河南平顶山市郏县2025-2026学年上学期期末学情检测九年级数学（试卷+解析）

这是一份河南平顶山市郏县2025-2026学年上学期期末学情检测九年级数学（试卷+解析），共32页。
1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置．
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A AB= CDB. AD= BCC. AB=BCD. AC= BD
4. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A. 图象经过点（1，﹣5）
B. 图象位于第二、第四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
5. 已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则关于x的方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 如图，，，是上的点，，垂足为点，若，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 在与中，有下列条件：（1）；（2）；（3）；（4），如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
8. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A. 20B. 15C. 10D. 5
9. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 若，则______．
12. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______．
13. 如图，已知△ABC的3个顶点均在格点上，则tanA的值为__．
14. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
15. 如图，在中，，，点是中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形．
18. 某校七、八年级的学生各有600人，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：______，______；
（2）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
19. 如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求一次函数的表达式，并求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
20. 如图，某校数学兴趣小组为测得大厦的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为．请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据：，）

21. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？
22. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．
（1）求小球落地点与点O的水平距离．
（2）当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为多少？
（3）求小球与斜坡的距离的最大值．
23. 【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
（1）【问题初探】
爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________；
（2）【问题引申】
如图2，将图1中正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由：
（3）【问题解决】
如图3，在（2）条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________．x
…
0
2
…
y
…
15
0
0
…
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
7
中位数
8
优秀率
2025-2026学年上学期期末学情检测
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置．
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答．
【详解】解：A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意；
B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意；
C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意；
D、属于一元二次方程，故符合题意．
故答案为：D．
3. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB= CDB. AD= BCC. AB=BCD. AC= BD
【答案】D
【解析】
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
4. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误是（ ）
A 图象经过点（1，﹣5）
B. 图象位于第二、第四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5. 已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则关于x的方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可.
【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线，
而当时，，
根据对称性可得：
当时，，
∴的解为：，；
故选：A
6. 如图，，，是上的点，，垂足为点，若，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，运用勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得到，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故选：D ．
7. 在与中，有下列条件：（1）；（2）；（3）；（4），如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），继而求得答案．
详解】解：，，
，
，，
，
，，
，
∴能判断的共有3组．
故选：C．
8. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A. 20B. 15C. 10D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数.
【详解】白色球的个数是15个，
故选：B.
此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键.
9. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值．
【详解】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，
当最小时，最小，
由垂线段最短可知，当时，最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．
10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点向作垂线，交于点，根据含有角的直角三角形性质以及勾股定理可得、的长，再结合平行四边形的性质可得的长，进而求出、的长，设，则，然后利用勾股定理可求出与的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．
【详解】解：如图过点向作垂线，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
当时，,
当时，．且图像是二次函数的一部分,
故选：B．
此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用合比性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵抛物线与轴没有交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，已知△ABC的3个顶点均在格点上，则tanA的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接BD，根据勾股定理的逆定理得到BD⊥AC，解直角三角形即可得到结论．
【详解】如图，连接BD，根据勾股定理的逆定理得到BD⊥AC，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，连接BD，
∵BC＝2，BD＝，CD＝，
∴，
∴BD⊥AC，
∵BD＝，AD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故答案为：．
本题考查了解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
14. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
【答案】25
【解析】
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴在中，，
∵将绕点旋转得到，
∴，
∴，，，
分情况讨论：
①如图所示，过点B作，垂足为点，
∵∥，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，，
∴，
②如图所示，当点D运动到点F′时，此时，
同理可得，，
∴
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的计算，掌握其运算法则是关键．
（1）运用求根公式计算即可；
（2）运用因式分解法计算即可；
（3）分别算出特殊角的三角函数值，再计算和差即可．
【小问1详解】
解：，
∴，，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：，
因式分解得，，
∴或，
解得，；
【小问3详解】
解：
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形，位似图形，掌握轴对称图形的定义，位似图形的绘制是关键．
（1）根据轴对称图形的性质作图即可；
（2）根据位似图形的性质，运用位似比得到对应点的位置，连线即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
∴即为所求图形；
【小问2详解】
解：的三个顶点坐标分别为，，，
∴关于轴对称的的对应点的坐标为，
在第一象限中画出将按照放大后的位似图形，
∴，
∵，
∴，
如图所示，则即为所求图形．
18. 某校七、八年级的学生各有600人，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：______，______；
（2）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1）8；8 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，列表法或画树状图法求随机事件概率，掌握列表法或画树状图法是关键．
（1）根据众数，中位数的计算方法求解；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：七年级抽取学生的成绩中，8分出现的次数最多，
∴，
八年级抽取学生的成绩中，中位数在第8位同学的成绩，
∴，
故答案为：8，8；
【小问2详解】
解：七年级获得10分的有1个，用A表示，八年级获得10分的有3个，用B，C，D表示，
∴运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来如下，
共有12种等可能结果，其中恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴恰好是七、八年级各1人的概率．
19. 如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求一次函数的表达式，并求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）一次函数表达式为，的面积为
（3）或
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用数形结合的方法确定不等式的解集是解本题的关键．
（1）利用反比例函数中的几何意义求出进而得到反比例函数表达式；
（2）先将点代入反比例函数求出、坐标，再代入一次函数表达式，用待定系数法求出一次函数表达式；求面积，可通过将其转化为几个容易计算面积的三角形组合来求解；
（3）根据反比例函数与一次函数图象位置关系，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围．
【小问1详解】
解：已知，过点作轴垂线，垂足为，如图所示：
，
，
反比例函数图象在一、三象限，
，
，
反比例函数表达式；
【小问2详解】
把点、点代入上，
，，
、的坐标为，，
一次函数过点、，
将两点代入可得，
解得，
一次函数表达式为，
设直线与轴交点，令，则，
，
，
，
；
【小问3详解】
不等式即一次函数值小于反比例函数值，
从图象看，一次函数图象在反比例函数图象下方时：
当或满足条件，
的解集是或．
20. 如图，某校数学兴趣小组为测得大厦的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为．请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据：，）

