专题04 二次函数及其应用【十五大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
（三）二次函数图像与系数的关系
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)
①抛物线是关于对称轴x=-b2a 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，y=4ac−b24a，
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，y=4ac−b24a，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
②交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
模块三
考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
A．y=1x2B．y=ax2+bx+c
C．y=xx−2−1D．y=x2−xx+1
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、y=1x2不是二次函数，故不符合题意；
B、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故不符合题意；
C、y=xx−2−1=x2−2x−1，是二次函数，故符合题意；
D、y=x2−xx+1=x2−x2−x=−x不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】若函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，则（ ）
A．n≥−3B．n≠3C．n≠−3D．n=−3
【答案】C
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查二次函数的定义，根据函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数得到n+3≠0求解即可得到答案
【详解】解：∵函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，
∴n+3≠0，
解得：n≠−3，
故选：C．
【变式2】若函数y=m−3xm2−9m+20+mx−6是二次函数，则m的值是 ．
【答案】6
【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：m2−9m+20=2、m−3≠0，首先解方程可以得到m=6或3，再根据m−3≠0，可得m=6．
【详解】解：∵函数y=m−3xm2−9m+20+mx−6是二次函数，
∴m−3≠0m2−9m+20=2，
解一元二次方程m2−9m+20=2，
整理得：m2−9m+18=0，
分解因式可得：m−3m−6=0，
解得：m1=6，m2=3，
又∵m−3≠0，
∴m≠3，
∴m=6．
故答案为：6 ．
【变式3】若二次函数y=mxm2−1+3x+m−4有最小值，则m的值是 ．
【答案】3
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到m>0且m2−1=2，由m2−1=2可得m=±3，再根据m>0可得m=3．
【详解】解：∵二次函数y=mxm2−1+3x+m−4有最小值，
∴抛物线开口向上，二次项系数为正数，
∴m>0m2−1=2，
解得：m=3，
故答案为：3 ．
考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质
典例2：对于二次函数y=x+12−3，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的顶点坐标是1,3B．当x=−1时，y有最小值为−3
C．当x>−1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】B
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=x+12−3，
∴二次函数的顶点坐标为−1,−3，对称轴为直线x=−1，故选项A、D错误；
∵a=1>0，
∴二次函数开口向上，当x=−1时，y有最小值为−3，故选项B正确；
∵a=1>0，抛物线对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
故选：B．
【变式1】对于抛物线y=−x+22−3，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x=2时，y有最大值−3
C．经过第一、二、四象限
D．若点A−3,y1，B1,y2都在抛物线y=−x+22−3上，则y1>y2
【答案】D
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：A、由y=−x+22−3，可知对称轴为直线x=−2，−1−2时，y随x的增大而减小，当x2时，y随x增大而增大，且2