2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题28 相似三角形与动点相关的问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题28 相似三角形与动点相关的问题（讲义）（解析版），共33页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，等腰△CDE，CD＝DE，∠BAC＝∠EDC，DE交BC于点M，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝30°，AC＝3，AD，求DE的长度；
（2）如图2．若DM⊥BC求证：2MB+EB＝BC．
（3）如图3，∠A＝30°，AC∥DE，CN⊥AB，EF⊥CE，延长DB至点H，使得DH＝DE，试判断FM与FN的数量关系，并写出证明过程．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）如图1中，过点D作DH⊥AC于H．解直角三角形求出AH，DH，CH，利用勾股定理求出CD即可．
（2）如图2中，在MC上截取MT，使得MT=BM，连接DT．想办法证明△DCT≌△DEB，推出CT=BE，可得结论．
（3）如图3中，结论：FM=2FN．证明△FEH是等边三角形，FM=FB，∠FBN=30°，可得结论．【详解】
（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AC于H．
在Rt△ADH中，∠BAC＝30°，AC＝3，AD，
∴DH=AD=，
AH=，
∵AC=3，
∴CH=AC-AH=，
∴CD=，
∵DE=CD，
∴DE=．
（2）证明：如图2中，在MC上截取MT，使得MT=BM，连接DT．
∵∠A=∠CDE，AC=AB，DC=DE，
∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD=∠BCE，
∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠A+∠ACD，
∴∠ACD=∠BDE，∴∠BDE=∠BCE，
∵∠BMD=∠EMC，
∴△BMD∽△EMC，
，
∵∠CMD=∠BME，
∴△BME∽△DMC，
∴∠BEM=∠DCM，∠EBM=∠CDM，
∵∠DCE+∠CDE+∠CED=180°，∠CDE=∠EBM，∠CED=∠CBD，
∴∠DCE+∠EBM+∠CBD=180°，
∴∠DCE+∠DBE=∠DBC+∠DBE=180°，
∵DE⊥BT，MT=MB，
∴DT=DB，
∴∠DTB=∠DBC，
∵∠DTB+∠DTC=180°，
∴∠DTC=∠DBE，
∵DC=DE，
∴△DCT≌△DEB（AAS），
∴CT=BE，
∴BC=BT+CT=2BM+BE．
（3）解：如图3中，结论：FM=2FN．理由如下：
连接DF，BF，FH．
∵AC=AB，DC=DE，∠A=∠CDE=30°，
∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=75°，
∵DE∥AC，
∴∠DMB=∠ACB=∠CME=∠ABC=75°，∠EDB=∠A=30°，∠ACD=∠CDE=30°，
∴∠CDE=∠HDE=30°，
∵DC=DE=DH，
∴△DEC≌△DEH（SAS），
∴EC=EH，
∵CN⊥AH，
∴∠ACN=60°，
∴∠ACD=∠DCN=30°，
∵∠DCE=75°，
∴∠ECF=45°，
∵EC⊥EF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=EF=EH，
∵∠FEH=75°+75°-90°=60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴FE=FH，
∵DE=DH，DF=DF，
∴△DFE≌△DFH（SSS），
∴∠EDF=∠HDF=15°，
∴∠MDF=∠MCF=15°，
同理可得∠DCM+∠DFM=180°，
∵∠DCM=45°，
∴∠DFM=∠DFB=135°，
∴∠BFM=90°，
∵DF=DF，∠FDM=∠FDB，DM=DB，
∴△DFM≌△DFB（SAS），∴FM=FB，
∴∠FBM=45°，
∵∠CBN=90°-15°=75°，
∴∠FBN=30°，
∴BF=2FN，
∴FM=2FN．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，含30度角的直角三角形的性质，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．
2．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证；
（2）根据题意可知，，设则,求得,分别求得,根据，即可求得；
（3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值
【详解】
（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，
即
设，则,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，
，
，


三点共线，
，设则
（3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的，
使得的落点为,的落点为，
过点作于点,交的延长线于点，
作点关于的对称点,连接
则，
当点三点共线时，取等于号
由作图知:， 且,
，AB＝5
,

四边形是矩形
在中
在中，
四边形是矩形
,
四边形是矩形
,
在中，
的最小值为【点睛】
本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键．
3．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF．
