2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题25 二次函数中的动点与相似三角形问题(讲义)（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题25 二次函数中的动点与相似三角形问题(讲义)（解析版），共47页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1的对称轴为直线x，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．
(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．
【答案】(1)，．
(2)，．
(3)，或；，或；，或；P ，或；，或；，或．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出即可，再求出点A点C的坐标即可得出结论．
（2）如图1中，过点C作于E，过点D作于F.利用全等三角形的性质求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可．
（3）分6种情形首先确定点P的坐标，再利用相似三角形的性质求解即可．
(1)
解：由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+1，
令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
令y＝0，得到x＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°．
(2)
解：如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．
∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，
∴∠NME + ∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠NME＝∠MDF，
∵NM＝DM，
∴
∴NE＝MF，EM＝DF，∵∠CAO＝45°，ANt，AM＝3t，
∴AE＝EN＝t，
∴EM＝AM﹣AE＝2t，
∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，
∴D（4t﹣1，2t），
∴（4t﹣1）2（4t﹣1）+1＝2t，
∵t＞0，故可以解得t，
经检验，t时，M，N均没有达到终点，符合题意，
∴D（2，）．
(3)
解：如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，
取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，
∵M（，0），D（2，），B（4，0）
∴，DM，BM，BD，
∴DF＝2MF，
∵OC＝2OE，
∴tan∠OCE＝tan∠MDF，
∴∠OCE＝∠MDF，
∵∠OCP＝∠MDB，
∴∠ECG＝∠FDB，∴tan∠ECG＝tan∠FDB，
∵EC，
∴EG，可得G（，），
∴直线CP的解析式为yx+1，
由，解得或，
∴，，
∴，
当或时，△QCP与△MDB相似，可得或，
∴或．
如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于K．
∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，
∴OK＝2OC＝2，
∴点K与F重合，
∴直线PC的解析式为，
由，解得或，∴，
∴，
当或时，△QCP与△MDB相似，可得或，
∴或．
当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得或，
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得或，
当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
2．如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）移动点P，求线段的最大值；
（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标．
【答案】（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，证明△DFG～△BCO，再证△EDG∽△CAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案；
（3）△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）；
②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中．，证明△OCB∽△MBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）．
【详解】
解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得，
，解得，，
∴二次函数的解析式为：；
（2）设BC的函数解析式为：y=mx+n，
把点C（0，2）和B（3，0）代入，得，
，解得，，
∴BC的函数解析式为：，
过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，
∴∠GFD=∠BCO，
∵∠BOC=∠DGF，
∴△DFG～△BCO，
∴，
∵AC∥EP，DG∥AO，
∴∠GDE=∠OAC，
∵∠COA=∠EGD=90°，
∴△EDG∽△CAO，
∴，
设GF=2k，则DG=3k，EG=6k，
∴ED=，
∴ED=EF，
要线段DE的最大，只要求EF的最大值．
设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），
∴EF=
=
=；
当时，EF最大=，
∴ED最大=EF=；
（3）∵△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：
①△DPC∽△DEF，
∴点C与点F对应，∠PCD=∠EFD，
∴CP∥EF，即P与O重合，
∴点P坐标为（0，0）；
②△DCP∽△DEF，
∴点E与点C重合，
∴∠DEF=∠PCD，
