高中数学人教版第一册上册函数表格教案

这是一份高中数学人教版第一册上册函数表格教案，共6页。教案主要包含了设计意图，预设师生活动等内容，欢迎下载使用。

课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
秋季
课题
函数与函数的周期
教科书
书 名：普通高中教科书·数学必修第一册（A版）教材
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
1. 通过具体函数让学生理解周期函数的概念；通过定义法能熟练地求出简单三角函数的周期，并能用定义法推导一般函数y=f (ωx+φ)的周期．
2. 理解与掌握函数及周期的求法及周期公式．
3. 体会从形到数、由特殊到一般、由易到难的认知规律，领悟数形结合的思想．
教学内容
教学重点：
1. 用周期函数的定义求函数及的周期，得到它们的周期公式，并归纳出定义法求周期的一般步骤．
2. 推广使用定义法，得到一般函数f (ωx+φ)的周期．
教学难点：
1. 对周期函数概念的理解；最小正周期的意义；
2. 定义法的应用．
教学过程
复习回顾
问题1：周期函数、最小正周期的定义是什么?
周期函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期.
最小正周期的定义： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
问题2：正弦函数是周期函数吗？它的周期和最小正周期分别是什么?
（1）正弦函数 y=sinx(x∈R) 是一个周期函数.
2π
4π
−4π
-2π
y
x
（2）周期为 2π、4π、−2π、−4π、⋯.
（3）最小正周期为 2π ．
【设计意图】对前一节课中的知识进行回顾，并用正弦函数直观说明周期函数、周期、最小正周期这三个概念，为本节课的探究作好准备．
探究正弦型、余弦型函数的周期
例1 求下列函数的周期．
（1），；
（2），；
（3），．
【预设师生活动】 引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．
因为3cs（x+2π）=3csx，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cs(x+π) = -3csx ≠ 3sinx，所以 π 不是周期．
引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么sin u的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u+2π时，函数sin u的值重复出现，而u+2π = 2x+2π = 2(x+π) ，所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π 时函数值重复出现．因为sin 2(x+π) =sin(2x+2π)= sin2x，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
（3）因为
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
【设计意图】紧扣周期函数的定义,形成求正弦型、余弦型函数周期的方法. 教师引导学生在解题过程中注意归纳周期和表达式中的哪些量有关,在概念的应用中经历严谨论证的思维过程,提升学生逻辑推理能力,培养学生的数学抽象核心素养.
问题3：回顾例1的解答过程，思考一下求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么?
【预设师生活动】由学生总结阐述，教师点评、补充．
1．求解的依据是周期函数的定义.
2. 求解的步骤:第一步，先用换元法转换；第二步，利用已知三角函数的周期找关系；
第三步，根据定义变形；第四步，确定结论．即
整体换元 利用周期 定义变形确定结论
在总结过程中，强调求出函数y = cs2x的周期T，即求出满足cs 2(x+T) = cs2x的最小正数T．求出函数的周期T，即求出满足的最小正数T．
强调：用定义法求周期要注意：
（1）对于定义域中的每一个 x，f(x+T)=f(x) 恒成立．
（2）针对 f(x+T)=f(x) 中自变量 x 本身所加的常数 T 才是周期．
【设计意图】让学生通过归纳、概括例题当中函数周期的求法，让知识系统化，体会数学抽象过程，并以此培养学生的数学抽象素养．
问题4：例1中的这些函数的周期与解析式中的哪些量有关?
【预设师生活动】 观察例1中的三个函数的最小正周期与函数解析式中各个量的关系，猜想函数周期与x的系数有关．
探究1：函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期是什么?
【预设师生活动】引导学生用定义法求解．因为y = sinx的周期为2π，所以
y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin[ω(x+)+φ]=Asin(ωx+φ)，
于是有f (x+)=f (x)，所以其周期为．从而得到正弦型、余弦型函数的周期公式：
（1）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期为
（2）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期为
【设计意图】让学生充分经历由特殊到一般的推广，思维活动层层递进，培养学生的逻辑推理能力，提升数学抽象核心素养．
练习1：求下列函数的周期．
（1），；
（2），；
【预设师生活动】引导学生用公式法求解．由公式，（1）中，（2）中，
发现前面得到的公式不适用于本道题．利用正弦函数的诱导公式，可得
y=sin(−2x−)＝－sin(2x＋)，
再根据公式，得到．
追问：必须先将 ω 转化成正数，才能求函数的周期吗?
小结：正弦型、余弦型函数的周期公式：
（1）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω≠0，x∈R)的周期为
（2）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω≠0，x∈R)的周期为
【设计意图】让学生从试错的过程中，体会正弦型、余弦型函数从 ω>0 推广到 ω≠0 时周期公式的变化，激发学生的探索欲望．
练习2：口答下列函数的周期．
（1），；
（2），；
（3），．
（4），．
推广：一般周期函数的周期
探究2：如果函数y=f (x)的周期是T，那么函数y=f (ωx)(ω>0)的周期是什么?
【预设师生活动】 设y = g(x) = f (ωx)，令ωx+φ = z，z∈R. 由已知条件f (z＋T )＝f (z)，
即f (ωx+T)＝ f (ωx)，从而f [ω(x＋)]＝f (ωx)， 即g(x＋)＝g(x)．因此函数y= f (ωx)的周期是．
追问：函数y=f (ωx+φ) (ω>0, φ为常数)的周期是什么？
函数y=f (ωx+φ) (ω≠0, φ为常数)的周期是什么？
【预设师生活动】 引导学生用定义法独立探究．通过定义法的四个步骤，可以发现，加 φ 对周期没有任何影响．这也与前面得到的结论一致：此类函数的周期只与自变量的系数有关．
【设计意图】再次让学生用定义法求一般函数的周期，经历数学研究的一般途径．让学生充分经历由特殊到一般的推广，思维活动层层递进，培养学生的逻辑推理能力，提升数学抽象核心素养．
问题5：知道一个函数具有周期性，对研究它的图象与性质有什么帮助?
【预设师生活动】 对于一个周期函数，如果我们把握了它在一个周期内的情况，那么整个函数情况也就把握了. 因此，研究周期函数的图象与性质，只需研究一个周期即可．
【设计意图】让学生体会学习本节课的重要性，了解最小正周期对周期函数的意义．
课堂小结
问题6：求周期函数的周期有哪些方法?
（1）定义法．求出使f (x+T)=f (x)，x∈D成立的最小正数T．
（2）公式法．若函数y=f (x)的周期是T，那么函数y=f (ωx+φ)(ω≠0)的周期是．
函数、的周期为