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练寻找图中的等腰三角形是解题的关键．
（1）利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案，得∠BAC=∠BCA，进而可求解∠FAC=∠FCA，即可证明结论；
（2）根据AD-FA=CE-FC可得△FED为等腰三角形；求得∠BAD=30°,∠BCE=30°，可得△DBA,△EBC为等腰三角形，证明△EFA≌△DFCSAS可得EA=DC，利用线段的差可得BE=BD，推出△BED为等腰三角形．
【详解】（1）证明：在△ABD和△CBE中，
∠BAD=∠BCE∠B=∠BBD=BE，
∴△ABD≌△CBEAAS，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAD=∠BCE，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC；
（2）解：∵△ABD≌△CBEAAS，
∴AD=CE，
∵FA=FC，
∴AD-FA=CE-FC，即FD=FE，
∴△FED为等腰三角形，
∵∠B=30°，BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA=180°-∠B2=75°，
∵AF⊥EC，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=45°，
∴∠BAD=∠BAC-∠FAC=30°,∠BCE=∠BCA-∠FCA=30°，
∴∠B=∠BAD=∠BCE，
∴DB=DA,EB=EC，
∴△DBA,△EBC为等腰三角形，
∵FE=FD,∠EFA=∠DFC,FA=FC，
∴△EFA≌△DFCSAS，
∴EA=DC，
∴BA-EA=BC-DC，即BE=BD，
∴△BED为等腰三角形，
综上，图中的所有等腰三角形有△FED，△BED，△DBA，△EBC（△ABC和△AFC除外）．
9．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边， A点为直角顶点，且在AD的右侧作等腰Rt△ADE，连接CE．
(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，解答下面问题：
①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE，BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(2)如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，当∠BCA=45°，且∠DAC=60°时，若CE=4，求△ADE的面积．
【答案】(1)①CE⊥BD；BD=CE；②结论仍然成立，理由见解析
(2)16
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键．
（1）①先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACESAS，则可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，进而可得∠BCE=90°；②结论仍然成立，方法同①即可证明；
（2）过点A作AF⊥AC，交BC于点F，构造等腰直角三角形AFC，再同（1）中方法证明△AFD≌△ACESAS得到∠BCE=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE的长，过点A作AG⊥DE于G，则△ADG，△AEG都是等腰直角三角形，据此求出AG的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵△ADE是以A点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=90°，
∴CE⊥BD，
故答案为：CE⊥BD；BD=CE；
②结论仍然成立，理由如下：
∵△ADE是以A点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=ACB+∠ACE=90°，
∴CE⊥BD，
∴CE⊥BD，BD=CE，
∴结论仍然成立；
（2）解：∵∠BCA=45°，且∠DAC=60°，
∴∠ADC=180°-45°-60°=75°；
如图所示，过点A作AF⊥AC，交BC于点F，
∴∠FAC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠ACB=45°，
∴AF=AC；
∵△ADE是以A点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠FAC=∠DAE=90°， ∠ADE=∠AED=45°，
∴∠FAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠FAD=∠CAE，
又∵AF=AC，AD=AE，
∴△AFD≌△ACESAS，
∴∠AFD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∵∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°，
∴DE=2CE=8；
如图所示，过点A作AG⊥DE于G，则△ADG，△AEG都是等腰直角三角形，
∴AG=DG=EG=12DE=4，
∴S△ADE=12DE⋅AG=12×8×4=16．
10．已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，连接CE，求证：∠ACE=60∘；
(2)如图2，当点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，猜想线段AF、CF、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，M，N分别是AB，AC上两个动点，满足AM=AN，且∠DAB=a，当DM+DN最小时，直接写出∠BMD的大小为_____（用含a的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF+CD=CF，证明见解析
(3)60°+a
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质综合，掌握全等三角形的构造是解题关键．
（1）根据两个等边三角形的性质，证明△ABD≌ACE，即可求得∠ACE=60°；
（2）作EH⊥CH，分别证明△ABD≌△ACE与△AEF≌△DEH即可证得AF+CD=CF；
（3）延续前两问的解题思路，构造出等边△ADE，通过三角形三边关系确定DN+NE的最小值，最后根据三角形外角和定理即可求得∠BMD=60°+a．
【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，
∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠ACE=∠B=60°；
（2）AF+CD=CF，理由如下，
如图，连接CE，过点E作EH⊥BC延长线于点H，
∵△ABC与△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=∠ACB=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECH=60°，
∵EF⊥AC，EH⊥CH，
∴EF=EH，∠FEC=∠HEC=30°，
在Rt△AEF与Rt△DEH中，
AE=EDEF=EH，
∴Rt△AEF≌Rt△DEHHL，
∴AF=DH，
∵∠FEC=∠HEC=30°，
∴CF=CH=12CE，
∴AF+CD=DH+CD=CH=CF，
∴AF+CD=CF；
（3）解：60°+a，
如图，过点A在AC右侧作AE=AD，且∠EAC=a，连接DE，
在△AMD与△ANE中，
AM=AN∠MAD=∠NAEAD=AE，
∴△AMD≌△ANESAS，
∴DM=NE，∠AMD=∠ANE，
∴∠BMD=∠CNE，
∵DM+DN=DN+NE≥DE，
当D、N、E三点共线时，DM+DN取得最小值，
∵∠MAD=∠NAE，
∴∠DAC+∠NAE=∠DAC+∠MAD=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠CNE=∠AED+∠NAE=60°+a，
∴∠BMD=60°+a，
故答案为：60°+a．