∵∠DEF=∠ACO，
∴∠DCP=∠ACO，
∴tan∠DCP=tan∠ACO=；
过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，
在Rt△CBQ中，，
∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，
∴∠MBQ=∠OCB，
∵∠COB=∠BMQ，
∴△OCB∽△MBQ，
∴，
∴BM=OC=1，MQ=BO=，
∴点Q坐标为（2，），
设CQ的关系为：
，
解得：，
∴直线CQ的解析式为：，
当y=0时，，
∴点P坐标为（，0），
综上，点P坐标为（0，0）或（，0）；【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略，
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）或；（2）点C的坐标为或；（3）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，把点O(0，0)代入即可求解；
（2）求得B(0，0)或B(8，8)，分两种情况讨论，①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，利用待定系数法求得直线BC的解析式为，解方程组即可求解；②点B的坐标为(8，8)时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得M (，)，同①可求解；
（3）作出如图的辅助线，点B的坐标为(t，)，得到AH=，BH=，OH=MN，由AH=，BH=，OH=MN，△ABH△BMN得到M(0，)，求得BC的解析式为：，解方程组求得点C的横坐标为，即可求解．【详解】
（1）∵抛物线的顶点坐标为P(2，-1)，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过原点O，即经过点O(0，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）在中，令，
得：，
解得或，
∴B(0，0)或B(8，8)，
①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，
此时∠ABC=∠OAP，如图：
在中，令，
得：，
解得：或，
∴A(4，0)，
设直线AP的解析式为，
将A(4，0)，P(2，-1)代入得，解得：，
∴直线AP的解析式为，
∵BC∥AP，
∴设直线BC的解析式为，
将B(0，0)代入得，
∴直线BC的解析式为，
由，
得：(此点为点O，舍去)或，
∴点C的坐标为(6，3)；
②点B的坐标为(8，8)时，过点P作PQ⊥轴于点Q，过点B作BH⊥轴于点H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图：
∵A(4，0)，P(2，-1)，
∴PQ=1，AQ=2，
在Rt△APQ中，，
∵A(4，0)，B (8，8)，
∴AH=4，BH=8，在Rt△ABH中，，
∴∠OAP=∠ABH，
∵H关于AB的对称点为M，
∴∠ABM=∠ABH，
∴∠ABC=∠OAP，即C为满足条件的点，
设M (x，y)，
∵H关于AB的对称点为M，
∴AM=AH=4，BM=BH=8，
∴
两式相减得：，代入即可解得：
(此点为点H，舍去)或，
∴M (，)，
同理求得BM的解析式为：，
解得：(此点为点B，舍去)或，
∴点C的坐标为(-1，)；
综上，点C的坐标为(6，3)或(-1，)；
（3）设BC交y轴于点M，过点B作BH⊥轴于点H，过点M作MN⊥于点N，如图：
∵点B的横坐标为t，
∴点B的坐标为(t，)，又A(4，0)，
∴AH=，BH=，OH=MN，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH，
且∠N=∠AHB=90°，
∴△ABH△BMN，
∴，即，
∴BN=，
∴HN=，
∴M(0，)，
同理求得BC的解析式为：，
由，得，
解得(点B的横坐标)，或，
∴点C的横坐标为，当时，
，
∴当时，的最小值是12，此时；
∴当时，点C的横坐标的取值范围是．
【点睛】
本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，A点坐标为，与轴交于点，且点坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线上点A与点D之间有一点（包括A、两点），在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）设过点的射线与的夹角为，且，请直接写出该射线与抛物线的交点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）存在；点有，，；（4），．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法将点A、C代入得到方程组，求出a、c得值即可；
（2）过点作于点，根据等腰三角形的性质得到DG=FG，用待定系数法求出直线AC的表达式，用铅垂线的知识点列出方程，求出点的坐标；
（3）先用勾股定理的逆定理证明出为直角三角形，再利用假设三角形相似，对应边成比例，计算点的坐标；
（4）根据题目已知，分为两种情况，根据正切值等于对边比邻边，进行计算．
【详解】
解：（1）把点坐标为，点坐标代入表达时得．解得．
∴解析式为．
（2）过点作于点，

设直线表达式为，
将，代入得：，．
直线表达式为
设点坐标为，
则点坐标为，点坐标为
∵当时，，∴
∴（舍去），．
∴点坐标为．
（3）由得，
∴点坐标为，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且两直角边的比为，
①以点为直角顶点，此时点与点重合

当，，
此时点坐标为．
当，，
此时点不在线段上，不符合题意．
②以点为直角顶点，
设点坐标为点坐标为
当，，
（舍去），
此时点坐标为．
当，，（舍去），，
此时点坐标为．
③以点为直角顶点，
当，由②中结论可知，
∴，，
∵，
∴，
此时不存在符合题意的点
当
由②中结论可知
∴
此时也不存在符合题意的点．
综上，符合题意的点有，，
（4）如图所示，作PN⊥CA，点Q是点P关于点N的对称点，

∵tan∠CAO=，tan∠ACP=，设PN=t，则AN=2t，CN=3t，AC=5t，
∴由勾股定理得：AP=，
∵，
∴，，AP=，
∴OP=2，
∴点P为（-2,0），