（1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H．
①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH．
②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长．
（2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线定理，得到平行线，得到∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH，得证△EGH∽△DBH；
（2）连接BD，根据EG是中位线，∠EDF＝2∠GED，可证明∠ADE=∠CDF，根据菱形的性质，可得△ADE≌△CDF，得AE=CF=2,得BE=BF，再根据∠B=60°证明△BEF是等边三角形，即可得EF=BE=2；
（3）延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K，根据△EFM∽△AFE，设相似比，继而得出，再由列方程求出k和BF即可．
【详解】
解：（1）∵点E是AB的中点，AD中点G，
∴EG//BD，
∴∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH，
∴△EGH∽△DBH；
（2）如解（2）图，连接BD，
由（1）EG//BD，
∴∠GED=∠EDB，
∵∠EDF=2∠GED，
∴∠EDF=2∠EDB=∠EDB+∠FDB，
∴∠EDB=∠FDB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠CDB，∠DAE=∠DCF，AD=DC，
∴∠ADB-∠EDB =∠CDB-∠FDB，即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=2,
∴BE=BF=2，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=2；
（3）如解（3）图，延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K，
∵在四边形ABCD是菱形中，，
∴△ADE∽△BNE，∴，
∴，，
∵,,
∴在中，，
∵∠DEF＝∠BAF，∠AFE＝∠EFM,
∴△EFM∽△AFE，
设相似比，，
则 ，，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
整理得，
∴，（舍去），
将代入并整理得：，
解得．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、三角形中位线等知识，解题关键是利用全等三角形或相似三角形求出线段之间的关系，本题设参数解方程是难点，要求有较强的计算能力．
4．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm2．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
【答案】（1）见解析；（2）①（）；②当时，△PBC的周长最小，此时．
【解析】
【分析】
（1）由已知条件易证△DCF∽△ABC，可得，即可得AB·AF＝CB·CD；
（2）①由勾股定理求得AC=12，即可得CF＝AF＝6，根据四边形BCDP的面积=△DCP的面积+△BCP的面积即可得y关于x的函数关系式；
②由题意可知△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，当当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．这时求得x、y的值即可．
【详解】
（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC
∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DCF＝∠DAF＝∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中，
∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B
∴△DCF∽△ABC
∴，即．∴AB·AF＝CB·CD
（2）解①∵AB＝15 BC＝9 ∠ACB＝90°
∴AC＝＝＝12
∴CF＝AF＝6
∴y=（x+9）×6＝3x＋27（x＞0）
②∵BC＝9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．
由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．
此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．
由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．
由EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．
∴AF∶BC＝AD∶AB，
即6∶9＝AD∶15．
∴AD＝10．
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．
∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．
∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝
5．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）能；BE=1或．（3）BE=3时，AM最短为.