【答案】该大厦的高度是109.3米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角形函数值是解题的关键．设米，在和中，利用特殊角的锐角三角函数关系即可求解．
【详解】解：设米，
在和中，
，，米，
，，，
米，，
（米），
答：该大厦的高度是109.3米．
21. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？
【答案】每件文化衫应定价元.
【解析】
【分析】设每件文化衫的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（）件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的2倍即可确定x的值，此题得解．
【详解】设每件文化衫的定价为元，
根据题意，得，
解得，.
∵售价不能超过进价的倍，
∴.
∴.
答：每件文化衫应定价元.
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．
（1）求小球落地点与点O的水平距离．
（2）当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为多少？
（3）求小球与斜坡的距离的最大值．
【答案】（1）小球落地点与点O的水平距离为；
（2）小球与点O的水平距离为或；
（3）小球与斜坡的距离的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，解方程即可得到结论；
（2）把代入得，解方程即可得到结论；
（3）如图，设抛物线上一点A的坐标为，作轴交直线于点B，则点B的坐标为，求得，根据二次函数的性质先求出的最大值，过点作，垂足为点，证明，再由相似三角形求解．
本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：令，
解得，
小球落地点与点O的水平距离为；
【小问2详解】
解：把代入得，
解得，
即小球与点O的水平距离为或；
【小问3详解】
解：如图，设抛物线上一点A的坐标为，
作轴交直线于点B，交轴于点，则点B的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为，
过点作，垂足点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得，
小球与斜坡的距离的最大值为．
23. 【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
（1）【问题初探】
爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________；
（2）【问题引申】
如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由：
（3）【问题解决】
如图3，在（2）条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________．
【答案】（1）
（2）
（3）8或4
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解；
（2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明；
（3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案为：
【小问2详解】
解：结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为8或4；
故答案为：8或4．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．x
…
0
2
…
y
…
15
0
0
…
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
7
中位数
8
优秀率