2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题23 二次函数中的动点与特殊三角形问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题23 二次函数中的动点与特殊三角形问题（讲义）（解析版），共44页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标；
(3)若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F．
①当点F落在该抛物线上时，求m的值；
②当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)D坐标为（1，﹣4）或（1，2）或（1，）或（1，）
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解即可；
（2）将x＝0代入得y＝﹣3，可得C（0，﹣3），对称轴为直线，设D（1，t），而B（3，0），则，，，△BCD是直角三角形，分三种情况求解：①∠BCD＝90°，如图1，则有，即，计算求解即可；②∠DBC＝90°，如图2，则有，即，计算求解即可；③∠BDC＝90°，如图3，则有，即，计算求解即可；
（3）①由题意知n＝m2﹣2m﹣3，F（﹣m，﹣n），﹣n＝m2+2m﹣3，根据m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，计算求解即可；②由题意可知F（﹣m，﹣n）在第二象限，可得m＞0，n＜0，由抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），可知，由E（m，n）在抛物线上得n＝m2﹣2m﹣3，AF2＝（﹣m+1）2+（﹣n）2，可知最小时的值，进而求出符合要求的即可．
(1)
解：将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得
解得，
∴二次函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
(2)
解：将x＝0代入得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），对称轴为直线，
设D（1，t），而B（3，0），则，，
△BCD是直角三角形，分三种情况求解：
①∠BCD＝90°，如图1，
则有，即
解得
∴；
②∠DBC＝90°，如图2，
则有，即
解得
∴；
③∠BDC＝90°，如图3，
则有，即
解得 或
∴的坐标为或；
综上所述，△BCD是直角三角形，D坐标为（1，﹣4）或（1，2）或 或．
(3)
解：①由题意知n＝m2﹣2m﹣3，F（﹣m，﹣n），
∵F（﹣m，﹣n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，∴﹣n＝m2+2m﹣3，即n＝﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，
解得；
②由题意可知F（﹣m，﹣n）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣n＞0，即m＞0，n＜0，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），
∴，
∵E（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m＝n+3，
∵A（﹣1，0），F（﹣m，﹣n），
∴AF2＝（﹣m+1）2+（﹣n）2
＝m2﹣2m+1+n2
＝n+3+1+n2
＝n2+n+4
，
∴当n＝﹣时，AF2有最小值，即AF取得最小值，
由m2﹣2m﹣3＝﹣，解得或（舍去），
∴m的值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的三角形综合，勾股定理，旋转等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
2．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC，垂足为E．
(1)求此抛物线的函数关系式；
(2)求线段PE长度的最大值；
(3)如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为（，）或（，）
【解析】
【分析】
（1）通过直线AB解析式求出A、B两点的坐标，算出AB的长度即得菱形边长为4，再由平移条件求出C点坐标，最后利用待定系数法求抛物线的函数关系式．
（2）过点P作y轴的平行线构造，通过，得到，再由正弦函数推出．设出P点坐标为 ，表示出G点坐标为 ，从而得到，即可求出PE的最大值．
（3）分点P在y轴右侧和左侧两种情况画图讨论，根据推导出的特殊角度分别求出OP的函数表达式，进而求解．
(1)
解：∵当x＝0时，y＝2，当y＝0时，，
∴，
∴BC＝AB4，
∴，∴，解得，
故抛物线的表达式为：y①；
(2)
过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点G，
设直线AC为：y＝kx+t，则，解得，
∴．
设，则，
∴，
∵，