【解析】
【分析】
（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值．
【详解】
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B．
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；
①当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1；
②当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA．
∵∠MEA=∠B，∴∠MAE=∠B．
∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=．
综上所述：BE=1或．
（3）设BE=x．
又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴当x=3时，AM最短为．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解答此题的关键．
6．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．
（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；
（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求的值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接CE，通过全等三角形的判定，得到Rt△CFE≌Rt△CDE，进而得出结论；
（2）连接BG、BF、BD，作CH⊥DF，垂足为H．依据△CFG≌△CBG，可得GF=GB，进而得出△GBF是等腰直角三角形，故BF＝BG．再判定△BGA∽△FBD，即可得到．
【详解】
（1）如图1，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠D=90°．
∵△PBC和△FPC关于PC对称，
∴BC=CF，∠B=∠PFC=90°．∴∠EFC=90°．
∴∠EFC=∠D=90°，CF=CD．
∵CE=CE，
∴Rt△EFC≌Rt△DFC（HL）．
∴EF=ED．
（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH⊥DF，垂足为H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD．
∵CH⊥DF，
∴∠HCF=，
∵△PBC和△FPC关于PC对称，
∴BC=CF，∠FCG=∠BCG．
∴EB⊥CG．
又∵CG=CG，
∴△CFG≌△CBG．
∴GF=GB．
∵∠HCF=，∠FCG=∠BCG=，
∴∠HCK==45°．
∴∠PFH=135°．
∴∠GFB=45°．
∴∠GBF=45°．
∴△GBF是等腰直角三角形．
∴．∵∠ABD=45°，
∴∠GBA=∠FBD．
∵，
∴△BGA∽△FBD．
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论．
7．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的长分别为或3．
【解析】
【分析】
（1）由比例中项知 ，据此可证 得，再证明 可得答案；
（2）先证 ，结合 ，得 ，从而知 ，据此可得 ，由（1）得，据此知 ，求得 ；（3）分 和 两种情况分别求解可得．
【详解】
（1）证明：∵是和的比例中项
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵与互相垂直
∴
∵
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴∵，，
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∵，
又，由（1）得
∴
当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时
1) ，如图
∴
由（2）得：
2），如图
过点作，垂足为点
由（1）得
∴
∴又
设，则，，
又
∴，解得
∴
综上所述，的长分别为或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，利用三角形相似以及相关的等量关系来求解MN和DE的长．
8．如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件先求出CE的长，再证明，在Rt△CHE中解三角形可求得EH的长，最后利用勾股定理求CH的长；
（2）证明，进而得出结果；
（3）由（2）得，进而，即，再结合，可得出，进一步得出结果.
【详解】
（1）解：∵矩形，，
∴.
而，，
∴，
又∵，，∴，
易得.
∴，∴.
∴.
（2）证明：∵矩形，，
∴，而，
∴，∴，
∴；
（3）证明：由（2）得，
∴，即，
而，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.
9．如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围
（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积
【答案】（1）；（2）；（3）当∠DEP=90°时，面积为；当∠PDE=90°时，面积为
【解析】
【分析】
(1)利用矩形的性质以及锐角三角函数关系进而得出,即可得出tan∠PBF的值;
(2)首先根据相似三角形的判定定理得出,然后利用相似三角形的性质进而得出,即可求出y与x的函数关系;
(3)利用当△DEP与△BCD相似时,只有两种情况:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°,分别利用勾股定理和相似三角形的性质计算得出答案即可.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形,
又
即
又
,即
如图,作垂足为H,则
又
设则,
,
又
由勾股定理得：
=
又
当△DEP与△BCD相似时,
只有两种情况:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°
①当∠DEP=90°,
∵∠DPE+∠PDE=90°即
∠PDE=∠CBD
∴BE=DE
设CE=a,则BE=DE=4-a
在Rt△DEC中,勾股定理得
解之
则,
又∵△BCD的面积=4
②当∠EDP=90°,如图2,
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理的运用,二次函数几何问题的应用,解决本题的关键是正确理解题意,熟练掌握相似三角形的判定定理,能够根据几何问题中各量之间的数量关系列出相应的函数关系式.