设射线CP的表达式为：，将点P代入表达式，得到，
∵点为射线CP与抛物线的交点，
∴，
解得：，
∴点；
在直角△ANP中，由勾股定理求出点N到x轴的距离为 ，则点N的坐标为（），
∵点Q是点P关于点N的对称点，
∴点Q的坐标为（ ），
同理求出射线的表达式为：，
∵点为射线CP与抛物线的交点，
∴，
解得：，
∴点；
故，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合性问题，关键在于结合点的坐标表示线段的长．对于存在性问题，先假设存在，由此进行探究，若能求出点的坐标或线段的长，则存在，否则不存在．对于不确定顺序的三角形三个顶点的相似问题，还必须分类讨论，做到不重不漏．
5．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，为x轴上一点，且．
（1）求抛物线的解析式：
（2）①当点P与点D重合时，求m的值；
②在①的条件下，将绕原点按逆时针方向旋转并平移，得到，点C，O，F的对应点分别是点，，，若的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标；
（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围．
【答案】（1）；（2）①4；②，或，；（3）
【解析】
【分析】
（1）将、两点坐标代入即可，
（2）讨论点坐标得变化，找到变化规律分情况讨论，即可找出得坐标．
（3）当点在方向运动时，通过数形结合分别找到最大值和最小值即可找到的取值范围．
【详解】
解：（1）将、代入抛物线解析式中得：
，解得：，
该抛物线的解析式为：，
（2）①为抛物线的顶点，
，
当点与点重合时，如图所示：过点作轴，过点作轴平行线交延长线于点，
由题意易得：，，，而，即，
，，
，
，即，
，
而四边形为矩形，，
，即，
，
②按题意，将绕原点按逆时针方向旋转得到△，如图所示：
显然此时、、三点都不在抛物线上，故需要将△平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据、、三点特点，可设：
，则，，
当经平移后在抛物线上，把，代入中：，
解得：，
故，，
当经平移后在抛物线上，把，代入中：
，
解得：，
故，，
当经平移后在抛物线上，因为、在竖直方向，故不成立．
综上所述：，或，，
（3），，，点为线段上一动点，为轴上一点，且，
如（2）①中当点与点重合时，，取得最大，随着向移动，随之变化，设存在一点使最小，如图所示：
设，则；设，则，
根据得：
即：，
可得关系式：，当时，取得最小值，
综上所述：．
【点睛】
本题考查二次函数的综合性质，属于二次函数的综合大题，是中考压轴题形，从题干中筛选出有用条件，二次函数的综合性质，坐标的变化规律以及相似三角形知识点灵活运用是解决本题的关键．
6．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A、O、B三点，连结、、，线段交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；求抛物线的函数解析式；
（2）点F为线段上的一个动点（不与点O、B重合），直线与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结、，当点F在线段上运动时，求面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
（3）连结，当面积最大时，在坐标平面内求使得与相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．
【答案】（1），；（2），；（3）或，
【解析】
【分析】
（1）根据、两点坐标求直线的解析式，令，可求点坐标；设抛物线解析式为，将，，三点坐标代入，列方程组求、、的值即可；
（2）依题意，得直线的解析式为，设过点且与直线平行的直线解析式为，与抛物线解析式联立，得出关于的一元二次方程，当△时，面积最大，由此可求的值及点的坐标；
（3）根据三角形相似的性质得到，然后根据勾股定理分别计算出，，，，这样可求出，，设点坐标为，再利用勾股定理得到关于，的方程组，解方程组即可．
【详解】
解：（1）设直线解析式为，
将，代入，得
，解得，
，令，
；
设抛物线解析式为，
将，，三点坐标代入，得
，解得，
；
（2）依题意，得直线的解析式为，设过点且与直线平行的直线解析式为，
联立，得，当△时，过点与平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点到的距离最大，所以面积最大，
解得，，，即；
此时面积；
（3）过点作于，
，，，
，
，，，，
在和中，
，，
，
，
的延长线上存在一点，使得，
，，
与相似（点、、分别与点、、对应），即，
又，，，
，，，，
，，
设点坐标为，
，
解得，，
、关于直线轴对称，
点坐标为或，．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用．根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，此时发现ADM-∠ACM是个常数，请写出这个常数，并证明；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G，当BEF=2BAO时，是否存在点E，使得3GF=4EF？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）45°，详见解析；（3）存在，，
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式为．把点的坐标代入求出，过点作于，则直线的解析式为，构建方程组求出点的坐标，证明，推出可得结论．
（3）如图2中，过点作于，过点作于．证明，由题意，，推出，由，推出，设，，构建方程求出即可解决问题．
【详解】
（1）解：对于抛物线，令，得到，解得或6，
，
直线经过点，
，
，
，
．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式．
平移后的直线经过，
，
，
平移后的直线的解析式为，
过点作于，
则直线的解析式为，
由，解得，
，
，，
，，
．
，
，
．
（3）解：如图2中，过点作于，过点作于．
，，
，
，，
，
，
，设，，
则，，，
，
，
，，，
，
，．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