∴∠BAO＝60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CAD＝30°，
∴∠PGE＝∠AGH＝60°，
∴，∴，
∵，
∴当x＝1时，PE最大，最大值为；
(3)
①当点P在y轴右侧时，
由（2）知：∠CAD＝30°＝∠EAF，
则∠AFE＝90°﹣∠EAF＝60°，
当△OPF为等腰三角形，则△OPF为等边三角形，
设直线OP的表达式为：yx②，
联立①②并解得：，
∵点P为AC上方抛物线上一动点，即﹣2＜x＜4，
∴，
∴点P（，）；
②当点P在y轴左侧时，
∵△OPF为等腰三角形，
则OF＝PF，而∠PFA＝60°，
∴∠FOP＝∠OPFPFA＝30°，
故直线OP的表达式为yx③，
联立①③并解得（舍去正值），
∴，
∴点P（，）；综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点包括一次函数的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质与判定、特殊角的应用等．（2）问的解题关键是构造一个直角三角形，通过“斜化直”的方法求线段最值；（3）问的解题关键是始终有，画出图形分类讨论．
3．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P为线段AB上一动点（不与点B重合），连接PC、AC、BC，将△BPC沿直线BC翻折得到．△BP'C，P'C交拋物线的另一点为Q，连接QB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形QCOB面积的最大值；
（3）当CQ：QP'＝1：2时，点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M，
①若△NQP'的面积为△MQC面积的8倍，点N的坐标为 ；
②在①的条件下，点D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当△ADE∽△ABC时，点E的横坐标为 ．
【答案】（1）；（2）12；（3）①，或；②
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可求出答案；
（2）过点作轴交于点，运用待定系数法求出直线的解析式为：，设，则，根据，再运用二次函数性质即可得出答案；
（3）①过点作轴于点，过点作轴于点，由，得，根据，可得，即可得出，，过点作轴于点，由，，得出答案；
②延长交轴于点，先证明，运用待定系数法求出直线，的解析式，从而求出交点的坐标，再运用，求出点的横坐标．
【详解】
解：（1）抛物线经过点，，与轴交于点，
，
解得：，
此抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴交于点，如图1，
在中，令，得，
，
设直线的解析式为：，
，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
交抛物线的另一点为，
设，则，
，
，
，有最大值，且当时，的最大值；
（3）①如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
由翻折得：，
，
，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
即，
当时，，
，，
过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，
当时，，
，；
如图3，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，，
，
综上所述，点的坐标为，或；
故答案为：，或；
②当，时，点在直线上，在的负半轴上不存在点，使；
当时，如图4，延长交轴于点，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
同理，，，，
利用待定系数法得直线解析式为，
联立，解析式，得方程组，解得：，
，，
，
，
，
，
，
点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造相似三角形，运用数形结合思想是解题关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D、E是线段BC上的两点（E在D的右侧），DE＝，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD、FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线水平向左平移，使得平移后的抛物线恰好经过点F，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，连接BP，将线段沿直线BC平移，平移后的线段记为，是否存在以为直角边的等腰Rt△G？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=；
（2）P(4，9)，的最大值为6；
（3）存在，点G（1，）或点G（1，）．
【解析】
【分析】
（1）A（﹣2，0），tan∠ACO＝，确定OA=2，解直角三角形，确定OC=6，从而确定点C(0，6)，把A，C的坐标代入解析式求解即可；
