初中数学湘教版（2024）九年级下册不共线三点确定二次函数的表达式优秀课件ppt

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湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件1.3不共线三点确定二次函数的表达式第1章 二次函数授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年2月2日探究新知 一次函数的表达式是 y = kx + b ，只要求出____和____的值， 就可以确定一次函数的表达式. 二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0 ），因此，要确定这个表达式，就需要求出___，___，___的值.kbabc探究归纳问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式. 一般式法求二次函数的表达式解： 设这个二次函数的表达式是y = ax2+bx+c，把 (-3，0)，(-1，0)，（0，-3）代入 y = ax2+bx+c 得① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解得∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：(表达式)2.代：(坐标代入)3.解：方程(组)4.还原：(写解析式)这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为 y = ax2 + bx + c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到 a，b，c 的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法 例1 一个二次函数的图象经过 (0， 1)、( 2，4)、( 3，10) 三点，求这个二次函数的表达式.典例精析解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 ( 0， 1)，可得 c =1.又由于其图象经过 ( 2，4)、( 3，10) 两点，可得解得∴所求的二次函数的表达式是例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.解得 a = 2，b = -4，c = -3.因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点.(2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组：a + b + c = -5， a - b + c = 3，4a + 2b + c = -9， 解得 a =0，b = -4，c = -1.因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点.这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点.问题：例 2 说明了什么？ 若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点. 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 选取顶点 (-2，1) 和点 (1，-8)，试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1，再把点(1，-8) 代入上式得a(1+2)2 + 1 = -8，解得 a = -1.∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1或 y = -x2 - 4x -3.利用顶点式求二次函数的表达式典例精析 例2 一个二次函数的图象经点 ( 0， 1)，它的顶点坐标为( 8，9)，求这个二次函数的表达式.解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为( 8，9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.∴所求的二次函数的表达式是归纳总结顶点法求二次函数表达式的方法这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是 y = a(x - h)2 + k；②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；④ a 用数值换掉，写出函数表达式.解：因为 ( -3，0)、( -1，0) 是抛物线 y = ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y = a(x - x1)(x - x2). (其中x1、x2为交点的横坐标)因此得 y = a(x + 3)( x + 1).选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 利用交点式求二次函数的表达式解得 a = -1，再把点( 0，-3)代入上式得所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3，所以所求的二次函数的表达式是y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是 y = a(x - x1)(x - x2)；②先把两交点的横坐标 x1，x2 代入，得到关于 a 的一元 一次方程；③将另一坐标的点代入原方程求出 a 值；④ a 用数值换掉，写出函数表达式.1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(1，－1)，(2，－4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线(　　)A．x＝－3 B．x＝－1C．x＝1 D．x＝3 返回D2．已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)A．图象的开口向上B．当x＞0时，y随x的增大而减小C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴是直线x＝1 返回B4. 据科学计算，“长征二号”F运载火箭在点火后第一秒通过的路程为2 km，第二秒时共通过了6 km的路程，第三秒时共通过了12 km的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面240 km的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是(　　)A．10 s B．13 s C．15 s D．20 s5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，0)，B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则y的取值范围是____________． 返回6．已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，顶点为P.(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；(2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位，再向下平移m个单位(m>0)，平移后的抛物线过点C(2，3)，求m的值． 返回根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－2－m)2＋9－m，将点C(2，3)的坐标代入上式，得－(2－2－m)2＋9－m＝3，解得m1＝－3，m2＝2.又∵m＞0，∴m＝2.课堂小结 求二次函数解析式的三种表达式的形式. (1)已知三点坐标,设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c. (2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为 y = a(x-x1)(x-x2).