专题13.1 轴对称（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题13.1  轴对称（知识讲解）

【学习目标】

1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．

2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．

【要点梳理】

要点一、轴对称图形
轴对称图形的定义

一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.

特别说明：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
要点二、轴对称
1.轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
　　特别说明：
    轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.

2.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.

要点三、轴对称与轴对称图形的性质

轴对称、轴对称图形的性质
　　轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

【典型例题】

类型一、轴对称图形的判定 

1．如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．

【答案】长方形是轴对称图形，其余不是

【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴.

解答：第一幅图，是个矩形，它是轴对称图形，有两条对称轴，均为边的垂直平分线：

；

第二幅图，是个普通三角形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形；

第三幅图，是个平行四边形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形.

【点拨】理解对称轴的含义是解答此类问题的关键.

举一反三：

【变式1】 如图所示的四个图形中，从几何图形变换的角度考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．

【答案】图(2)，仅它不是轴对称图形

试题分析：观察图形发现（1）（3）（4）都是轴对称图形，而（2）不是轴对称图形，由此即可得出结论．

解：（1）（3）（4）都是轴对称图形，而（2）不是轴对称图形．故从几何图形变换的角度考虑，图（2）与其它三个不同．

【变式2】 如图，是由4个大小相同的正方形组成的L形图案．

(1)请你改变其中一个正方形的位置，使它变成轴对称图形；

(2)请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．

 分析：根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．

本题解析：

（1）答案不惟一，

​

（2）答案不惟一，

​

类型二、成轴对称图形的识别 

2．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．

①指出两个三角形中的对称点；

②指出图中相等的线段和角；

③图中还有对称的三角形吗？

【答案】①A→A，B→D，C →E；②AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；EF=FC，BF=BD，∠BAE=∠DAC，∠EAF=∠CAF③不另加字母和线段的情况下：ΔAFC与ΔAFE，ΔABF与ΔADF．

【详解】

试题分析：根据轴对称的性质即可得出答案．

试题解析：①A→A，B→D，C →E，

②AB=AD，AC=AE，BC=DE，EF=FC，BF=BD，∠BAE=∠DAC，∠EAF=∠CAF

∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E．

③不另加字母和线段的情况下：ΔAFC与ΔAFE，ΔABF与ΔADF，也都关于直线MN成轴对称．

考点：轴对称的性质．

举一反三：

【变式1】 如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称.

（1）用无刻度直尺画出直线MN；

（2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系.

【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α.

【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．

解：（1）如图，连接；作线段的垂直平分线MN．
则直线MN是△和△的对称轴．

（2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍，

理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称，
∴.

又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称，
∴∠AOP=∠OP．
∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α
即∠AO=2α．

【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键.

【变式2】 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；

（1）求证：△ABD≌△ACD′；

（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）

（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；

（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．

（）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，

∴，

在△ABD和△ACD′中，

∵ ，

∴ △ABD≌△ACD′（SSS）.

（）解：∵≌，

∴，

∴，

∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，

∴，

即．

点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.

类型三、根据成轴对称的两个图形特征进行识别 

3．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

如图，已知点，点和直线．

（1）在直线上求作一点，使最短；

（2）请在直线上任取一点（点与点不重合），连接和，试说明．

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意，做点A关于直线的对称点，连接交直线与点P即可；

（2）根据两点之间线段最短，结合三角形两边之和大于第三边即可证得．

解答：（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于，

则点即为所求，作图如下：

（2）在直线上任取另一点，连接、、，

∵点与关于直线成轴对称，点在直线上，

∴，，

∵，

∴

即，

∴，

∴最小．

【点拨】本题考查了点对称的性质，“将军饮马”模型求同侧线段之和最短，三角形三边关系的应用，掌握点的对称性和两点之间线段最短是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．

（1）结合图形指出对称点．

（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．

【答案】解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．

（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，

即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．

【详解】

本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据轴对称的性质即可得出答案．

【变式2】 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km，北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17km.

【分析】首先作点A关于MN的对称点A’,连接A’B，根据轴对称性得出最短距离，然后根据直角三角形的勾股定理得出最短距离为多少.

【详解】

作点A 关于直线MN的对称点A’,链接A’B，

则A’B就是所走的最短路程

AA’=4×2=8km

∴A’O= AA’＋OA=8+7+15km

由勾股定理得

(A’B)2= (O A’)2+ (OB) 2=152+82=289

∴A’B==17km

类型四、根据成轴对称的两个图形特征进行求解 

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．

（1）求证：△ABD≌△ACD'．

（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）．

【分析】（1）由对称得到，再证明 即可；

（2）由全等三角形的性质，得到，∠BAC＝=100°，最后根据对称图形的性质解题即可．

 解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

在△ABD与中，

（2）

，∠BAC＝=100°，

以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

∠DAE．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

举一反三：

【变式1】 如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，．

（1）求出的长度；

（2）求的度数．

【答案】（1）＝3cm；（2）＝18°

【分析】（1）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段相等即BC＝ED，即可求出的值；

（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，利用轴对称的性质得出对称角∠EAD＝∠BAC，即可解决问题；

