广东省深圳市罗湖外语初中学校九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市罗湖外语初中学校九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 考生务必保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本学科试题从第1页至第8页，共8页．满分120分，考试时间120分钟．
2． 答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
3． 考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管．
一． 选择题(本大题共 10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1. 质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的大小进行判断即可．
【详解】∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|，
∴﹣0.6的足球最接近标准质量．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是正确判断的前提．
2. 据报道年国庆出游的全国旅客数达到人次，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的定义：根据把一个数写成的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
3. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，完全平方公式，平方差公式，积的乘方运算与幂的乘方运算，掌握运算法则是解决此题的关键．利用合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，积的乘方运算法则判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差S2．根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差的知识，掌握平均数和方差的意义即可解决问题．本题选择平均数大且方差小的即可．
【详解】因为队员乙和丙的方差最小，但队员乙平均数小，所以丙的成绩好，所以队员丙成绩好又发挥稳定．
故选：C．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：D．
7. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
8. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质．
过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可．
【详解】解：过点作交延长线于E，如图，
∵正方形，
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形的面积减少了，
故选：A．
9. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题．
【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为h，
根据相似得：
，
由得：，解得，
故选：A．
10. 如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（ ）
A. 4.8B. 3C. 2.4D. 1.8
【答案】D
【解析】
【分析】过A作于F，过C作于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求出；此时过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值，解答即可．
【详解】解：过A作于F，过C作于E，如图1：
∵，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴ ，
∴，，
∴，
如图2，过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值，
此时在中，，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】此题考查了几何变换问题，等腰三角形的性质，旋转的性质，面积法求三角形的高，解直角三角形；（1）题关键用面积法求出三角形的高，（2）题关键是能画出旋转的轨迹．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 因式分解：=_______．
【答案】(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】直接应用平方差公式即可求解．
【详解】．
故答案为：(a+1)(a-1)
12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．

【答案】
【解析】
【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出．
【详解】
总共有12种组合，
《论语》和《大学》的概率，
故答案：．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
13. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式；
根据计算即可；
【详解】解：如图2，
，
故答案为：．
14. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时．

【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可．
【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为，
故答案为：．
15. 如图，和都是直角三角形，，且，连接、．延长交于点，交于点，则的值为_________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．由及，易证，得到，进而得到，根据，可得，易证；由相似三角形的性质可得，可求，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
，
又，
，
．
故答案为：．
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分， 第19题8分， 第20题8分， 第21题9分，第22题 10分， 共 55分)
16. 计算∶．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了实数的综合运算能力，本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数幂，绝对值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式
．
17. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，中选择一个合适数代入求值．
【答案】；时，原式
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式加减乘除混合运算、通分、约分及分式有意义的条件，根据分式的混合运算化简是解决问题的关键．
【详解】解：
，
由分式分母不为0可知，则从1，2，3中只能取，
原式．
18. 3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
学生成绩频数分布直方图

学生成绩扇形统计图

（1）本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数分布直方图中________；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
【答案】（1）40，7，作图见解析；
（2）B； （3）851人．
【解析】
【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出样本的总人数，再用总人数D等级所占的百分比求出m，求出B等级的人数补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）先求出优秀所占的百分比，再与总数相乘即可．
【小问1详解】
解：本次调查一共抽取了（名）；（人）；
B等级的人数为（人）；
补全统计图如图所示．

故答案为：40，7；
【小问2详解】
解：一共有40人，中位数是第20，21个数的平均数，所以中位数落在B等级；
故答案为：B；
【小问3详解】
解：（人）．
所以成绩优秀的学生有851人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图（表），扇形统计图，中位数，样本估计总体思想等，弄清频数分布直方图和扇形统计图之间的关系是解题的关键．
19. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD．
【小问1详解】
证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴ADOC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6，
∴AC＝12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即，
∴AD．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
20. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元
（2）节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【解析】
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
【小问2详解】
解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
21. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
（1）如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）见解析 （2）①49，230；②
（3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问3详解】
解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
22. （1）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．
①求证：；
② ；
（2）【思考探究】如图2，矩形中，，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）3；（3）2．
【解析】
【分析】（1）①求出，，即可证明；
②求出，由得；
（2）连接交于点O，先证明，再通过计算，得出，求出，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可；
（3）连接交于O点，先求出，，证明，可得，求出、的长，然后根据，得出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴；
②解：∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点O，
∵，，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接交于O点，
∵在菱形中，，，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵为菱形对角线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
甲
乙
丙
丁
平均数/
561
560
561
560
方差
15.5
3.5
3.5
15.6
画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

等级
成绩/分
A
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
33
45
49
45
33
0