10．在四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点Q是AD边上一点，BQ交AE于点P，∠ABQ=∠DAE，点F是AB边的中点．
（1）当四边形ABCD是正方形时，如图（1）．
①若BE=BA，求证：△ABP≌△EBP；
②若BE=4DE，求证：AF2=AQ·AD．
（2）当四边形ABCD是矩形时，如图（2），连接FQ，FD．若BE=4DE，求证：∠AFQ=∠ADF．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析．【解析】
【分析】
（1）①由HL可证明Rt△ABPRt△EBP；
②证明：过点E作EG⊥AD于点G可得△DEG∽△DBA，可得，以及△BAQ∽△AGE，可得，设DG=a，则GE=a，DA=5a，AB=5a，AG=4a．AQ=，代入即可证明：AF2=AQ·AD；
（2）延长AE交于CD边于点H，设DH=m，由AB∥CD，可得△DEH∽△BEA，可得AF=2m，由△BAQ∽△ADH，可得 即AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2，可证△AFQ∽△ADF，即可得出∠AFO=∠ADF．
【详解】
（1）①证明：在正方形ABCD中，∠ABQ=∠DAE．
∵∠ABQ＋∠BAP=∠DAE＋∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BPA=∠BPE=90°．
在Rt△ABP和Rt△EBP中，
，
∴Rt△ABPRt△EBP
②证明：过点E作EG⊥AD于点G，如图
∴∠GED=∠BAD=90°
∵∠GDE=∠ADB
∴△DEG∽△DBA，
∴
设DG=a，则GE=a，∴DA=5a，AB=5a，AG=4a．
∵∠ABQ=∠DAE，∠BAQ=∠AGE，
∴△BAQ∽△AGE，
∴
即AQ=
∵F是AB边的中点，
∴
又∵AQ·AD=，
∴AF2=AQ·AD
（2）证明：延长AE交于CD边于点H，设DH=m
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△DEH∽△BEA，
∴即AB=4m，
∴AF=2m
∵∠BAQ=∠APB=90°
∴∠ABQ+∠BAP=∠DAH+∠BAP=90°
∴∠ABQ=∠DAH
∵∠BAQ=∠ADH=90°，∠ABQ=∠DAH
∴△BAQ∽△ADH，，
∴ 即AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2，∴
又∠FAO=∠DAF，
∴△AFQ∽△ADF，
∴∠AFO=∠ADF．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．
【答案】（1）①AE=BF；证明见解析；②DF=；（2）DF=．
【解析】
【分析】
（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，
②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，
（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．
【详解】
（1）①AE=BF，理由如下：证明：∵ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF
∵∠BOD=∠AOC=180°
∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE
即∠BOF=∠AOE
∴△BOF≌△AOE（SAS），
∴BF=AE
②∵OB=OD=OF，
∴∠BFD=90°
∴△BFD为直角三角形，
∴，
∵BF=AE
∴
∵BD=7，AE=
∴DF=
（2））∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE， ∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD
∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB
∴ ，且∠EOA=∠FOB
∴△AOE∽△BOF，
∴


∵OB=OF=OD
∴△BDF是直角三角形，
∴

【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOE∽△BOF是解本题的关键．
12．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．
（1）求证：BG＝GF；
（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH•BH．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得，可得结论；
（2）由“SAS”可证△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通过证明△AHG∽△BHA，可得结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AB＝AE，
∴AE＝CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴，
∴BG＝GF；
（2）∵AB＝AE，
∴BE＝2AE，
∵AC＝2AB，
∴BE＝AC，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC＝DE，
∴DE＝BE，
∵点F是DE的中点，
∴DE＝2EF，
∴AE＝EF，
∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，
∴△BEF≌△DEA（SAS），
∴∠EBF＝∠EDA，∵AC∥DE，
∴∠GAH＝∠EDA．
∴∠EBF＝∠GAH．
∵∠AHG＝∠BHA，
∴△AHG∽△BHA，
∴．
∴AH2＝GH•BH．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用相似三角形判定和性质是本题的关键．
13．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．
（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．

【答案】（1）①1；②；（2），．理由见解析；（3）2或4．
【解析】
【分析】
（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；
（2）根据锐角三角比可得，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，根据相似撒尿性的性质求解即可；
（3）当点与点在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD的长．
【详解】
（1）①∵，
∴∠BOD=∠AOC，
又∵，，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，
∴=1；
②∵，
∴∠OAB+∠OBA=140°，
∵△BOD≌△AOC，
∴∠CAO=∠DBO，
∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，
∴∠AMB=；
（2）如图2，
，．理由如下：
中，，，
，同理得：，
，
，
，
，
，∠CAO=∠DBO，
∵∠BEO+∠DBO=90°，
∴∠CAE+∠AEM=90°，
∴∠AMB=90°；
（3） ∵∠A=30°，，
∴OA==3．
如图3，当点D和点A在点O的同侧时，
∵，
∴AD=3-2=2；
如图4，当点D和点A在点O的两侧时，
∵，，OA=3
∴AD=3+1=4．
综上可知，AD的长是2或4．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．