 解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC−FC＝3cm．

（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD−∠EAC＝76°−58°＝18°．

【点拨】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【变式2】 如图，△ABC和△ABD关于直线n的轴对称，点E是线段AB上的一点，不与点A和点B重合，写出图中的全等三角形（只写出全等三角形，不须证明）．

【答案】

【分析】利用轴对称性质即可找到全等三角形，由轴对称得△ABC≌△ABD，利用全等三角形性质，可证另外两对三角形全等即可．

 解：．

∵△ABC和△ABD关于直线n的轴对称，

∴△ABC≌△ABD，

∴AC=AD，∠CAB=∠DAB，BC=BD，∠ABC=∠ABD

在△ACE和△ADE中，

∴△ACE≌△ADE（SAS），

在△BCE和△BDE，

∴△BCE≌△BDE（SAS），

【点拨】本题考查找出全等三角形，轴对称性质，全等三角形的判定与性质，掌握找出全等三角形方法，轴对称性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．

类型五、轴对称的应用  

5．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路．

 【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线．

 如图所示：运动路线：．

【点拨】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．

举一反三：

【变式1】 如图，、分别是的边、上的点，在上求作一点，使的周长最小，并说明你这样作的理由．

 【分析】由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可，作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则此时△MNP的周长最小．

 解：作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则PN=P′N，

由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可；

∵此时MN+PN=MN+P′N=MP′，MN+PN最小，

∴此时△PMN的周长最小，最小值等于PM+P′M．

【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

【变式2】 作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可）

（1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q；

（2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）作点P关于AB是对称点，连接Q交AB于M，点M即为所求．

（2）作点P关于AB是对称点，点Q关于BC的对称点，连接Q交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．

【详解】

解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．

（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．

【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．

【变式3】 如图，长方形台球桌上有两个球，．

（1）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边反弹后，正好撞到球；

（2）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球．

【答案】（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点E，点F即为所求．

【分析】（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．

（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．

【详解】

解：（1）如图，点M即为所求．

（2）如图，点E，点F即为所求．

【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．

类型六、折叠问题  

6．如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．

（1）求△AED的周长；

（2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数．

【答案】（1）7cm；（2）65°

【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长=AC+AE，即可得出答案；

（2）由折叠的性质可得∠C=∠DEB=100°，∠BDE=∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE=50°，即可求解．

 解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，

∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），

∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）；

（2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB，

∵∠DEB＝∠A＋∠ADE，

∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°，

∴∠BDE＝∠CDB＝＝65°．

【点拨】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求的周长

【答案】7cm

【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．

解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，
∴DE=CD，BE=BC，
∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE，
=AD+CD+AE，
=AC+AE，
=5+2，
=7cm．

【点拨】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．

【变式2】 (1)如图①，有一张长方形纸片，如图②，将它折叠，使边落在边上，折痕为，如图③，再将折叠，使点与点重合，折痕为．如果图①中的，图③中的，那么         ．

(2)定义一种新运算“※”，规定※，其中、为常数，且，2※，则1※   ．

【答案】(1)3;(2)10.

【分析】(1)根据折叠的性质列出等式代入数据求值即可.

(2)根据新定义的运算规律,先求出a、b,再代入数求值即可.

解答：(1)由折叠可知：BM=AB=（AD+BD）=BD+MD，
又∵AD=5cm，MD=1cm，
∴（5+BD）=BD+1
解得BD=3．

(2)由，2※可得:

，

解得:

1※3=

【点拨】本题考查折叠的性质及新定义,关键在于结合图形找到等式及理解新定义算法.

类型七、关于轴对称的作图  

7．（1）如图，已知五边形ABCDE是轴对称图形，点B、E是一对对称点．请用无刻度的直尺画出该图形的对称轴．(保留作图痕迹，不要求写作法)

（2）一个多边形的内角和与外角和的和是1440°，求它的边数．

【分析】五边形ABCDE是轴对称图形，点B、E是一对对称点，则C、D为一对对称点，故连接BD，CE，可以利用三角形全等说明直线l即为所求；

(2)根据n边形内角和(n-2)·180°和多边形外角和360º解答即可.

解：（1）如图，直线l为该图形的对称轴，

（2）设它是n边形，依题意得：

(n-2)·180°+360°=1440°，

解得：n=8.

故答案为：(1)见解析；(2)8.

【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，作对称轴的方法.已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决.

举一反三：

【变式1】 如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．

（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；

（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的720的角.

 【分析】(1)根据对称轴的性质，过A点作AG⊥CD，垂足为G，AG所在直线即为所求.

（2）根据正五边形的性质，过点C连接点A即可推出∠ACD=72°

（1）解答：

如图，过A点作AG⊥CD，垂足为G，AG所在直线即为所求

（2）

如图，连接CA

∠BCA=∠ACD=∠BCD

∠BCD=108°

∠ACD=72°

【点拨】本题考查作图，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.

【变式2】 如图，已知扇形OAB与扇形O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．     

 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此解答即可．

解答：如图所示，直线MN即为所求作的对称轴.

【点拨】此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法．

类型八、对称轴条数  

8．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：

根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．

【答案】对称轴见解析；3，4，5，6，7；n.

【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可解答．

【详解】

解：如图．

故表格中依次填3，4，5，6，7；

猜想正n边形有n条对称轴．

【点拨】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键.