河南信阳市淮滨县2025-2026学年度上学期期末九年级数学试卷（试卷+解析）

这是一份河南信阳市淮滨县2025-2026学年度上学期期末九年级数学试卷（试卷+解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的两个根是和，则的值等于（ ）
A. 4B. －4C. －3D. 3
3. 如图是由4个相同小正方体组成的几何体，若其左视图的面积为2，则其俯视图的面积是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 点关于坐标原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5. 如图，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
6. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，一块直角三角板斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
9. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为，与在直线上．开始时点与点重合；让向右平移；直到点与点重合时为止．设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是( )

A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_______
12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________

13. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为_____

14. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．
15. 如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则=_______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______；
（2）小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
18. 【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
19. 如图1是旅顺博物馆广场中心的中苏友谊纪念塔，某综合实践小组要测量该塔的高度．如图2，中苏友谊纪念塔与地面垂直，在点D处用测角仪测得塔尖B的仰角，然后沿水平方向向前移动5m到达点C处，在点C处用测角仪测得塔尖B的仰角．已知于点D，于点C，，测角仪的高．
（1）________m；
（2）求中苏友谊纪念塔的高度．（精确到0.1m，参考数据，，）．
20. 材料的疏水性
【情境引入】
“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，不需要写作法）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
21. 商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）设每件降价x元，每天盈利y元，写出y与x之间的函数关系式．
（2）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价幅度不能超过18元，那么每件衬衫应降价多少元？
（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利能达到最大，盈利最大是多少元？
22. 如图抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的右侧），且经过点和点N，点M和点N关于直线对称．
（1）求点N坐标和抛物线的解析式；
（2）当直线与A、M之间的抛物线有交点时（含边界），求c的取值范围；
（3）当时，y的取值范围是，直接写出的取值范围．
23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．2025-2026学年度上期期末
九年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 方程的两个根是和，则的值等于（ ）
A. 4B. －4C. －3D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系“”可以直接算出结果．
【详解】
故选：B
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键．
3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，若其左视图的面积为2，则其俯视图的面积是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义，画出俯视图，即可求解；
【详解】解：如图，俯视图为：

面积为．
故选：C．
本题考查了俯视图的定义，会根据定义画出相应的视图是解题的关键．
4. 点关于坐标原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征．先计算点，再利用关于原点对称的点坐标特征求解．
详解】解：，
点为，
又点关于原点对称的点为，
对称点为
故选：B．
5. 如图，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A、∵，，∴，故不符合题意；
B、∵，，∴，故不符合题意；
C、∵，，∴，故不符合题意；
D、不能判断，故符合题意；
故选：D．
6. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
7. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理是解题的关键．
如图，记的中点为，连接，由题意知，，四点共圆，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，记的中点为，连接，
由题意知，，
∵，
∴四点共圆，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
、乙、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
9. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义．
根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
长方形的长为，宽为，
则长方形的面积为：，
不规则图案的面积大约为．
故选：B．
10. 如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为，与在直线上．开始时点与点重合；让向右平移；直到点与点重合时为止．设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是( )

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，根据题意应分两种情况讨论：当时，重合部分是边长为的等腰直角三角形，当时，重合部分是直角梯形，再分别根据相应图形的面积公式确定关系式，进而可得答案．
【详解】解：当时，重合部分是边长为的等腰直角三角形，阴影部分的面积为： ，它的图象是一条开口向上、对称轴为轴的抛物线的一部分；
当时，重合部分是直角梯形，面积为：，它的图象是一条开口向下、对称轴为直线的抛物线的一部分．
故只有A选项符合题意．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用一元二次方程根的定义将代入方程求解．
【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根，
将代入方程，得，即，
解得．
故答案为：．
12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________

【答案】55
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到，由得到，故．
【详解】解：∵直径平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为_____

