2026学年苏科版初三中考复习几何专题03 一线三垂直模型构造全等三角形（学案）（含解析）

这是一份2026学年苏科版初三中考复习几何专题03 一线三垂直模型构造全等三角形（学案）（含解析），共11页。学案主要包含了模型说明，模型引入，模型拓展，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。
今天我要与大家分享是“一线三垂直”模型，那么什么是“一线三垂直”？顾名思义，一线三垂直是指直角的顶点在同一条直线上。这个模型贯穿初中几何的始终。下面我们具体分析一下这个模型。
【模型引入】
一、模型的理论基础
模型一： 三垂直全等模型



图一
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型二： 三等角全等模型

图二
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
二、模型的应用
1.“三垂”
2.两种变化图形
（1）“交叉型”三垂直模型
（2）“L型”三垂直模型
【已知】如图，为等腰直角三角形，
【结论】.
【图示】
【证明】由，同理，在和中,.

【模型拓展】
【模型讲解】
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝ cm．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．
【详解】
证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
∵BD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE=∠ABD是解题的关键．
2．在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论；
（2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论；
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．
3．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：
（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；
（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝ ．（不要求写过程）
【答案】（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1.
【分析】
（1）如图1，根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，则结合已知条件AC=BC由AAS证得：△ACE≌△CBD；②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则根据全等三角形的对应边相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE﹣CD=4﹣2=2．(2) 过F作FM⊥BC于M，求出BM=MF，求出∠C=∠FMD，∠CED=∠MDF，证△CED≌△MDF，推出DM=CE，CD=FM=2即可．
【详解】
（1）证明：如图1，∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，∴在△ACE与△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD（AAS）；
②解：如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，
∴CE=BD=5，AE=CD=3，
∴DE=CE+CD=5+3=8．
(2)过F作FM⊥BC于M，
则∠FMB=∠FMD=90°，
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠MFB=∠B=45°，
∴BM=MF，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，
∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，
∴∠CED=∠FDM，
在△CED和△MDF中，
，
∴△CED≌△MDF(AAS)，
∵CD=2，BD=3，
∴DM=CE，CD=FM=2=BM，
∴CE=DM=3−2=1，
故答案为1.【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及旋转的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
4．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图．
（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程．
（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】
（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可；
（2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可．
【详解】
证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,
∴∠ABD=∠EAC,
在△ABD和 △CAE中，
，
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE，
∴ DE ＝ AE ＋ DA ；（2）成立，
理由如下：∵ ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，
∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD ＝ 180°，
∠BAC ＝ ∠BDA，
∴∠ABD ＝ ∠EAC ，
在△ABD和 △CAE中，
，
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE，
∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到_____，_____.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
(2)①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点.
②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【答案】(1)DE，AE；(2)①证明见解析；②点A坐标为(，)或(，).
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，根据余角的性质得到∠B＝∠1，根据全等三角形的性质得到AH＝DM，同理AH＝EN，求得EN＝DM，由全等三角形的性质得到DG＝EG，于是得到点G是DE的中点；
②如图3，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，根据余角的性质得到∠BAC＝∠AOD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，OD＝AC，设AD＝x，则BC＝AD＝x，于是得到结论．
【详解】
（1）AC＝DE，BC＝AE；
故答案为：DE，AE；
（2）①如图2，作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，
∵BC⊥AH，
∴∠BHA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠2＝∠2＋∠B＝90°，∴∠B＝∠1，
在△ABH与△DAM中，
∴△ABH≌△DAM（AAS），
∴AH＝DM，
同理AH＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AH，EN⊥AH，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，
∴点G是DE的中点；
②如图3，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，

∴∠C＝90°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAD＋∠BAC＝90°，
∵∠OAD＋∠AOD＝90°，
∴∠BAC＝∠AOD，
在△AOD与△BAC中，，
∴△AOD≌△BAC（AAS），
∴AD＝BC，OD＝AC，
设AD＝x，则BC＝AD＝x，
∴AC＝OD＝CE＝x＋1，
∴AD＋AC＝x＋x＋1＝OE＝4，
∴x＝，x＋1＝，
∴点A的坐标（,）；
如图4，
同理可得，点A的坐标(，)
综上所述，点A的坐标为(，)或(，).
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．