广东省河源市源城区九年级上学期期末考试数学试卷-A4

这是一份广东省河源市源城区九年级上学期期末考试数学试卷-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+3x＝a的根，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．4D．2
3．（3分）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3，则袋中黑球约有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
5．（3分）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
7．（3分）已知关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）函数和y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，边长分别为1和2的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，点B、C、E共线，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则x1+x2的值 ．
12．（3分）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，则树高AB＝ ．
13．（3分）某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m．
（参考数据：tan63°≈2，sin63°≈1，cs63°≈0.5）
14．（3分）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AB的长度为10cm，则BC的长度为 cm．（结果保留根号）
15．（3分）如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为 ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）解方程：x2﹣7x﹣1＝0．
17．（7分）计算：．
18．（7分）如图，在地面上竖直安装着AB，CD，EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB，CD形成的影子分别为BG与DH．（1）通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影：
（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ；
（3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
20．（9分）《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长40m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）学校想要围成一个面积为200m2的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
21．（9分）探究规律并解决问题：
（1）用“＝”、“＞”或“＜”填空，比较a2+b2与2ab的大小．
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 2ab；
②当a＝2，b＝时，a2+b2 2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 2ab．
（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB、BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD、BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1、S2.若△BCG的面积为2保持不变，求S1+S2的最小值．
四、解答题（二）本大题共2小题，每小题13分，共27分。
22．（13分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
23．（14分）【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式x2+8x+25进行配方．
解：原式＝x2+8x+16+9＝（x+4）2+9
例2．求代数式﹣x2+4x﹣7的最大值．
解：原式＝﹣（x2﹣4x+4）﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣3
∵（x﹣2）2≥0
∴﹣（x﹣2）2≤0
∴﹣（x﹣2）2﹣3≤﹣3
∴﹣x2+4x﹣7的最大值为﹣3．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足2m2﹣12m+11＝2（m﹣k）2+h，求k+h的值．
（2）若△ABC的三边长a，b，c均为整数，c＝3，a，b满足a2﹣8a+b2﹣10b+41＝0，求△ABC的周长．
【迁移应用】
（3）如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12厘米，高AD＝8厘米．现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上．
①设PN＝x，试用含x的代数式表示矩形工件PQMN的面积S；
②运用“配方法”求S的最大值．
2024-2025学年广东省河源市源城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：A、从上面看得到的图形是长方形，不符合题意；
B、从上面看得到的图形是圆，不符合题意；
C、从上面看得到的图形是圆，不符合题意；
D、从上面看得到的图形是三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，目的在考查学生的空间想象能力．
2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+3x＝a的根，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．4D．2
【分析】直接把x＝1代入方程即可得到答案．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+3x＝a的根，
∴a＝1+3＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解本题的关键．
3．（3分）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3，则袋中黑球约有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用频率估算概率，总个数乘黑球的频率即可估算红球个数．
【解答】解：10×0.3＝3（个），
则袋中黑球约有3个，
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握其运算．
4．（3分）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
【分析】直接根据反比例函数的性质求解．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，解答本题的关键要明确：（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
5．（3分）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先由已知条件可设a＝3k，那么b＝5k，再将它们代入所求代数式，即可求出结果．
【解答】解：∵，
∴可设a＝3k，那么b＝5k，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
6．（3分）如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】由菱形的性质可证△ABD是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