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形、平行四边形等知识点，关键是由矩形、平行四边形的面积推出成为解题的关键．
由矩形、平行四边形的面积得到，再根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：如图，作于H，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．
【答案】8﹣π
【解析】
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝，
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
＝8﹣π，
故答案为：8﹣π．
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
15. 如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则=_______．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】由全等可推理得到，由可得到，又由，结合三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：由旋转可知：
∴，
∴
即：
又∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等相关知识点，牢记相关的知识点并能结合图形灵活应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______；
（2）小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可求解；
（2）列出表格，根据表格可求解；
【小问1详解】
解：∵一共有（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属元素卡片，
∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为
【小问2详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，共6种，
小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）40
（3）(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出．
（2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．
【小问1详解】
解：如下图所示：
【小问2详解】
连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【小问3详解】
∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
18. 【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD=．
【解析】
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2=BE•BC，
∴BC===，
∴AD=．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
19. 如图1是旅顺博物馆广场中心的中苏友谊纪念塔，某综合实践小组要测量该塔的高度．如图2，中苏友谊纪念塔与地面垂直，在点D处用测角仪测得塔尖B的仰角，然后沿水平方向向前移动5m到达点C处，在点C处用测角仪测得塔尖B的仰角．已知于点D，于点C，，测角仪的高．
（1）________m；
（2）求中苏友谊纪念塔的高度．（精确到0.1m，参考数据，，）．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
（1）由题意直接求解；
（2）延长交于点N，可得四边形，都矩形，则，由得，在Rt中，故，则，解得，由即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，，
故答案为：5；
【小问2详解】
解：由题意，得，．
∴．
∵，，
∴，
延长交于点N，
∵，
∴，．
∴，．
∴四边形，都为矩形．
∴，．
∵，
∴．
∴．
在Rt中，，
∴．
即．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
答：中苏友谊纪念塔的高度约为．
20. 材料的疏水性
【情境引入】
“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，不需要写作法）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）变强；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接，；②分别作，的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接，过点M作，则为圆O的切线，故即为所求；
（2）根据题干可直接得解；
（3）连接，等边对等角，得到，根据切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可；
【详解】解：（1）如图，即为所求：
作法提示：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接，；
②分别作，的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接，过点M作，则为圆O的切线，故即为所求；
（2）根据题意可知材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
（3）．理由如下：
如图，连接，
则：，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题属于圆的综合题，主要考查尺规作图-复杂作图，切线的判定和性质，三角形的内角和，弧长，熟练掌握新定义，切线的判定和性质是解题的关键．
21. 商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）设每件降价x元，每天盈利y元，写出y与x之间的函数关系式．
（2）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价幅度不能超过18元，那么每件衬衫应降价多少元？
（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利能达到最大，盈利最大是多少元？
【答案】（1）
（2）每件衬衫应降价10元
（3）降价15元时有最大利润1250元
【解析】
【分析】（1）商场降价后每天盈利每件的利润卖出的件数降低的价格）增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（2）利用衬衫平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衫利润列出方程解答即可；
（3）利用配方法求解二次函数的最值问题．
小问1详解】
解：每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，
原来每件的利润为40元，现在降价元，
现在每件的利润为元，
；
【小问2详解】
解：设每件衬衫应降价元．
根据题意，得
整理，得
解得，．
降价不能超过18元，
应略去，
．
答：每件衬衫应降价10元．
小问3详解】
解：，
降价15元时有最大利润1250元；
本题考查了二次函数及其应用问题，解题的关键是得出二次函数的解析式，运用二次函数的性质求最值．
22. 如图抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的右侧），且经过点和点N，点M和点N关于直线对称．
（1）求点N的坐标和抛物线的解析式；
（2）当直线与A、M之间的抛物线有交点时（含边界），求c的取值范围；
（3）当时，y的取值范围是，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性可得，再把把点，代入，即可求解；
（2）先求出点A的坐标，然后分别求出当直线经过点时， 当直线经过点时，c的值，即可求解；
（3） 先把抛物线解析式化为顶点式可得，再求出当时，x的值，结合函数值的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点，点M和点N关于直线对称．
∴点，
把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：对于，
当时，，
解得：，
∴点，
当直线经过点时，，
解得：；
当直线经过点时，，
解得：；
∴c的取值范围为；
【小问3详解】
解：，
，且当时，
当时，，
解得：或0，
∵当时，y的取值范围是，
∴的取值范围为．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）；
（2）4 （3）点E的坐标为
【解析】
【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解.
【小问1详解】
解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积
；
；
【小问3详解】
解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键．