广东省肇庆市龙涛外国语学校初中部 九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省肇庆市龙涛外国语学校初中部 九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：120 考试时间：10分钟）
一、选择题：本大题共10小题，共30.0分
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 三叶玫瑰线B. 笛卡尔心形线
C. 蝴蝶曲线D. 四叶玫瑰线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ）
A. 二次项系数是2B. 一次项系数是
C. 常数项是1D. 是它的一个根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义及其解的定义，首先将原式化为一般式，然后根据一元二次方程的定义以及解的定义进行分析即可；理解一元二次方程的一般式，以及相应基本概念是解题的关键．
【详解】解：原方程一般式为：，
∴二次项系数是2，一次项系数是，常数项是1，A、C正确，B错误，
当时，，∴是它的一个根，D正确，
故选：B．
3. 下列函数中，是y关于x的二次函数的有（ ）
①；
②；
③；
④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的定义：形如，是常数的函数是二次函数，根据定义依次判断即可
【详解】解：①是y关于x的二次函数；
②不是y关于x的二次函数；
③是y关于x的二次函数；
④不是y关于x的二次函数．
故选：B
4. 在平面直角坐标系中，点与点的位置关系是（ ）
A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．据此解答即可．
【详解】解：∵点与点的横纵坐标均互为相反数，
∴点与点的位置关系是关于原点对称．
故选A．
5. 将二次函数化为的形式，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，根据配方法计算即可求解．
【详解】解：
，
∴，
故选：B．
6. 如图，ABC中，∠B=35°，∠BAC=70°，将ABC绕点A旋转逆时针旋转度（）后得到ADE，点E恰好落在BC上，则（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形内角和求出，由旋转的性质可得是等腰三角形，从而可得旋转角大小．
【详解】解：，，
，
将绕点A旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边对等角求角度，三角形的内角和定理，熟记旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
7. 如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，根据圆周角定理求出，结合等腰三角形的性质进而求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：
∵C为的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8. 如图，与正方形的两边相切，且与相切于E点．若的半径为5，且，则的长度为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线和切线长定理，作辅助线，利用切线长性质求解是关键．连接，根据切线性质证四边形为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得．
【详解】解：连接，
∵都与相切，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
故选：B．
9. “古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10. 某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（ ）
A. 1568元B. 1518 元C. 1368 元D. 50元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的基本应用及二次函数的最值问题，熟练掌握基本知识是解题关键．
先根据二次函数解析式求出开口方向和对称轴，再通过取值范围求出最大值即可．
【详解】解：∵一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，
函数开口向下，对称轴为，当时，函数取到最大值为1568，
所以当时，函数取到的最大值为1568，
∴可获得的最大利润为1568元．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，共15.0分．
11. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，进行因式分解，再进行计算即可．
【详解】解：，
∴；
故答案为：．
12. 已知点与点关于原点对称，则值等于 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出a，b的值，代入求和即可．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：1．
13. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为__米．
【答案】8
【解析】
【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
【详解】解：因为跨度AB=24米，拱所在圆半径为13米，
延长CD到O，使得OC=OA，则O为圆心，
则AD=AB=12米，
则OA=13米，
在Rt△AOD中，DO==5（米），
进而得拱高（米）．
故答案为8．
【点睛】本题是垂径定理的应用．考查了垂径定理与勾股定理，关键是根据题意构建直角三角形．
14. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案．
【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，，
∴方程的解为，，
故答案为：，．
15. 如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转一定的角度后能与重合，若，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由旋转得到，，求出，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
∵将绕点顺时针方向旋转一定的角度后能与重合，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，勾股定理，正确理解旋转的性质得到，是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. （1）解方程：．
（2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解法和根的判别式；
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据一元二次方程有两个实数根,则，列出不等式，解得答案即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴或
解得：；
（2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：．
17. 如图，直线和抛物线都经过点．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式的解集．（直接写出答案）
【答案】（1），抛物线解析式为
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了的待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，
（1）先把点坐标代入直线解析式，求出点坐标，再把、坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可；
（2）根据函数图象的交点，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入中得，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当或时抛物线的函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式的解集为或．
18. 如图，中，以为直径的交于点，且为中点，于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据为的直径，得出，进而证明，即可得证；
（2）利用等腰三角形的性质得到和，则，于是可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理可得到是的切线．
【小问1详解】
证明：连接，
，
∵为的直径，
∴，
∵为中点，
∴，
在中，
∴
∴；
【小问2详解】
连接，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；熟练掌握以上知识是解题的关键．
四、解答题（二），本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点的中心对称图形；
（2）将绕点E逆时针旋转得到，画出；
（3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即所求；
【小问3详解】
解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；
旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P；
由图象可知，该点的坐标为．
故答案为：．
20. 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，求出点的坐标，进而求出点的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵矩形，米，米，
∴米，米，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由题意，当时：，
解得：，
当时，，
∴．
21. 在2024年巴黎奥运会上，中国射击队员谢瑜以240.9环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．奥运冠军谢瑜的家乡在贵州省毕节市纳雍县，该县盛产辣椒，当地政府采用“公司合作社农户”利益链接模式，让群众增收，为乡村振兴注入新动能．某村民2022年种植辣椒100亩，该村民逐年扩大规模，到2024年种植面积达到169亩．
（1）求该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率．
（2）某村民经营辣椒销售店，经市场调查发现，当辣椒售价为10元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知辣椒的平均成本价为4元/千克，若使销售辣椒每天获利800元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为
（2）售价应降低4元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该村民这两年种植辣椒亩数平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可；
（2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（舍去），
答：该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为；
【小问2详解】
设售价应降低元，由题意，得：
，
解得：（舍去），
答：售价应降低4元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，，第23题14分，共27分．
22. 综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．

（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
【答案】目标1：； 目标2：（1）不能，理由见解析； （2）18，；
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键．
目标1：设的长为x米，根据矩形花园的面积为32平方米，则，由于篱笆全部用完，则，即，解方程即可；
目标2：（1）设的长为x米，根据矩形花园面积为平方米，，所用的篱笆为米，列方程，即，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
【详解】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）设所用的篱笆为米，
则，即，
，
，
解得，或（舍去），
故m的最小值为18米，
此时，
解得．
故米．
23. 【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）求的最大值，并求此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若是抛物线的对称轴上的一动点，是抛物线上的一动点，是否存点点、，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）最大值为，
（3）存在，或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，线段最值问题，平行四边形的性质．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可；
（3）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
【小问1详解】
由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：，
【小问2详解】
设点M的坐标是，则点，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，
这时点；
【小问3详解】
存在，理由如下：
由（1）（2）抛物线的对称轴是直线，点，
设点，，
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，
∴
∴点；
②当是对角线时，，解得：，
∴，
∴点；
③当是对角线时，，解得：，
∴，
∴点；