7．（3分）已知关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞1
【分析】直接根据Δ＝22﹣4m＜0解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4m＜0，
∴m＞1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．
9．（3分）函数和y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质、一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故选项C不符合题意．选项D符合题意；
当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故选项A、B均不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质．
10．（3分）如图，边长分别为1和2的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，点B、C、E共线，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB＝∠CGE＝45°，再求出∠GDT＝45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为1，2，
∴DG＝2﹣1＝1，
∴GT＝×1＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则x1+x2的值 6 ．
【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝﹣＝6，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x+8＝0的两根，
∴x1+x2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于﹣是解题的关键．
12．（3分）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，则树高AB＝ 3.4m ．
【分析】利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到＝，然后利用比例性质求出AB即可．
【解答】解：根据题意得＝，即＝，
所以AB＝3.4（m）．
故答案为3.4m．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
13．（3分）某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 51 m．
（参考数据：tan63°≈2，sin63°≈1，cs63°≈0.5）
【分析】延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，根据tan63°≈2，求出DC＝AD≈51m，即可求解．
【解答】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，如图，
由题可知，BD＝102m，
设AD＝x m，
∵∠DCA＝45°，
∴DC＝AD＝x，
∴，
∴DC＝AD≈51m，
∴AB＝BD﹣AD＝102﹣51≈51（m），
故答案为：51．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
14．（3分）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AB的长度为10cm，则BC的长度为 （5﹣5） cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割的定义可得AB＝AC，从而求出AC的长，然后根据线段的和差关系求出BC的长，即可解答．
【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AB的长度为10cm，
∴AB＝AC＝10（cm），
∴AC＝5（+1）（cm），
∴BC＝AC﹣AB＝5（+1）﹣10＝5+5﹣10＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15．（3分）如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD＝BE，设A（x，），则B（2x，），故CD＝，AD＝﹣，再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD＝BE．
设A（x，），则B（2x，），CD＝，AD＝﹣，
∵△ADO的面积为1，
∴AD•OC＝1，（﹣）•x＝1，解得k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）解方程：x2﹣7x﹣1＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：x2﹣7x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝53，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式法解一元二次方程．
17．（7分）计算：．
【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案．
【解答】解：原式＝
＝1﹣1+3+1
＝4．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，掌握相应的运算法则是关键．
18．（7分）如图，在地面上竖直安装着AB，CD，EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB，CD形成的影子分别为BG与DH．（1）通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影：
（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子．
【分析】（1）根据在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH，连接GA、HC并延长交于点O，据此判断即可；
（2）连接OE并延长交直线HG于I，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，光线GA、HC相交于点O，所以此光源下形成的投影是中心投影．
∴应该是中心投影；
（2）如图所示，线段FI为立柱EF在此光源下所形成的影子．
【点评】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 25人 ；
（2）把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 216人 ；
（3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去A、B、C等级的人数得到D等级人数，再补全条形统计图，利用样本估计总体，用1800乘以D等级所占百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数为10÷40%＝25（人）；
（2）D等级的人数为25﹣4﹣10﹣8＝3（人），
条形统计图补充为：
（人），
所以估计不及格的人数为216人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
所以选中的两人刚好是一男一女的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
20．（9分）《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长40m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）学校想要围成一个面积为200m2的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（40﹣2x）m，根据养鸡场的面积为150m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为18m，即可确定结论；
