2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题29 旋转变换与动点相关的问题（讲义）（解析版）

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一、解答题
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．
（1）当△ABD为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②PQ的长为 ；
（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；
（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）
【答案】（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）BD＝．
【解析】
【分析】
（1）①根据题意画出图形即可．
②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．
（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．
（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t， ，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．
【详解】
（1）解：①补全图形如图所示：
②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°
∴
∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°
∴PA＝AD•tan60°＝2
∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ
∴△PDA≌△PDQ（SAS）
∴PQ＝PA＝2．
（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如图：
∵PA⊥AD，
∴∠PAD＝90°
由题意可知∠ADP＝45°
∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP
∴PA＝PD
∵∠ACB＝90°∴∠ACD＝90°
∵AH⊥PF，PF⊥BQ
∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°
∴四边形ACFH是矩形
∴∠CAH＝90°，AH＝CF
∵∠ACH＝∠DAP＝90°
∴∠CAD＝∠PAH
又∵∠ACD＝∠AHP＝90°
∴△ACD≌△AHP（AAS）
∴AH＝AC＝1
∴CF＝AH＝1
∵，BC＝1，B，Q关于点D对称
∴，
∴
∴F为DQ中点
∴PF垂直平分DQ
∴PQ＝PD．
（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，
∵PD＝PQ，PF⊥DQ
∴
∵四边形AHFC是矩形∴
∵△ACB∽△PAD
∴
∴
∴
∵△PAH∽△DAC
∴
∴
解得
∴．
故答案是：（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，主要考查了三角形的旋转、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，构造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解题的关键．
2．如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边、上的两个动点（与点、、不重合），且始终保持，，交正方形外角平分线于点，交于点，连结．
（1）求证：；
（2）证明：；（3）设，当为何值时，，并求出此时的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当时，；．
【解析】
【分析】
（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转得，再证明；
（3）连结，设，推出是等腰直角三角形°，再证明，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，，，分别用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出△AQF的面积．
【详解】
（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵．
∴．
∴．
（2）由（1）知．∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴，
如图4，将绕点顺时针旋转得，
其中点与点重合，且点在直线上，
则，，，
∴．
∴．
（3）连结，若，
则．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，，
∴垂直平分，
∴，，∴．
在中，根据勾股定理，得．
解这个方程，得， （舍去）．
当时，．
此时，，∴，
∴
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．
3．在中，，是平面内不与点重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接是的中点，是的中点．
（1）问题发现：
如图1，当时，的值是_________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
（2）类比探究：
如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3，当时，若是的中点，点在直线上，且点在同一条直线上，请直接写出的值．
【答案】（1），；（2），，见解析；（3）的值是或【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．证明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图2，设MN交AC于F，延长MN交PC于E．证明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得结论；
（3）分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】
解：（1），
如图1，连接并延长交于点，交于点，
，
均是等边三角形，
，
，
在△PAC和△DAB中，
，
，
，
是的中点，是的中点，是的中位线，
，
，，
，
与相交所成的较小角的度数是，
，
与相交所成的较小角的度数是；
（2），直线与直线相交所成的较小角的度数是，
理由：如图2，设交于点，延长交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即直线与直线相交所成的较小角的度数是；
（3）或
设，由（2）易知，，
，是的中位线，，
是线段的中垂线，
，
是的中位线，
，
如图3-1，当点在线段上时，，
，

如3-2图，当点在直线上但不在线段上时，
；
综上，的值是或.
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．已知如图1，在中，，，点在上，交于，点是的中点．（1）写出线段与线段的关系并证明；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，其它条件不变，线段与线段的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将绕点逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段的范围．

【答案】（1），，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值 最小值．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ADF中，可得DE=AE=EF，在Rt△ABF中，可得BE=EF=EA，得证ED=EB；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°；
（2）如下图，先证四边形MFBA是平行四边形，再证△DCB≌△DFM，从而推导出△DMB是等腰直角三角形，最后得出结论；
（3）如下图，当点F在AC上时，CE有最大值；当点F在AC延长线上时，CE有最小值．
【详解】
（1）∵DF⊥AC，点E是AF的中点
∴DE=AE=EF，∠EDF=∠DFE
∵∠ABC=90°，点E是AF的中点
∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF
∴DE=EB
∵AB=BC，
∴∠DAB=45°∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)
=360°－2×135°=90°
∴DE⊥EB
