专题01 三角形-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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【知识点1 三角形的概念】
【三角形的概念】
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.
3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示.
【三角形的分类】
1.按边分类：
剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；
②三边都相等的三角形叫作等边三角形；
③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；
④可以用画图的方式表示（如右图）
【知识点2 三角形的边】
【三角形的三边关系】
定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；
②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。
【三角形的稳定性】
性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
【知识点3 三角形的中线、角平分线、高】
【三角形的中线】
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部.
【三角形的角平分线】
1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点.
【三角形的高】
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点．
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
【知识点4 三角形的内角】
【三角形的内角和】
1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可.
【直角三角形的性质及判定】
1.性质：直角三角形的两个锐角互余.
表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
【知识点5 三角形的外角】
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
求证：∠ACD=∠A+∠B；
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.
②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；
如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.
③三角形的外角和等于360°．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；
证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.
考点一：三角形中三边关系的应用
例1．若等腰三角形的周长是26cm，一边长为11cm，则腰长是（ ）cm．
A．11B．7.5或11C．7.5D．4
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等腰三角形的定义分11cm为腰和底边两种情况讨论，再利用三角形三边关系验证即可．
【详解】解：等腰三角形周长为26cm，一边长为11cm，
当11cm为腰时，则另一腰为11cm，底边为26-11-11=4cm，
11+4>11，能构成三角形，此时腰长为11cm；
当11cm为底边时，设腰长为xcm，则2x+11=26，解得x=7.5cm，
7.5+7.5>11，能构成三角形，此时腰长为7.5cm；
综上可知，腰长为11cm或7.5cm，
故选：B．
【变式1-1】已知a，b，c分别为三角形ABC的三边，且满足a+c=3b-2，a-c=2b-4，则b的取值范围是 （ ）
A．43