专题02 一次函数及其应用【十大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的字母与的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
模块三
考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：若函数y=k+3x+k2−9是关于x的正比例函数，则（ ）
A．k=−3B．k=±3C．k=3D．k=13
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】∵ y=k+3x+k2−9是关于x的正比例函数，
∴k2−9=0且k+3≠0，
解得k=3，
故选C．
【变式1】下列各关系中成正比例的有（ ）
①圆的周长与半径；
②速度一定，路程与时间；
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高ℎ；
④长方形的面积一定时，长与宽．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题．
【详解】①设圆的半径为r，周长为C，则Cr=2π固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系；
②St=v，则速度一定，路程与时间是正比例关系；
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高ℎ乘积固定，不是比值固定，不成正比例．
④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例．
故符合条件的有：①②，
故选：C．
【变式2】已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x−1成正比例，且当x=3时，y=4；当x=1时，y=2，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】y=x+1
【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了待定系数法、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
由y1与x成正比例，y2与x−1成正比例，可设出两个比例系数不同的正比例函数，再将其代入到y=y1+y2中，就得到了y关于x的解析式，最后将两个点代入解析式，求解系数即可得出结果．
【详解】解：∵y1与x成正比例，y2与x−1成正比例，
∴y1=k1xk1≠0，y2=k2x−1k2≠0，
∴y=y1+y2=k1x+k2x−1，
∵当x=3时，y=4；当x=1时，y=2，
∴3k1+k23−1=4k1+k21−1=2，
解得，k1=2k2=−1，
∴y=2x−x−1=x+1．
故答案为：y=x+1．
【变式3】已知函数y=m−2xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，则m+n的值为 ．
【答案】−5
【知识点】正比例函数的定义、求一元一次不等式的解集、解一元二次方程——直接开平方法、已知式子的值，求代数式的值
【分析】由函数y=m−2xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，可得m−2≠0m2−3=1，n+3=0，计算求解m，n的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵函数y=m−2xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，
∴m−2≠0m2−3=1，n+3=0，
解得m=−2，n=−3，
∴m+n=−5，
故答案为：−5．
【点睛】本题考查了正比例函数，解一元一次不等式，解一元二次方程，解一元一次方程，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点2：正比例函数图像性质
典例2：若反比例函数y=k−3x的图象在一、三象限，正比例函数y=(2k−9)x的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0，图象分布在第一、三象限；当k0，解得k>3，根据正比例函数的性质得2k−9