（2）根据B，C的坐标确定直线的解析式，设点D的横坐标为m，用直线的解析式表示点D的纵坐标，用二次函数的解析式表示点P的纵坐标，于是利用D，P的纵坐标可以表示DP的长，过点E作EQ⊥DP，垂足为Q，利用直角三角形COB，可以确定直角三角形DEQ中∠DEQ的正弦值，余弦值，从而确定了EQ的长，也就是三角形DPF底边PD上的高，用三角形面积公式，构造用m的二次函数表示的面积，利用二次函数的最值求解即可；
（3）分过点B垂直BP且等于BP的点在对称轴上，过点P垂直BP且等于BP的点在对称轴上两种情形求解即可，
【详解】
（1）如图1，∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
在直角三角形ACO中，
∵tan∠ACO＝，∴，
∴OC=6，
∴点C(0，6)，
把A，C的坐标代入解析式，得
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y=；
（2）如图1，令y=0，得=0，
解得x= -2或x=8，
∴B（8，0）；
设直线BC的解析式为y=kx+6，
∴8k+6=0，
解得k=，
∴直线的解析式为y=x+6，
设点D的横坐标为m，则点D（m，m+6），点P（m，），∴PD=-（m+6）
=，
过点E作EQ⊥DP，垂足为Q，则EQ∥AB，
∴∠DEQ=∠EBA，
∵OB=8，OC=6，
∴BC==10，
∴cs∠EBA==，
∴cs∠DEQ==，
∵DE=，
∴EQ=2，
∵DP∥EF，
∴底边PD上的高为2，
∴==，
∵＜0，
∴有最大值，
当m=时，面积最大，且最大为=6
当m=4时，
==9，
∴P(4，9)，
故点P(4，9)，的最大值为6；
（3）∵y=
=，
不妨设向左平移n个单位，函数图像经过点F，
则新函数的解析式为y=，由（2）得F（6，0），
∴=0，
解得n=2或n= -8（舍去）
∴新函数的解析式为y=，
∴直线=1，
如图2，当等腰直角三角形的顶点在B处时，过点P作PR⊥AB，垂足为R，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵∠PBR+∠NBM=90°，∠NMB+∠NBM=90°，
∴∠PBR=∠NMB，
∵∠MNB=∠PRB=90°，BP=BM,
∴△NMB≌△RPB，
∴MN=BR=8-4=4，NB=RP=9，
∵OB=8，
∴ON=1，
∴点M（-1，-4），
由（2）知，当BP沿着BC方向平移n个单位时，其水平方向平移n个单位，竖直方向平移n个单位，
∴平移后点M到点G的位置，此时点G的坐标为（-1+n，-4-n），
∴-1+n=1，
∴n=，
∴-4-n= -4=，
故点G（1，）；
如图3，当等腰直角三角形的顶点在B处时，过点P作PS⊥BP，过点M作MS⊥MB，二线交于点S，设S（m，n），
∵MB=BP=PS=MS，∠PBM=90°，
∴四边形MBPS是正方形，
∴MS∥PB，PS∥BM，
∴，
∴，
解得
∴点S（，），
由（2）知，当BP沿着BC方向平移n个单位时，其水平方向平移n个单位，竖直方向平移n个单位，
∴平移后点M到点G的位置，此时点G的坐标为（+n，-n），
∴+n=1，
∴-n =，
故点G（1，）．
故这样的点G存在，且点G（1，）或点G（1，）．．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的确定，二次函数中的平移，二次函数的最值，用坐标表示平行y轴直线上两点间的距离，锐角三角函数的定义，图像的交点问题，熟练掌握用坐标表示特殊线段的长，配方法确定平移后解析式，准确应用平移的规律，灵活运用分类思想是解题的关键．
5．如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有n﹣≥my02+40y0﹣298成立，求n的最小值；
（3）若m＝﹣，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．
【答案】（1）点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；（2）n的最小值为；（3）点P的坐标为（34，0）．
【解析】
【分析】（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，即可求解；
（2）首先求出抛物线对称轴处的取值，根据等边三角形的性质求得C点坐标，即可获得m的值（即抛物线最大值），然后设t＝my02+40y0﹣298，变形为顶点式，代入抛物线最大值得到t=10，最后解不等式即可；
（3）首先求出CM的长，然后证明α＝∠MCH，在△CHM中，tan∠CMH＝，tan∠MCH＝tanα＝4，利用三角形的边角关系即可求出点H的坐标，进而求解．
【详解】
（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；
（2）由点AB的坐标知，AB＝8，函数的对称轴为x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝mx2+4mx﹣12m＝﹣16m，
∵△ABC为等边三角形，则yC＝ACsin∠CAB＝ABsin60°＝8×＝4，
故点C的坐标为（﹣2，4），
则﹣16m＝4，解得m＝﹣，
则抛物线的最大值为4，即y0≤4，
设t＝my02+40y0﹣298，
