广东省汕头市龙湖区九年级上学期期末考试数学试卷-A4

这是一份广东省汕头市龙湖区九年级上学期期末考试数学试卷-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知点（﹣3，2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
2．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．温州博物馆B．西藏博物馆
C．广东博物馆D．湖北博物馆
3．（3分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣6x＝0B．x2﹣9＝0C．x2﹣6x+6＝0D．x2﹣6x+9＝0
4．（3分）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
5．（3分）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于12DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（ ）
A．40°B．25°C．20°D．15°
6．（3分）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（4，6）B．（6，4）C．（﹣4，﹣6）D．（﹣6，﹣4）
7．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（ ）
A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m
8．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝80cm，CD＝20，则圆形工件的半径为（ ）
A．40cmB．50cmC．70cmD．100cm
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣x+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的最小值为（ ）
A．﹣21B．﹣9C．﹣7D．﹣5
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y的值是 ．
12．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m＝ ．
13．（3分）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 ．
14．（3分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
15．（3分）如图，抛物线y=14x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分）
16．（7分）解方程：x2+4x+1＝0．
17．（7分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，则点B旋转到点B2的过程中AB扫过的图形面积为 ．（结果保留π）
18．（7分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，且c是非负整数，
（1）求c的值；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1x2+2x1+2x2＝ ．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
20．（9分）法国巴黎夏季奥运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款奥运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，6月份的销售量为256件，8月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率；
（2）从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
21．（9分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.）
22．（13分）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE＝1，AB＝2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是 ，位置关系是 ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证：OA＝OD＝OG．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
23．（14分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年广东省汕头市龙湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的纵横坐标之积是定值k是解答本题的关键．
2．【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．【答案】D
【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意．
【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0．
4．【答案】A
【分析】根据概率的定义判断即可．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解频率和概率的定义是解题的关键．
5．【答案】C
【分析】根据直角所对的圆周角是90°得出∠ACB的度数，再由∠CAB＝50°得出∠ABC的度数，最后根据所画射线为∠ABC的角平分线即可解决问题．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质求解．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】设BC长为x m，则AB的长为12（10+1﹣x）m，根据题意列方程即可得到结论．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．
9．【答案】B
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．
10．【答案】B
【分析】根据新运算的定义，可y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】-2
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反解答即可．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出x、y的值是解题的关键．
12．【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
13．【答案】14
【分析】直接由概率公式求解即可．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
14．【答案】
【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．
【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．
15．【答案】3.5
【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP的最大值，进而求解．
三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分）
16．【答案】
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
17．【答案】
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1；
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；
（3）利用勾股定理求出AB，再利用扇形面积公式求解．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，旋转变换，勾股定理，扇形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换．
18．【答案】（1）c＝0．（2）﹣4．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×c＞0，然后解不等式，并根据c是非负整数，即可求出答案；
（2）在（1）的范围内取c的值，则根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2的值，再根据x1x2+2x1+2x2＝x1x2+2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系与根的判别式．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．【答案】
【分析】（1）利用B（4，2）可得反比例函数为 y=8x，再求得A（2，4），用待定系数法可得一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x＞0可得答案；
（3）求出OA的解析式为y＝2x，由B（4，2），可得D（1，2），BD＝4﹣1＝3，由y＝﹣x+6，得C（6，0），OC＝6，再利用梯形的面积公式列式计算即可．
【点评】本题考查利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合思想解题是解题的关键．
20．【答案】（1）该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）该吉祥物每件售价为50元时，月销售利润达8400元．
解：（1）设该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率为x,
由题意得：256（1+x）2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物每件售价为y元，则每件的销售利润为（y-35）元，月销售量为400+20（58-y）=（1560-20y）（件），
由题意得：（y-35）（1560-20y）=8400，
整理得：y2-113y+3150=0，
解得：y1=50，y2=63（不符合题意，舍去）．
答：该吉祥物每件售价为50元时，月销售利润达8400元．
【分析】（1）设该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，根据6月份的销售量为256件，8月份的销售量为400件，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设该吉祥物每件售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为（1560﹣20y）件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【答案】
【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质证明OD∥AC，可推出OD⊥DE，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）证出∠CAD＝∠DAF＝30°，∠CBD＝∠CAD＝30°，得到∠ABC＝30°，由此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得MD＝2，得到等边△ABM的边长，在Rt△ACP中，利用余弦函数的定义即可求解．
【点评】此题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.）
22．【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF；（2）证明过程详见解析；（3）23π．
【分析】（1）先证△AEB≌△AFD，得到BE＝DF，再根据△AMB和△DMG内角和推导，证∠G＝90°即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；
（3）由（2）知点OA＝OD＝OG，则点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．【答案】
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（-3，0），C（0，-3）得直线AC解析式为y=-x-3，
设Q（0，t），P（n,0），则M（n,-n-3），N（n,n2+2n-3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，
【分析】（1）由抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），得点A的坐标为（﹣3，0），故二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），可得S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON=−32m2−92m+6=−32（m+32）2+758，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），由MN∥CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，分别列出方程组，即可解得答案．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
C
B
C
B
B
B