广东省江门市蓬江区楼山初级中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省江门市蓬江区楼山初级中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本大题10小题，每题3分，共30分）
1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据中心对称的概念可作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
解答：解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．
故选C．
2. 将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【详解】移项得,x2+4x=−3，
配方得,x2+4x+4=−3+4，
即(x+2)2=1.
故答案选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据配方法解一元二次方程．
3. 若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为，
∴圆心到直线的距离圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：B．
4. 对于二次函数，其图象顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标．
【详解】解：二次函数，
其图象的顶点坐标为．
故选：D．
【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键．
5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为，
故选：D．
6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 6B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
故选：A．
7. 如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵
∴图象的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：C．
8. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
【答案】D
【解析】
【分析】连接OC，根据切线的性质定理可得∠OCD＝90°，再求得∠DOC＝50°，利用圆周角定理即可求得∠A的度数．
【详解】连接OC，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝50°，
∴∠A＝∠DOC＝25°．
故选D．
【点睛】本题考查了切线性质及圆周角定理，正确得出∠DOC＝50°是解题关键．
9. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的有______个．
①；②；③；④关于x的方程有实数根
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
详解】解：由图可知：抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴，
∴，，，
∴．故①错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间．
又∵抛物线开口向下，
∴当时，函数值小于零，即．故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
又∵，
∴．故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的图象与直线有交点，
∴关于x的方程有实根．故④正确．
故选：B．
10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．
【详解】解：当0＜t≤2时，S=t2，
当2＜t≤4时，S=t2﹣（2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故答案为C．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 若抛物线有最小值，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，开口向上的二次函数有最小值，则对应的函数解析式中二次项系数为正，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线有最小值，
∴，
故答案为：．
13. 把方程化为一般形式是____．
【答案】
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，通过移项变换即可得到答案．
【详解】解：由得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．
14. 政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元．设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，由题意得：
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键是根据题意得到方程即可．
15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若线段，则长度为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：3．
三、解答题：（第16题每小题4分，17题6分，18题7分，共21分）
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．
（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
小问1详解】
解：，
，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或，
∴，．
17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
【答案】2
【解析】
【分析】连接OC，利用直径AB=10，则OC=OA=5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得CE=DE=CD=4，然后利用勾股定理计算出OE，再利用AE=OA-OE进行计算即可．
【详解】连接OC，如图，
∵AB是⊙O直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是关键．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格上，点的坐标为(4，-1)．
（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转得△A1B1C1，
（2）写出点B1的坐标是 ．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，确定点的位置，即可求解；
（2）根据直角坐标系和点的位置，求得点的坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）根据点的位置，可得点的坐标为．
【点睛】此题考查了网格作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转的有关性质，确定点的位置．
四、解答题（二）（19、20每小题9分，21题11分，共29分）
19. 已知二次函数y=x2+4x+k-1.
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.
【答案】k＜5；k=5．
【解析】
【详解】试题分析：(1)、当抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k的取值范围；(2)、顶点在x轴上则说明顶点的纵坐标为0.
试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜5.
(2)、∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=5.
考点：二次函数的顶点
20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【答案】（1）y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
（2）能飞越，理由见解析
（3）8.1米
【解析】
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
【小问1详解】
解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
【小问2详解】
解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
【小问3详解】
解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
五、解答题：（第22题11分，第23题14分，共25分）
22. 如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
证明EF是的切线；
求证：；
已知圆的半径，，求GH的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线；（2）由同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性质可得∠DGB＝∠BDF；（3）由题意可得∠BOG＝90°，根据勾股定理可求GH的长．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．
∴GH＝＝.
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
23. 如图甲，直线与x轴、y轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标．
【答案】（1）
（2）或或或
（3）最大面积为，
【解析】
【分析】（1）由直线解析式可求得、坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得点坐标及对称轴，可设出点坐标，表示出、和的长，分、和三种情况，可分别得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标；
（3）过作轴，交直线于点，交轴于点，可设出点坐标，表示出点的坐标，表示出的长，进一步可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时点的坐标．
【小问1详解】
直线与轴、轴分别交于点、点，
，，
把、坐标代入抛物线解析式可得
，
解得，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
，
抛物线对称轴为，，
设，且，
，，，
为等腰三角形，
有、和三种情况，
①当时，则有，解得 ，此时；
②当时，则有，解得与点重合，舍去或，此时；
③当时，则有，解得或，此时或；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或；
【小问3详解】
如图，过作轴，交于点，交轴于点，

设，则，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点坐标为，
即当点坐标为时，的面积最大，最大值为．
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200