（2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H
∵ME=EB，点E是AF的中点
∴四边形MFBA是平行四边形
∴MF∥AB，MF=AB
∴∠MHB=180°－∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=
∴∠DCB=45°+，∠CFH=90°－
∵∠DCF=45°，∠CDF=90°
∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF，BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC，DB=DM∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB，DE⊥EB
（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=6
∵CF=3，∴AF=3
∴CE=CF+FE=CF+
当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：
同理，CE=EF－CF【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．
5．（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是 ，∠BAD＝ °；
（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝AD，请给予证明；
（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．
【答案】（1）△PAD，90；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△PAD≌△BEP，可得∠PAD=∠BEP=135°，依据∠ABC=45°，可得∠BAD=90°；
（2）过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，由“SAS”可证△APD≌△HBP，可得PH=AD，通过证明△CAB∽△CPH，可得，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解．
【详解】
证明：（1）∵点P是边AC的中点，PE∥AB，
∴点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AC＝BC，∴BE＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，
∵∠APD+∠BPC＝90°，∠EBP +∠BPC＝90°，
∴∠EBP＝∠APD，
又∵PB＝PD，
∴△PAD≌△BEP（SAS），
∴∠PAD＝∠BEP，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵PE∥AB，
∴∠ABC＝∠PEC＝45°，
∴∠BEP＝135°，
∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，
故答案为：△PAD，90；
（2）如图，过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，
∴∠CBA＝∠CHP，∠CAB＝∠CPH，
∵CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CHP＝∠CPH，
∴CH＝CP，
∴BH＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，∵∠BPD＝∠C，
∴∠BPD+∠BPC＝∠C+∠BPC，
∴∠PBH＝∠APD，
∴△APD≌△HBP（SAS），
∴PH＝AD，
∵PH∥AB，
∴△CAB∽△CPH，
∴
∴
∵AC＝BC＝AB，
∴，
∴CP＝PH＝AD；
（3）当点P在CA的延长线上时，
∵AC＝BC＝AB＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，
∴BP＝PD，∠BPD＝60°＝∠ACB，
过点P作PE∥AB，交CB的延长线于点E，
∵∠ACB＝∠APB+∠ABP，
∴∠ABP＝∠APB＝30°，
∴AB＝AP＝2，∴CP＝4，
∵AB∥PE，
∴
∴CP＝PE＝4，
由（2）得，PE＝AD＝4，
∵∠APD＝∠APB+BPD＝90°，
∴DP＝，
∴△ADP的周长＝AD+AP+DP＝+6，
当点P在AC延长线上时，如图，
同理可求△ADP的周长＝6+，
综上所述：△ADP的周长为6+．
【点睛】
本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．
6．在正方形ABCD中，AB＝6，对角线AC和BD相交于点O，E是AB所在直线上一点（不与点B重合），将线段OE绕点E顺时针旋转90°得到EF．
（1）如图1，当点E和点A重合时，连接BF，直接写出BF的长为 ；
（2）如图2，点E在线段AB上，且AE＝1，连接BF，求BF的长；
（3）若DG：AG＝2：1，连接CF，H是CF的中点，是否存在点E使△GEH是以EG为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出EB的长；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）3；（2）2；（3）存在，5或或
【解析】
【分析】
（1）先根据旋转的性质和正方形的性质得，再证明，得；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，计算的长，最后利用勾股定理可得结论；
（3）先根据，且，计算，，分三种情况：①当时，在的左侧时，如图3，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，设，在中，根据，列方程可得的值，从而得的长；②当时，如图4，同理作辅助线，设，则，证明，列比例式可得结论，其中，就是③，如图5所示，不符合题意．
【详解】
解：（1）如图1，由旋转得：，，
四边形是正方形，且边长为6，
，，
，
，
，
，
故答案为：；（2）如图2，过作于，过作于，
四边形是正方形，
，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
中，由勾股定理得：；
（3）存在是以为直角边的直角三角形；
，且，
，，
分三种情况：
①当时，在的左侧时，如图3，过作，交的延长线于，过作于，交于，过作于，过作于，过作于，
设，
同理得，
，，
是的中点，，
，
，
，
中，，
，
，
，，
当时，（如图6所示），
当时，；
②当时，如图4，过作，交的延长线于，过作于，交于，过作于，过作于，
设，则，
同理得：，，，，
，，
，，
，
，
，
，即，
，
解得：（舍或5，
即；
③如图5，当与重合时，，此种情况不符合题意；
综上，的长是5或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．
（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．
①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；
②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；
③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；
（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）①OM＝AE；②OM＝AE，证明详见解析；③≤OM≤；（2）存在，．
【解析】
【分析】
（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC＝AE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
②作辅助线，利用△COF≌△EOA及三角形中位线得出OM＝AE．
③分两种情况，当OC与OB重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围．
（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角边a的最大值；当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上时，利用△EHD≌△DOC，得出OD＝EH，在Rt△DHE中，运用勾股定理ED2＝DH2+EH2，得出方程，由△判定出a的最大值．【详解】
解：（1）①∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，
∴CD＝ED，AO＝B0，∠CDE＝∠AOB，
在△CDE和△AOB中，
∴△CDE≌△AOB（SAS），
∴BC＝AE
∵M为BC中点，
∴OM＝BC，
∴OM＝AE．
②猜想：OM＝AE．
证明：如图2，延长BO到F，使OF＝OB，连接CF，
∵M为BC中点，
∴OM＝CF，
∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，