则t＝﹣4y02+40y0+2＝﹣4（y0﹣5）2﹣298≥﹣4（4﹣5）2+2＝﹣10，
故有n﹣≥﹣10，解得n≥，
故n的最小值为；
（3）连接BC并延长交y轴于点M，设直线CP与y轴交于点H，
过点H作HK⊥CM于点K，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝2x+12，则点M（0，12），
则tan∠CBA＝2，则tan∠CMH＝，
由点C、M的坐标得，CM＝＝，
根据函数的对称性，BC＝CA，则∠ABC＝CAB，
则α＝∠CAB+∠CPB＝∠CBA+∠CPB＝∠MCH，
在△CHM中，tan∠CMH＝，tan∠MCH＝tanα＝4，
则设HK＝4x，则CK＝x，MK＝8x，
则CM＝CK+KM＝x+8x＝9x＝，解得x＝，
HM＝＝x＝，
则OH＝12﹣＝，故点H（0，），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣x+，
令y＝0，则x＝34，
故点P的坐标为（34，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，二次函数的动点问题，锐角三角函数，等边三角形，题目综合性较强，要注意区分三种锐角三角函数的区别．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为；（3）M点坐标为可以为（2，3），（，3），（，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE＝PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．
（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．
【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴解得：a＝1．
∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF//y轴，PE//x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF＝PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b，
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF＝﹣p2+3p．
∴线段EF的最大值为，EFmax＝＝．
（3）①如图2所示：
若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，
BF⊥l交l于点F．
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
∴＝，
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴＝，
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝，m2＝．
∴M点坐标为（，3）或（，3）
②如图3所示：
当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB．
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（，3），（，3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．
7．综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且点是的平分线与抛物线的交点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
点在平面直角坐标系内，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标．
若点是直线上方抛物线上的一个动点，且点的横坐标为请写出的面积与之间的关系式，并求出为何值时，的面积有最大值，最大值为多少．
【答案】(1) ， ；(2) ；(3) 时，有最大值，最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，再利用待定系数法即可求得，再根据点是的平分线与抛物线的交点，可设，代入抛物线，即可求解．
（2）分以OB、OD为邻边的平行四边形、以OB、BD为邻边的平行四边形、以DB、OD为邻边的平行四边形三种情况 ．
（3）作直线轴于点交于点，点坐标为，设直线的解析式，根据，可得直线解析式为，，即可求解．
【详解】

把两点代入抛物线
可得
得抛物线解析式为
点是的平分线与抛物线的交点，
设，代入抛物线
得(舍去，因为点第一象限)
（2）
连接BD
若是以OB、OD为邻边的平行四边形
则
故只需把点D向右平移3个单位即得到点
由（1）知D(2,2)
∴
若是以OB、BD为邻边的平行四边形
则
故只需把点D向左平移3个单位即得到点
∴
若是以DB、OD为邻边的平行四边形
则OD∥
则只需把点D向下平移2个单位再向右平移1个单位即得到B，对应地只需把点O向下平移2个单位再向右平移1个单位即得到
∴
综上所述，满足条件的E点坐标为：．
作直线轴于点交于点
点坐标为
设直线的解析式.