8．已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，对称轴与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为对称轴右侧且位于轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标；
（3）对称轴上是否存在一点使得，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点M的坐标为，或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由P的位置分析得只能是，得．
延长交轴于，则，设，由两点间距离公式可列方程得到F点的坐标，用待定系数法求直线EF的解析式，于抛物线联立即可求得P点坐标；
（3）当点在轴上方时，连接，，由抛物线的对称性可知MA=MB，则，利用圆中同弧所对圆周角相等的性质得圆心在对称轴上，设的坐标为，根据，可列方程求得的坐标，从而求得M的坐标，最后由轴对称性质可知另一点的坐标．
【详解】
解：（1）把，，点坐标分别代入抛物线解析式，得：
解得：，
∴抛物线的解析式：
（2）如图，只能是，得．
延长交轴于，
∴，
∴
设，则
∴，即．
设直线的解析式为，
则，
解之得，
∴直线的解析式．
联立，
解得或（舍去）
∴．
（3）如图2，
当点在轴上方时，连接，，
设的坐标为，
若，
则点，，，四点在以为圆心的圆上
∴
∵是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当点在轴下方时，
由对称知，，
即：点的坐标为，或．【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，利用二次函数图像的性质求点的坐标，圆的性质确定点的位置，掌握二次函数图象的性质为解题关键．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当PDE和BOC相似时，求点P的坐标；
（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣；（2）(2，4)或(，)；（3），Q(，)
【解析】
【分析】
（1）根据题意直接利用待定系数法进行分析解答即可；
（2）由题意根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可；
（3）根据题意先利用待定系数法计算AC和FQ的解析式，因为Q是FQ与BC的交点，列方程组可得Q的横坐标，从而可以得G的坐标，根据两点的距离公式可得FG2，利用二次函数的最值可得结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣；
（2）如图1，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴DP＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DE＝m，
∵∠BOC＝∠PDE＝90°，
∵，
∴当△PDE和△BOC相似时，
∴＝或，∴3PD＝4ED或4PD＝3ED，
①当3PD＝4ED时，3（﹣m2+4m）＝4m，
4m2﹣﹣8m＝0，
m＝0（舍）或2，
∴P（2，4），
②当4PD＝3ED时，4（﹣m2+4m）＝3m，
解得：m＝0（舍）或，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为：（2，4）或（，）；
（3）∵A（﹣1，0），C（0，4），
同理可得：AC的解析式为：y＝4x+4，
设F（t，4t+4），﹣1＜t＜0，
∵FQ⊥AC，
∴kFQ＝﹣＝﹣，
同理可得：FQ的解析式为：y＝﹣x+t+4，
则，解得：x＝﹣t，
∴G（﹣t，0），∴FG2＝（t+t）2+（4t+4）2＝，
∴当t＝﹣时，FG2有最小值＝，
∴FG的最小值是，
此时Q（，）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键，第三问表示F和G的坐标，根据两点的距离得出FG的长是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【答案】（1），；（2）t=，D点坐标为； （3）；；； ；； ；； ； ；； ．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；
（2）过点N作于E，过点D作于F，证明，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；
（3）设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则b=-3a，
∵抛物线经过点B（4，0），
∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入，
解得：a=，b=，
抛物线的解析式为：，
令y=0，解得：x=4或-1，
令x=0，则y=1，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴tan∠CAO=,
∴；
（2）由（1）易知，
过点N作于E，过点D作于F，
∵∠DMN=90°，
∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，
， ，
（AAS），
，
由题意得：，，，
，
，
，
，又，
故可解得：t=或0（舍），
经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，
此时D点坐标为；
（3）由（2）可知：D，t=时，M（，0），B（4，0），C（0，1），
设点P（m，），
如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，
过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，
则PR=m，DS=，
若△CPQ∽△MDB，
∴，则，，解得：m=0（舍）或1或5（舍），
故点P的坐标为：，
∵△CPQ∽△MDB，
∴，
当点P时，，解得：CQ=，，
∴点Q坐标为（0，），
；
同理可得：点P和点Q的坐标为：
；；
；；
；；；；；；.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.
