高中人教版函数表格教案

这是一份高中人教版函数表格教案，共8页。教案主要包含了明确内容，选择路径，探究性质，把握图象，变换系数，构建模型，课堂小结，形成结构，课后延伸，应用拓展等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
秋季
课题
探究函数y=x+1x的图象与性质
教科书
书 名：数学必修第一册（A版）
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
1.能够根据基本不等式，单调性的定义探究函数y=x+1x的值域和单调性，体会从已知到未知的探索过程，感悟数学学习过程的整体性；
2.能够通过描点法或者根据函数的性质画出y=x+1x的图象，感受纸笔作图的过程，在画图的过程中，进一步地巩固已研究的性质，并发现新性质；
3.借助几何画板观察函数y=x，y=1x, y=x+1x三个图象间的关系，发现函数y=x+1x的两条渐近线。信息技术在数学学习过程中带来“形”的直观，这种直观可以帮助学生发现问题，从现象到本质需要 “数”的论证，培养学生发现问题，解决问题的能力；
4.通过画出函数y=x+2x，y=2x+1x图象的过程，巩固函数单调性的变化界点和图象的渐近线，通过对比函数y=x+2x与y=x+1x，y=2x+1x与y=x+1x图象，发现系数对图象形状的影响，并从数的角度论证，归纳函数y=ax+bx(a>0,b>0)中a,b对图象的顶点位置和开口大小的影响，感受从特殊到一般的研究过程，提升数学抽象，数学建模，直观想象，逻辑推理等重要的核心素养；
5.能够类比函数y=x+1x的研究过程，研究其它新函数，感悟函数研究路径的统一性。
教学内容
教学重点：
1. 探究函数y=x+1x的性质和图象；
2. 探究函数y=ax+bx(a>0,b>0)的性质和图象。
教学难点：
1. 通过基本不等式得到函数最值，联系最值与单调性的关系得到函数y=x+1x单调区间的分界点；
2. 通过观察函数y=x，y=1x ，y=x+1x图象间的关系，通过极限思想，得出y轴和直线y=x为函数y=x+1x的两条渐近线。
教学过程
环节一 明确内容，选择路径
引问1 函数y=x+1x是一个新函数，你认为从哪些方面研究这个函数呢？
师生活动 学生思考并说明可以从定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、对称性、图象等内容着手研究函数，学生之间相互补充。
引问2 你认为可以按照怎样的路径研究这个函数呢？
师生活动 学生可能会从图象与性质两个角度出发研究函数，并选择一种合适的路径展开研究。
【设计意图】面对一个对象，要明确需要研究的问题。在前面幂函数的学习过程中，学生已经知道了研究函数的哪些内容，在面对新函数时，按照这些内容对研究对象展开研究。
环节二 探究性质，把握图象
问题1根据解析式结构发现y=x+1x由函数y=x和y=1x相加而成，你能根据函数y=x和
y=1x的性质发现函数y=x+1x的性质吗？
师生活动 由学生对照表格进行逐项对比
y=x
y=1x
y=x+1x
定义域
R
（-∞，0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
增函数
在区间（-∞，0)，
(0,+∞)上单调递减
值域
R
（-∞，0)∪(0,+∞)
学生代表发言，由函数y=x与y=1x的定义域可知函数y=x+1x的定义域为
（-∞，0)∪(0,+∞)；
因为函数y=x与y=1x都是奇函数，所以函数y=x+1x也为奇函数。
追问 你能根据函数y=x与y=1x的单调性和值域确定函数y=x+1x的单调性和值域吗？
师生活动 学生思考并回答，无法根据函数y=x与y=1x的单调性和值域确定y=x+1x的单调性和值域。
【设计意图】温故而知新，借助幂函数y=x与y=1x的基本性质对函数y=x+1x的性质展开研究，这也是研究新函数的有效路径。由函数y=x与y=1x的加法运算得到的新函数，其定义域和奇偶性由这两个函数直接得到，单调性和值域不能直接获得，但是否有相关性呢，为后面的问题埋下伏笔。
问题2 如何确定函数y=x+1x的单调性和值域呢？
师生活动 学生可以根据解析式结构发现函数的最值问题在基本不等式的学习过程中已经研究过。可以先研究函数的最值，得到函数的值域：当x>0时, x+1x≥2当且仅当x= 1x 即x= 1时，y取到最小值2 ；当x0,b>0)无论a,b怎么变化y=ax+bx(a>0,b>0)的图象始终是双勾形状，这个解析式就是双勾函数的一般形式。你能说一说它有哪些性质吗？
师生活动 学生对照图象整理性质，并填表：
y=ax+bx(a>0,b>0)
定义域
（-∞，0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇函数
单调性
在区间（-∞，-ba]，[ba,+∞)上单调递增
(-ba,0),(0,ba)上单调递减
值域
（-∞，-2ab]∪[2ab,+∞)
渐近线
y轴和直线y=ax
追问4 函数y=ax+bx(a>0,b>0)是否还有其它的性质呢？
【设计意图】建构函数y=ax+bx(a>0,b>0)模型，并借助几何画板展示系数对图象的影响，让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的函数建模过程。追问4可以鼓励学生课后通过几何画板继续展开研究，对于发现的结论，先猜想后证明。
环节四 课堂小结，形成结构
师生活动 教师整理本节课的整体架构：
让学生回顾本节课的主体思路是从研究y=x+1x的图象与性质出发，对函数解析式进行系数上的变形，建立一般双勾函数的模型，从特殊到一般的变化过程，自然清晰层层铺垫。
环节五 课后延伸，应用拓展
作业1 函数y=x和y=1x通过加、减、乘、除等运算，可以得到一系列函数，今天我们研究了y=x+1x，请同学们课后继续尝试探究函数y=x-1x的图象与性质。
作业2 尝试对其它函数做加、减、乘、除等运算得到新函数，并探究新函数的图象与性质。
【设计意图】引导学生用本节课构建新函数及研究新函数的路径和方法，构建和研究其它新的函数。教师用波利亚的名言：数学的趣味性就在于它需要我们推理和创造能力的充分发挥，启发学生发现数学中的趣味性，激发学生在数学学习过程中去发现和创造。