人教版第一册上册第二章 函数函数教课内容课件ppt

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如何研究正切函数的性质和图象？
【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的 图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？
【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.
(2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究 其图象.
【问题】正切函数 的定义域是什么？
【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是
【1】周期性： 由诱导公式 可知， 正切函数是周期函数，周期是π.
【2】奇偶性： 由诱导公式 可知， 正切函数有奇偶性，是奇函数.
表明正切函数的定义域关于原点对称
表明正切函数的图象关于原点对称
【问】你能证明正切函数的周期性吗？
【答】①当k是偶数时，
由周期函数的定义可知，正切函数的周求是 是它的最小正周期.
【再答】可以先研究正切函数在 之间的图象和性质，再加以拓展.
【问】如何画出函数 的图象？
【答】如图，设 ，在坐标系中画出角 的终边与单 位圆的交点 .过点B作 轴的垂线，垂足为 M；过点A(1，0)作 轴的垂线与角 的终边交于点T，则
由此可见，当 时，线段AT的长度就是角 的正切值，利用线段AT画出函数 的图象如图所示.
观察可知，函数图象呈类似于指数型的增长，向右上方无限接近直线
【问】如何画出正切函数的全部图象？
【答】利用奇偶性和对称性，把函数在 之间的部分进行复制平移即可.
我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无数个形状相同的曲线组成的
【问】正切函数的图象有怎样的特征？
【答】①图象关于原点对称
②图象在 轴上方的部分下凹；在 轴下方的部分上凸.
②图象被相互平行的直线 隔开，图象无限 接近这些直线，但永不相交。?
正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。 或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线法.
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正切函数的单调性和值域
【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增； 由周期性可知，正切函数在每个区间 上都单调递增
【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能 发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？
【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与 横轴的交点。 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.
【值域】观察图象，当 时， 在 内可以取到任意实数 值，但没有最大值或者最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.
【例1】求函数 的定义域和周期.
【解】自变量 的取值满足条件
设 ，又 ，所以
因为 都有
【例2】观察正切曲线，直接写出满足下列条件的 的范围.
【例3】求下列函数的周期.
所以函数 的周期为 .
所以函数 的周期为 .
【例4】若 在 内为减函数，则（ ）
【解】由题意有 ，且 ，所以