解得：
可得直线解析式为
时，有最大值，最大值为
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合及根据二次函数的顶点式求最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）点P是线段BC下方的抛物线上一点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，过点P作EP∥y轴交BC于点E．点MN是直线BC上两个动点且MN＝AO（xM＜xN）．当DE长度最大时，求PM+MN﹣BN的最小值．
（2）将点A向左移动3个单位得点G，△GOC延直线BC平移运动得到三角形△G'O′C'（两三角形可重合），则在平面内是否存在点G'，使得△G′BC为等腰三角形，若存在，直接写出满足条件的所有点G′的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）点G′（﹣4，0）或（﹣，）．
【解析】
【分析】
（1）DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），当x＝2时，DE最大，此时点P（2，﹣）；MN＝AO＝1，将△BCO沿BC翻折得到△BCO′，将点P沿CB的方向平移1个单位得到点P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于点H，交BC于点N，将点N沿BC方向平移1个单位得到点M，则点M、N为所求，即可求解；
（2）分BC＝BG′、BC＝G′C、BG＝CG′三种情况，分别求解即可．
【详解】
（1）y＝＝（x﹣4）（x+1），
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣）；
则直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）；设点P（x，），则点E（x，x﹣），
∵，∠EPD=∠OBC，
∴DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），
当x＝2时，DE最大，此时点P（2，﹣）；
MN＝AO＝1，将△BCO沿BC翻折得到△BCO′，
将点P沿CB的方向平移1个单位得到点P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于点H，交BC于点N，
将点N沿BC方向平移1个单位得到点M，则点M、N为所求；
P′P∥MN，且PP′＝MN，则四边形P′PNM为平行四边形，则P′N＝PM，
∠CBO′＝∠OBC＝30°，则HN＝NBsin30=BN，
PM+MN﹣BN＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H为最小；
直线BO′的倾斜角为60°，则其表达式为：y＝（x﹣4）…①，
则直线P′N表达式中的k为：﹣，其表达式为：y＝﹣x+b，
将点P′坐标代入并解得：
直线P′N的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝，故点H（，）；
P′H＝，
PM+MN﹣BN最小值＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H＝； （2）直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）；点G（﹣4，0），
设△GOC沿直线BC向上平移m个单位，则向右平移m个单位，则点G′（m﹣4，m）；
BC2＝，BG′2＝（m﹣8）2+3m2，CG′2＝（m﹣4）2+（m+）2＝4m2+；
①当BC＝BG′时，BC2＝（m﹣8）2+3m2，方程无解；
②当BC＝G′C时，同理可得：m＝0；
③当BG＝CG′时，同理可得：m＝；
即m＝0或，
故点G′（﹣4，0）或（﹣，）．
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，利用互相垂直的直线求解析式，勾股定理，三角函数，函数图象交点坐标的求法，解题中综合利用各知识点正确解题.
9．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；
（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)
【解析】【分析】
（1）由待定系数法将A（4，4），B（5，0）代入二次函数的解析式为y＝ax2+bx即可；
（2）求出OA的解析式，将P，C的纵坐标用含m的代数式表示出来，再表示出PC的长度，用函数的思想即可求出其最大值；
（3）存在，如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，则PM＝PN，证△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代数式分别表示出PM，PN的长度，解等式即可求出m的值，进一步写出点P的坐标；
（4）存在，当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，用含m的代数式表示出PC，OC的长，解方程即可求出m的值，进一步写出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵二次函数的图象经过原点，
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx，
将A（4，4），B（5，0）代入，
得，
解得，a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x；
（2）设直线OA的解析式为y＝ax，
将A（4，4）代入，
得，a＝1，
∴yOA＝x，
∵PD⊥x轴，D（m，0），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），
∴PC＝﹣m2+5m﹣m
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
根据二次函数的图象及性质可知，当m＝2时，PC有最大值，其最大值为4；
（3）存在，理由如下：
如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，
则PM＝PN，∵点C在直线yOA＝x上，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠PCN＝45°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，
∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，
∵P（m，﹣m2+5m），
∴PM＝m，
∵PM＝PN，
∴m＝﹣m2+2m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
（4）存在，理由如下：
∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，
∴当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，
∴﹣m2+4m＝m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴当m＝4﹣时，﹣m2+5m＝2+3，
∴P（4﹣，2+3）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象及性质的运用，等腰三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质．
10．如图1，抛物线与y＝﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D是线段AB上一点，且AD＝CA，连接CD．
（1）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC、PD、PQ，当△PCD面积最大时，求PQ+CQ的最小值；
（2）将过点D的直线绕点D旋转，设旋转中的直线l分别与直线AC、直线CO交于点M、N，当△CMN为等腰三角形时，直接写出CM的长．
【答案】（1）；（2）CM的长为或或．
【解析】
【分析】
（1）设点P坐标，表示出△PCD的面积，列出二次函数关系式，求出△PCD面积最大时的点P坐标，作PG⊥CD，PG即为PQ+CQ；
（2）等腰三角形分类讨论，分别以C、N和M为等腰顶点分别讨论，求出此时的点M坐标，获得CM线段长．
【详解】
解：（1）当y＝0时，，
解得：x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
∵x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
设OD＝m，则AD＝m+3，
在Rt△AOC中，有AC2＝AO2+OC2，∴（m+3）2＝32+42，
解得：m1＝2，m＝2﹣8
∴D（2，0），
如图1，设点P（m，n），
S△PCD＝S△PCO+S△POD﹣S△COD
＝
=
=
＝；
∵a＝﹣＜0，则面积有最大值，
∴m＝时，有最大值，
∴P（，）；
如图2，过点D作DH⊥CB，△DHB为等腰直角三角形，则DB＝2，
∴DH＝BH＝，
∵BC＝，∴CH＝，
∴tan∠DCH＝.