（2）假设这一想法能实现，设AB＝y m，则BC＝（40﹣2y）m，根据养鸡场的面积为200m2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合墙长为18m，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现．
【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（40﹣2x）m，
根据题意得：x（40﹣2x）＝150，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15，
当x＝5时，40﹣2x＝40﹣2×5＝30＞18，不符合题意，舍去；
当x＝15时，40﹣2x＝40﹣2×15＝10＜15，符合题意．
答：养鸡场的长为15m，宽为10m；
（2）这一想法不能实现，理由如下：
假设这一想法能实现，设AB＝y m，则BC＝（40﹣2y）m，
根据题意得：y（40﹣2y）＝200，
整理得：y2﹣20y+100＝0，
解得：y1＝y2＝10，
当y＝10时，40﹣2y＝40﹣2×10＝20＞18，不符合题意，舍去，
∴假设不成立，
即这一想法不能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（9分）探究规律并解决问题：
（1）用“＝”、“＞”或“＜”填空，比较a2+b2与2ab的大小．
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 ＝ 2ab；
②当a＝2，b＝时，a2+b2 ＞ 2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ＞ 2ab．
（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB、BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD、BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1、S2.若△BCG的面积为2保持不变，求S1+S2的最小值．
【分析】（1）把a和b的值分别代入代数式进行计算，然后比较即可得到答案；
（2）根据（1）的结果，得出猜想，然后利用完全平方公式证明即可；
（3）由题意可知ab＝4，结合a2+b2≥2ab，从而得出答案．
【解答】解：（1）①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，
∴a2+b2＝2ab，
故答案为：＝；
②当a＝2，b＝时，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
（2）由（1）可猜想：a2+b2≥2ab，理由如下：
∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）由题意可知，S1＝a2，S2＝b2，
∵△BCG的面积为2，即ab＝2，
∴ab＝4，
∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，
∴S1+S2＝a2+b2≥8，
∴S1+S2的最小值为8．
【点评】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值，有理数比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
四、解答题（二）本大题共2小题，每小题13分，共27分。
22．（13分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求得点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得即可；
（3）过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，）（a＞1），通过证得△ACF≌△EDA（AAS），得到F（﹣2，4﹣a），代入y＝，即可求得a的值，从而求得点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上，
∴m＝1×3＝n×1，
∴m＝3，n＝3，
∴反比例函数为y＝，点B（3，1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝＝4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E（a，）（a＞1），
∵A（1，3），
∴AD＝a﹣1，DE＝3﹣，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3﹣，
∴F（﹣2，4﹣a），
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴（﹣2）（4﹣a）＝3，
解得a＝6或a＝1（舍去），
∴E（6，）．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
23．（14分）【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式x2+8x+25进行配方．
解：原式＝x2+8x+16+9＝（x+4）2+9
例2．求代数式﹣x2+4x﹣7的最大值．
解：原式＝﹣（x2﹣4x+4）﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣3
∵（x﹣2）2≥0
∴﹣（x﹣2）2≤0
∴﹣（x﹣2）2﹣3≤﹣3
∴﹣x2+4x﹣7的最大值为﹣3．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足2m2﹣12m+11＝2（m﹣k）2+h，求k+h的值．
（2）若△ABC的三边长a，b，c均为整数，c＝3，a，b满足a2﹣8a+b2﹣10b+41＝0，求△ABC的周长．
【迁移应用】
（3）如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12厘米，高AD＝8厘米．现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上．
①设PN＝x，试用含x的代数式表示矩形工件PQMN的面积S；
②运用“配方法”求S的最大值．
【分析】（1）依据题意，将2m2﹣12m+11变形为2（m﹣3）2﹣7，再与已知条件比较，可以得解；
（2）依据题意，根据配方法得，（a﹣4）2+2（b﹣5）2＝0，进而可以得解；
（3）①设PN的长度是x厘米，PQ的长度是y厘米时，根据四边形PQMN为矩形，得出BC∥PN，进而证得△APN∽△ABC，列出比例式证得y与x之间的函数关系式为y＝8﹣x（0＜x＜12），求出矩形PQMN面积S＝xy＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x；
②把S＝﹣x2+8x，配方即可．
【解答】解：（1）由题意，∵2m2﹣12m+11＝2（m2﹣6m+9）﹣7＝2（m﹣3）2﹣7，
又∵2m2﹣12m+11＝2（m﹣k）2+h，
∴k＝3，h＝﹣7，
∴k+h＝﹣4；
（2）∵a2﹣8a+b2﹣10b+41＝0，
∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣10b+25）＝0．
∴（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0．
∴a＝4，b＝5．
∴a+b+c＝4+5+3＝12；
（3）①设PN的长度是x厘米，PQ的长度是y厘米时，
∵四边形PQMN为矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝8﹣x（0＜x＜12），
∴矩形PQMN面积S＝xy＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x；
②S＝﹣x2+8x
＝（x2﹣12x+36﹣36）
＝﹣（x﹣6）2+24，
故当PN的长度是6厘米时，矩形零件PQMN的面积最大，最大面积为24平方厘米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
C
C
D
D
D
A