数学北师大版（2024）乘法公式同步达标检测题

这是一份数学北师大版（2024）乘法公式同步达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．观察下列图形，从图①到图②可用式子表示为( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是( )
A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b)
3．为了美化校园，学校把一个边长为a m(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会( )
A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定
4．用简便方法计算40 eq \f(2,3) ×39 eq \f(1,3) ，变形正确的是( )
A．(40＋ eq \f(2,3) )(39＋ eq \f(1,3) ) B．(40＋ eq \f(2,3) )(40－ eq \f(2,3) )
C．(40＋ eq \f(1,3) )(40－ eq \f(1,3) ) D．(40－ eq \f(2,3) )(40－ eq \f(2,3) )
5．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为( )
A．13 B．8 C．－3 D．5
6．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为( )
A.eq \f(9,2) B．9 C．12 D．18
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是( )
A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60
8．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．计算x2－(x＋4)(x－4)的结果是________．
10．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是____________．
11．计算：20232－2021×2025＝________．
12．若a＝1954×1 946，b＝1957×1 943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为________ (用“＜”连接)．
13．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型.已知两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示两个班级的基地面积.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝________.
14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“马年大吉数”．例如，16＝52－32，16就是一个马年大吉数．若将马年大吉数从小到大排列，则第3个马年大吉数是________；第23个马年大吉数是________．
三、解答题
15．利用平方差公式计算：
(1)119×121；
(2)59.8×60.2.
16．计算：
(1)4y(x－y)＋(x－2y)(x＋2y)；
(2)(－1＋x)(－x－1)－x(2－x).
17．解方程：(3－x)(3＋x)－x(5－x)＝4.
18．若(n＋205)2＝123 456 789，求(n＋215)(n＋195)的值．
19．先化简，再求值：2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝ eq \f(5,2) .
20．试说明：( eq \f(1,4) m3＋2n)( eq \f(1,4) m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值与n的取值无关．
21．如图所示，图1由两个长方形组成，通过移动图1中的阴影长方形得到图2.
(1)根据两个图形面积间的关系，可以验证的乘法公式是_____________________；(用含a，b的代数式表示)
(2)应用所得的公式计算：（1－122）（1－132）·（1－142）…（1－1992）（1－11002）.
22．(1)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
……
可得到(a－b)(a2025＋a2024b＋…＋ab2024＋b2025)＝______________．
(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2).
(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
参考答案
一、选择题
1．观察下列图形，从图①到图②可用式子表示为( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
【答案】A
2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是( )
A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b)
【答案】A
3．为了美化校园，学校把一个边长为a m(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会( )
A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
4．用简便方法计算40 eq \f(2,3) ×39 eq \f(1,3) ，变形正确的是( )
A．(40＋ eq \f(2,3) )(39＋ eq \f(1,3) ) B．(40＋ eq \f(2,3) )(40－ eq \f(2,3) )
C．(40＋ eq \f(1,3) )(40－ eq \f(1,3) ) D．(40－ eq \f(2,3) )(40－ eq \f(2,3) )
【答案】B
5．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为( )
A．13 B．8 C．－3 D．5
【答案】A
6．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为( )
A.eq \f(9,2) B．9 C．12 D．18
【答案】D
【解析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则DE＝x－y，由题意阴影部分的面积是eq \f(1,2)AD·DE＋eq \f(1,2)DE·CG＝eq \f(1,2)(x－y)·y＋eq \f(1,2)(x－y)·x＝eq \f(1,2)(x－y)(x＋y)＝eq \f(1,2)(x2－y2)＝9.所以大正方形的面积与小正方形的面积之差x2－y2=18.
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是( )
A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60
【答案】D
【解析】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A不符合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小为4，所以选项B不符合题意；两个连续偶数的和是2的奇数倍，两个连续偶数的差是2，所以两个连续偶数的平方差是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D符合题意．故选D.