过点P作PG⊥CD交BC于Q，则PG＝PQ+CQ，
∴CD直线解析式为：y＝﹣2x+4；
设G（m，﹣2m+4），
作GM⊥CO，PN⊥GM，垂足分别为M、N，可知△CMG∽△PGN，
∴，
∴，
解得：，
∵△CDO∽△GPN，
∴，
∴GP＝，
∴PQ+CQ的最小值为；
（2）如图3，过点M1作M1H⊥AB，
设直线L解析式为y＝kx+b，
将（2，0）代入得：b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k
①当CM1＝CN1
∴ON1＝﹣2k，CN1＝4+2k，AM1＝1﹣2k
∵△AM1H∽△AOC∴，
∴，
∴AH＝（1﹣2k），M1H＝，
∴M1（，），
代入y＝kx﹣2k得
＝k（）﹣2k
解得k1＝﹣2，k2＝，
∴CM＝4+2k＝；
②当CN2＝MN2时，如图4
过A作AP∥BD，设AP直线解析式为y＝kx+b，
将点A代入，﹣3k+b＝0，
∴b＝3k，
∴AP＝＝，
∴CO＝+3k＝4
∴k＝，
∴DM直线解析式为：，
联立，解得∴CM＝；
③当M3C＝M3N3时，如图5：
在x正半轴上取点Q（3，0），
∴CQ解析式为，
过点D作DM3∥CQ，
∴DM3的解析式为，
联立，
解得，
∴M3（，），
∴CM3＝；
综上所述：CM的长为：或或．
【点睛】
本题考查了二次函数与最大面积问题，线段极值问题，等腰三角形存在问题，综合难度较高，计算量较大，（3）问是本题难点，需要以C、M、N分别为顶点分三类讨论，主要思路是根据等腰三角形成立时，底角相等，于是有内错角相等，通过作平行线获得直线的K值，从而以交点的方式获得M点坐标，求得CM长，是一道很好的二次函数压轴题．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C
(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值为；(3)存在，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．
【解析】
【分析】
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；
(2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；
(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】
解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，
即-3a=2，解得：a=-，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2，
则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1；
(2)连接OP，设点P(x，-x2-x+2)，
则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD
=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，
∵-1＜0，故S有最大值，当x=-时，S的最大值为；
(3)存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况(△M1N1O)：
设点N1的坐标为(x，-x2-x+2)，则M1E=x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，
∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，
即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去负值)，
则点N1(，)；
N2的情况(△M2N2O)：
同理可得：点N2(，)；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：(，)、(，)；综上，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
12．如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，当m=5时，S取最大值；②满足条件的点F共有四个，坐标分别为，，，，
【解析】
【分析】
（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
【详解】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC= =10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB = = =，
∴ =，
∴QE=（10﹣m），
∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；
②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（，8），
当∠FQD=90°时，则F2（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，
解得：n=6± ，
∴F3（，6+），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．