广东省佛山市南海外国语学校九年级上学期数学期中试题（解析版）-A4

这是一份广东省佛山市南海外国语学校九年级上学期数学期中试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴；
故选C．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
3. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴
，
，
．
故选：C．
4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，
解得．
故选C．
5. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），开元同学想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为
由已知得：长方形面积为 ，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率；本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．
6. 一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ ）

A. 24cmB. 20cmC. 15cmD. 5cm
【答案】B
【解析】
【分析】由投影得，由相似性质得，求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
7. 如图，在中，，，，将沿图示中虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
8. 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可．
【详解】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数，
其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，
所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是，
故选D．
【点睛】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形判定是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算．
【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时，
∵，相似比为2，
∴；
当位似图形与在y轴两侧时，
∵，相似比为2，
∴；
故选：D．
10. 如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出．
【详解】解：由题意得，，，．
设，，
则，，
∵是正方形，
∴，
∴．
∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
故选D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可．
【详解】解：由题意知 ：，解得：（舍）或，
答：物体经过秒回落地面，
故答案为：．
12. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，则它的面积是______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质和面积求法，解题关键是根据斜边中线求出斜边长；根据斜边中线等于斜边一半求出斜边长，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是，
∴直角三角形斜边长是，
∵直角三角形斜边上的高是，
∴三角形的面积为，
故答案为：30．
13. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】解：如图，
由题意可知：A、H、G三点共线，，
∵3个矩形相同，
∴，
∴，
∴，
菱形中，，
∴，
∴，
∵每个矩形的周长为，
∴，
∴，
∴菱形的周长为： ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
15. 如图，中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为_____．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，的面积为，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴的面积为30，
故答案为：30．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
化简得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
17. 如图，在中，点在边上，点不与点重合，点在边上，且，连结并延长至点，使，连结，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，证明出是解题的关键．
先证明得到，继而，再根据平行线的性质即可求证．
【详解】证明：，，
．
，
．
．
．
．
18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案）
（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？
【答案】（1）结果变红色的概率是；
（2）两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
【解析】
【分析】（）直接根据概率公式求解即可；
（）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；
本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是；
【小问2详解】
解：画树状图，
共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色,，共种结果，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示．
（1）将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ．
（2）将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，与位似，位似中心为原点，相似比为
【解析】
【分析】本题考查的是画旋转图形，位似图形的含义；
（1）分别确定绕点O顺时针旋转 后的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标；
（2）先将的三个顶点坐标分别乘以，描出对应的点、、，再顺次连接，结合位似图形的含义可得答案；
【小问1详解】
解：如图，即为所求做的三角形；
∴
【小问2详解】
解：由题意得：，
如图，即为所要求做的三角形．
与位似，位似中心为原点，相似比为．
20. 综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质．
（1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）①．
由题意得，
∴，
∴，
，
；
②，，，，
．
．
故答案为：．
（2）①号“E”与②号“E”相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，
点P的坐标为，即，
故答案为：．
21. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、．
（1）求证：；
（2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．
【答案】（1）见详解 （2）四边形是矩形
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出即可．
（2）根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，求出，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
【小问2详解】
四边形是矩形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ；
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

【答案】（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可；
（2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可；
（3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
，，，
由旋转可知：，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，

∵四边形和四边形都是矩形，，，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点O作的垂线交于点H，

设，则，
设，则，
，，
，
，
，
，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
与重叠部分面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形、矩形、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键．
23. 综合与运用

（1）发现：如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．则______；
（2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，连接，若，求证：，并直接写出面积比的值．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交直线于点P，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析；
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可证，即可得解；
（2）先证明，再证明，即可证明，设，根据勾股定理，即可求出，再根据相似三角形的性质即可得解；
（3）当时，延长交于，过作于H，过F作，设，先证明，可得，再证明，可得，再根据勾股定理，可得，联立即可得解；当时，延长交延长线于Q，过Q作交延长线于H，过F作交延长线于，同理即可得解．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，
将沿翻折到处，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
，
将沿翻折到处，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
，
面积比的值为：；
【小问3详解】
解：当时，延长交于，过作于H，过F作交延长线于，如图：
四边形是菱形，
，，
设，则，
，
，
，
，
将沿翻折得到，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
在中，，
，
联立可得，
；
当时，延长交延长线于Q，过Q作交延长线于H，过F作交延长线于，如图：
四边形是菱形，
，，
设，则，
，
，
，
，
将沿翻折得到，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
在中，，
，
联立可得，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合应用以上知识．