8．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6.
3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1
＝(4－1)(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1
＝(42－1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1
＝(44－1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝464－1＋1＝464.
由规律可得464的个位数字是6，所以3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是6.
二、填空题
9．计算x2－(x＋4)(x－4)的结果是________．
【答案】16
10．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是____________．
【答案】n3－4n
11．计算：20232－2021×2025＝________．
【答案】4
12．若a＝1954×1 946，b＝1957×1 943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为________ (用“＜”连接)．
【答案】b＜a＜c
13．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型.已知两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示两个班级的基地面积.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝________.
【答案】16
14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“马年大吉数”．例如，16＝52－32，16就是一个马年大吉数．若将马年大吉数从小到大排列，则第3个马年大吉数是________；第23个马年大吉数是________．
【答案】15 57
【解析】依题意，当m＝3，n＝1时，第1个马年大吉数为32－12＝8，当m＝4，n＝2时，第2个马年大吉数为42－22＝12，当m＝4，n＝1时，第3个马年大吉数为42－12＝15，当m＝5，n＝3时，第4个马年大吉数为52－32＝16，当m＝6，n＝4时，第5个马年大吉数为62－42＝20，当m＝5，n＝2时，第6个马年大吉数为52－22＝21，当m＝5，n＝1时，第7个马年大吉数为52－12＝24……当m＝6时有4个马年大吉数，同理m＝7时有5个，m＝8时有6个，列表如下：
当m＝12，n＝10时，马年大吉数为44，m＝13，n＝11时，马年大吉数为48，m＝14，n＝12时，马年大吉数为52，m＝15，n＝13时，马年大吉数为56，第1至第10个马年大吉数分别为8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，第11至第20个马年大吉数分别为33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，第21个马年大吉数为55，第22个马年大吉数为56，第23个马年大吉数为57.
三、解答题
15．利用平方差公式计算：
(1)119×121；
解：原式＝(120－1)(120＋1)＝1202－12＝14 399
(2)59.8×60.2.
解：原式＝(60－0.2)(60＋0.2)＝602－0.22＝3 600－0.04＝3 599.96
16．计算：
(1)4y(x－y)＋(x－2y)(x＋2y)；
解：原式＝4xy－4y2＋x2－4y2＝4xy－8y2＋x2
(2)(－1＋x)(－x－1)－x(2－x).
解：原式＝(－1＋x)(－1－x)－(2x－x2)＝1－x2－2x＋x2＝－2x＋1
17．解方程：(3－x)(3＋x)－x(5－x)＝4.
解：32－x2－5x＋x2＝4，9－5x＝4，－5x＝－5，x＝1
18．若(n＋205)2＝123 456 789，求(n＋215)(n＋195)的值．
解：因为(n＋215)(n＋195)＝[(n＋205)＋10][(n＋205)－10]＝(n＋205)2－102，(n＋205)2＝123 456 789，所以原式＝123 456 789－100＝123 456 689.
19．先化简，再求值：2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝ eq \f(5,2) .
解：原式＝2m－m2＋2m＋m2－9＝4m－9，当m＝ eq \f(5,2) 时，原式＝4× eq \f(5,2) －9＝10－9＝1
20．试说明：( eq \f(1,4) m3＋2n)( eq \f(1,4) m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值与n的取值无关．
解：原式＝( eq \f(1,4) m3)2－(2n)2＋(2n)2－42＝ eq \f(1,16) m6－4n2＋4n2－16＝ eq \f(1,16) m6－16，所以原式的值与n的取值无关
21．如图所示，图1由两个长方形组成，通过移动图1中的阴影长方形得到图2.
(1)根据两个图形面积间的关系，可以验证的乘法公式是_____________________；(用含a，b的代数式表示)
(2)应用所得的公式计算：（1－122）（1－132）·（1－142）…（1－1992）（1－11002）.
解：(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(2)原式＝1－121＋121－131＋13·1－141＋14…（1－1100）（1＋1100）
＝12×32×23×43×34×54×…×99100×101100
＝12×101100
＝101200.
22．(1)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
……
可得到(a－b)(a2025＋a2024b＋…＋ab2024＋b2025)＝______________．
【答案】a2026－b2026
(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2).
【答案】an－bn
(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
解：原式＝ eq \f(1,3) [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋23×(－1)6＋22×(－1)7＋2×(－1)8＋(－1)9]＋1＝ eq \f(1,3) [210－(－1)10]＋1＝ eq \f(1,3) (1 024－1)＋1＝342 n
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
1









…
2









…
3
8








…
4
15
12







…
5
24
21
16






…
6
35
32
27
20





…
7
48
45
40
33
24




…
8
63
60
55
48
39
28



…
9
80
77
72
65
56
45
32


…
10
99
96
91
84
75
64
51
36

…
11
120
117
112
105
96
85
72
57
40
…
…
…
…
…
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…
…