【详解】
解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∵抛物线经过B（0，2），，∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，
∵，
∴，
当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，
∵，
∴B，Q关于x轴对称，
∴Q（0，-2），又A（4，0），
设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，
，解得：，
∴直线AQ的表达式为：，联立得：
，解得：x=3或-2，
∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），
综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；
（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠MNO+∠CND=90°，
∵∠OMN+∠MNO=90°，∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，
∴△MNO∽△NCD，
∴，即，
整理得：；
②如图，∵∠MNC=90°，
以MC为直径画圆E，
∵，
∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），
∵点M在y轴正半轴，
当圆E与线段OD相切时，
有NE=MC，即NE2=MC2，
∵M（0，m），，
∴E（，），
∴=，
解得：m=，
当点M与点O重合时，如图，
此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，
∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，
故m的取值范围是：0＜m＜.
【点睛】
本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.
12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求点的坐标和物物线的解析式；
（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值．
【答案】（1）；（2）①（，0）或（，0）；②0.5或-1或．
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．
【详解】
解：（1）∵与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0=-2+c，解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，B，
∴，解得
∴抛物线解析式为；
（2）①由（1）可知直线解析式为，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，-m+2），N（m，-m2+m+2），
∴PM=-m+2，AM=3-m，PN=-m2+m+2-（-m+2）=-m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，
∴
解得m=0（舍去）或m=，
∴M（，0）；
当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=
∵∠NBP=90°，
∴∠NBC+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴，
∴，
解得m=0（舍去）或m=，
∴M（，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或
（，0）；
②由①可知M（m，0），P（m，-m+2），N（m，-m2+m+2），
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有，解得m=3（舍去）或m=0.5；
当M为线段PN的中点时，则有，解得m=3（舍去）或m=-1；
当N为线段PM的中点时，则有，解得m=3（舍去）或m=；
综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为0.5或-1或．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．
13．如图，已知抛物线与轴相交于两点，点坐标为，抛物线的对称轴是直线
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴右侧抛物线图像上的一动点，设点的横坐标为.
①是否存在这样的点使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②若该动点在第一象限内，连接，当时，求的值
【答案】（1）；（2）或
【解析】【分析】
（1）将点A的坐标代入可得，由对称轴得，联立可得的值，即可确定抛物线解析式；
（2）由点A、B、C坐标可知.
① 分点P在第一象限和第四象限两种情况讨论，当点在第一象限时，过作交延长线于，作轴于，易证，由可知其相似比为，易知长，可得点坐标，求出直线的解析式与抛物线解析式联立即可确定点P坐标；当在第四象限时，作关于点的对称点，可知点P在直线上，求出直线的解析式与抛物线解析式联立即可确定点P坐标；
②分别过作直线的垂线，垂足分别为，并过作轴平行线交直线于点并设轴交直线于点，易得，于是，设直线解析式为，利用确定k值，求出直线解析式与抛物线解析式联立可得点P坐标，易知t值.
【详解】
解：（1）将点代入得，由抛物线对称轴得，联立得，解得，所以抛物线的解析式为；
由得，
，即.
①当在第一象限时，过作交延长线于，作轴于
，，轴



，
其中，即相似比为
设直线解析式为，
将点，代入得
，解得
所以直线解析式为:
联立
解得
当在第四象限时，作关于点的对称点，则在直线上.
设直线解析式为，
将点代入得，解得
所以直线解析式为
联立解得
综上，点坐标为或
即或；
②如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为，并过作轴平行线交直线于点并设轴交直线于点.
由作图可知轴，

，
设直线解析式为，
则.
由已知得
解得
联立
解得
即.【点睛】
本题主要考查了二次函数与一次函数的图象综合，涉及了求抛物线、直线的解析式，抛物线与直线的交点，相似三角形的判定与性质，作垂直添加辅助线构造相似三角形是解题的关键.