∴CD＝ED，AO＝BO＝OF，∠CDE＝∠AOB，
∵∠AOC+∠COB＝∠BOE+∠COB＝90°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∠FOC＝∠AOE，在△COF和△EOA中，
∴△COF≌△EOA，
∴CF＝AE，
∴OM＝AE．
③Ⅰ、如图3，当OC与OB重合时，OM最大，
OM＝
Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，
OM＝﹣1＝，
所以≤OM≤，
（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：
①如图5，
当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上． 作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．
∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，
∴AB＝a，OF＝AB＝a，
∴CE＝，DM＝CE＝，
在RT△COE中，OM＝CE＝，
在RT△DOM中，DM+OM≥OD，
又∵OD≥OF，
∵DM+OM≥OF，即+≥a，
∴a≤2，
∴直角边a的最大值为2．
②如图6，
当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上，作EH⊥AO于点H．
∵∠AOB＝∠CDE＝∠DHE＝90°，
∵∠HED+∠EDH＝∠CDO+∠EDH＝90°，
∴∠HED＝∠CDO，
∵DC＝DE，
在△EHD和△DOC中，
∴△EHD≌△DOC（AAS）
设OD＝x，
∴OD＝EH＝AH＝x，DH＝a﹣2x，
在Rt△DHE中，ED2＝DH2+EH2，
∴1＝x2+（a﹣2x）2，
整理得，5x2﹣4ax+a2﹣1＝0，
∵x是实数，
∴△＝（4a）2﹣4×5×（a2﹣1）＝20﹣4a2≥0，
∴a2≤5，
∴a2的最大值为5，
∴a的最大值为．
综上所述，a的最大值为．
【点睛】
本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AD，
∴AD＝2BC＝12，
∴△ABD的面积＝AD•BC＝12×6＝36，
故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
∴∠H＝∠C＝90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠PQH＝∠BPC，
∴△PQH≌△BPC（AAS），
∴PH＝BC，QH＝CP，
∵AC＝BC，
∴PH＝AC，
∴CP＝AH，
∴QH＝AH，
∴∠HAQ＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，
∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAC＝30°，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，
∴AD＝AC＝6，
∵∠AND＝90°，
∴DN＝AD＝6＝3，
∴CM+NM最小值为3．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值
【答案】（1）的度数为；（2）的度数为；（3）线段长度的最小值为
【解析】
【分析】
（1）通过证明可得，再由三角形内角和定理进行求解即可；
（2）通过证明可得，，可证，可得，由外角性质可得，再有三角形内角和定理进行求解即可；
（3）由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，如图③将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ，可得，OK=NQ，MO=MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵与是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；（2）∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MK
∴，
∴是等边三角形
∴，
如下图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ
∴，
∴OK=NQ，MO=MQ
∴是等边三角形
∴∴
∵OK=NQ
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值
∵点的坐标为
∴
∵轴，
∴
∴线段OK长度的最小值为．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．
10．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．
【详解】
（1）解：如图，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
（2）解：∠B+∠D=180°，
理由是：
如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴F、D、G在一条直线上，
和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，
如图，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中
∴△FAD≌△EAD，
∴DF=DE，
设DE=x，则DF=x，
∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：，
，
解得：x=，
即DE=．
【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
11．综合与实践
实践操作：
①如图1，是等边三角形，D为BC边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接CE．
②如图2，在中，于点D，将绕点A逆时针旋转得到，延长FE与BC交于点G．
③如图3，将图2中得到沿AE再一次折叠得到，连接MB．
问题解决：
（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE是菱形．小明是这样想的：
请根据小明的探索直接写出图1中线段CD，CF，AC之间的数量关系为 ：
（2）猜想图2中四边形ADGF的形状，并说明理由；
问题再探：
（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB的长为 ．
【答案】（1）CD+CF=AC；（2）四边形ADGF为正方形；理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证明C、F、E在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB=∠AFC，BD=CF，可得AC=CF+CD；
（2）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；
（3）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM=DE及勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）如图：
由旋转得：∠DAF=60°=∠BAC，AD=AF，∴∠BAD=∠CAF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ADB=∠AFC，BD=CF，
∵∠ADC+∠ADB=∠AFC+∠AFE=180°，
∴C、F、E在同一直线上，
∴AC=BC=BD+CD=CF+CD，
故答案为：；
（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：
如图：
∵Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，
∴AF=AD，∠DAF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠DAF=∠F=90°，
∴四边形ADGF是矩形，
∵AF=AD，
∴四边形ADGF是正方形；
（3）如图3，连接DE，
∵四边形ADGF是正方形，
∴DG=FG=AD=AF=6，
∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△AEF，
∴∠BAD=∠EAF，BD=EF=2，
∴EG=FG-EF=6-2=4，
∵将△AFE沿AE折叠得到△AME，
∴∠MAE=∠FAE，AF=AM，
∴∠BAD=∠EAM，
∴∠BAD+∠DAM=∠EAM+∠DAM，即∠BAM=∠DAE，
∵AF=AD，
∴AM=AD，
在△BAM和△EAD中，
∵，
∴△BAM≌△EAD（SAS），
∴BM=DE==．
故答案为：．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．