湘教版（2024）七年级上册（2024）3.5 认识二元一次方程组教学设计

这是一份湘教版（2024）七年级上册（2024）3.5 认识二元一次方程组教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
3.5 认识二元一次方程组
一、教学目标
1. 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的一个解的含义.
2. 能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程 (组) 的解.
3. 通过问题情境得出二元一次方程 (组)，体会方程 (组)是刻画现实世界的一个有效模型，同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识.
4.实际生活与数学息息相关，存在紧密的联系，增强学生学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：理解二元一次方程(组)及其解的有关概念．
难点：二元一次方程(组)的解.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 创设情境
教师活动：通过情景设置，让学生对学习内容更加感兴趣
《九章算术》中有一题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉免各几何.”大意为:有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？
(1) 找出，上述趣题中的等量关系：
兔的只数＋鸡的只数＝35；
兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
(2) 根据等量关系，你能列出一元一次方程吗？
解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.
根据题意，可列方程
4x + 2(35－x) = 94.
思考：能否设两个未知数解决呢？
设计意图：通过情境问题，得到列一个未知数能解决实际问题，在此基础上引发学生思考，列两个未知数是否可以解决，从而引出本节课将要学习的内容.
环节二 探究新知
教师活动：通过尝试用二元一次方程解决情境问题，从而归纳得出二元一次方程的概念.
【思考】
若上述趣题，设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
分析：兔的只数＋鸡的只数＝35；兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
设兔有 x 只，鸡有 y 只，根据等量关系，列出方程:
x＋y＝35，4x＋2y＝94
【观察】
观察方程x＋y＝35和4x＋2y＝94，它们有什么共同的特征？能否类比一元一次方程尝试总结定义？
上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作二元一次方程.
注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程就不是一次方程；
(2) 两个未知数，方程的左右两边都是整式.
设计意图：对比所列出的方程的共同特征，总结归纳得出二元一次方程的概念，培养学生发现问题和解决问题的能力.
【做一做】
判断下列方程是否为二元一次方程：
(1)4y-3z=z+6; (2)2y+1.5x;
(3)x²+2y=0; (4)x=3y+1;
(5)2x²+2x+y=2x²; (6)4-xy=0.
预设：（1）（5）是，其它的都不是.
总结：判断要点：①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0.
设计意图：巩固二元一次方程的概念.
【思考】
如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？
要解决上述问题，两个等量关系需要同时成立，也即未知数x,y需同时满足方程x＋y＝35和4x＋2y＝94.
预设：用大括号联立起来.
x+y=354x+2y=94
像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组.
设计意图:通过思考环节，明确二元一次方程组的概念.
【做一做】
满足方程 x＋y＝35，且符合问题的实际意义 (鸡兔的只数) 的值有哪些？把它们填入表中.
思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
预设：还可以取一些非整数，一般地，一个二元一次方程有无数组解.
思考2 上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？
预设：存在x=12,y=23.
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作 x=c1y=c2,求方程组的解的过程叫作解方程组.
设计意图：通过做一做环节，让学生初步体验二元一次方程（组）的解，并由此归纳得出二元一次方程（组）的解.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元.
(1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组.
(2) x=3y=4,是列出的二元一次方程组的一个解吗？
分析：本题中等量关系如下：
购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元，
购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元.
解：(1)根据等量关系，得方程组
3x+2y=17,①3x−2y=1，②
（2）(2)把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，
方程①右边的值也是 17；
方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，
方程②右边的值也是 1.
因此，x=3y=4是列出的二元一次方程组的一个解.
设计意图：巩固列二元一次方程组解决实际问题及二元一次方程的解，培养学生的归纳总结能力.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.一艘轮船顺流航行的速度为24 km/h，逆流航行的速度为18 km/h.它在静水中的速度为xkm/h，水的流速为vkm/h，请列出相应的二元一次方程组.
分析：本题中等量关系如下：顺流速度＝静水速度+水流速度，逆流速度＝静水速度-水流速度，
解：根据题意，可得，
x+v=25x−v=18
2.下列不是二元一次方程组的是( )

答案：B
若一个二元一次方程组的解为x=2y=−1，则这个方程组可以是_____________(只要求写一个).
答案：x+y=1x−y=3
4. x=2y=1是二元一次方程组3x−4y=2,①4x−3y=6,② 的解吗？
解：把 x 用 2，y 用 1 分别代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左边的值是 3×2-4×1＝2，
方程①右边的值也是 17；
方程 ② 左边的值为 4×2－3×1＝5，
方程②右边的值是 6.左边≠右边.
因此，x=2y=1不是二元一次方程组的解.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