2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题26 等腰三角形与动点相关的问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题26 等腰三角形与动点相关的问题（讲义）（解析版），共48页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE，PE．
(1)求证：四边形PDCE是矩形；
(2)如图2所示，当点P运动BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，已知BD＝2CD，求的值；
(3)点P在AB边上运动的过程中，线段AD上存在一点Q，使QA＋QB＋QC的值最小，当QA＋QB＋QC的值取得最小值时，若AQ的长为2，求PD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)3+
【解析】
【分析】
(1)首先证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，进一步证明四边形PDCE是平行四边形，结合∠PDC＝90°得出结论；
(2)根据 FN∥CE得到，分别求出AP和AF的值求解；
(3)利用等边三角形结合两点之间线段最短构造出满足条件时点Q的位置，求出结果．
(1)
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵PD⊥BC，
∴∠BDP＝∠ECD＝90°，
∴PD∥CE，
∵∠B＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
∴PD＝EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∵∠PDC＝90°，
∴四边形PDCE是矩形；
(2)
如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝3m，∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，BD＝PD＝4m，PB＝4m，
∴PA＝m
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝4m，
设CN＝FN＝x，
∵FN∥CE，
∴＝，
∴DN＝x，
∴x+x＝2m，
∴x＝m，
∴CF＝ m，AF＝AC-CF＝3m﹣m＝m
∴；
(3)
如图3﹣1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ＝BN，QC＝NM，∠QBN＝60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ＝QN，
∴QA+QB+QC＝AQ+QN+MN，∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ＝BN，BC＝BM，∠QBN＝60°＝∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN＝∠BNQ＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD＝60°，
∴BD＝QD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，此时P与A重合，设PD＝x，则DQ＝x﹣2，
∴x＝（x﹣2），
∴x＝3+，
∴PD＝3+ ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，寻找全等三角形是解决问题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，（），直线交y轴于点C，直线交x轴于点，交y轴于点，点D为直线上第一象限内一点，且到y轴的距离为，连接OD．(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，，P为直线上第四象限的一动点，连接PD、PO，当时，线段CP在直线上移动，记平移后的线段为，求周长取得最小值时点的坐标；
(3)如图3，将绕点D逆时针旋转，旋转角度为（），旋转中的三角形记为，在旋转过程中，边，所在直线分别交于点M，N，在旋转过程中是否存在为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出P点坐标，可得CP=2，作EF∥CP，点关于EF对称点为，连接，当、E、在同一直线时，周长最小，可求，进而可求坐标；
（3）由（2）可知∠BDO=30°，再根据为等腰三角形，分类讨论求解即可．
(1)
解：直线的解析式为，把，，代入得，
，解得，b=2k=33，
∴的解析式为，
(2)
解：如图，作EF∥CP，点关于EF对称点为，连接，当、E、在同一直线时，周长最小；
∵点D为直线上第一象限内一点，且到y轴的距离为，把代入得，，
则D点坐标为，
作DL⊥OB于L，PK⊥OB于K，设点P坐标为，
，
即，
解得，；
则点P坐标为，
∵直线交y轴于点C，
∴点C坐标为，
则；即；
∵，，
∴，
∴∠CEO=30°，∠ECO=60°，
设直线交x轴于点G，当y=0时，，
解得，，，
∴∠GCO=30°，
∴∠ECG=90°，
由对称可知，，，
∵EF∥CP，
∴，
∴，
∴，
∴是GC的中点，坐标为；
(3)
解：由， ，类似（2）中做法可知∠ABO=60°，由D点坐标为，可知∠BOD=30°，
∴∠BDO=30°，
如图所示，当时，∠DMN=120°，∠DMG=60°，
∵∠GCO=30°，∠ABO=60°，
∴∠CZD=90°，
∴∠ADM=30°，
∴点在线段OD上，
∵D点坐标为，，
，，
则，
作于I，
∵∠BOD=30°，
∴，，
点的坐标为；
如图所示，当时，∠NMD=30°，
∴∠MRC=120°，∠DRO=60°，
∵∠NDM=30°，
∴，
∴∠NDM=∠B＇DS=∠NDA=30°，
∵，
∴，
∴∥DN，，
点的坐标为；
如图所示，作于I，作于T，
当时，∠NMD=75°，∵∠GCO=30°，
∴∠CRM=∠DRI=75°，
作RU∥BD，
∴∠TRU=∠TBD=60°，∠RUT=30°，∠DRU=∠UDR=15°，
设，则，，
所以，，解得，，
，
同理可求，，；，
；
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或；
【点睛】
本题考查了一次函数的综合、勾股定理和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用一次函数知识求出函数解析式，利用点的坐标特征和勾股定理求解．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上运动，连接AD，以AD为斜边在直线AD的右侧作Rt△ADE，其中∠AED＝90°，∠DAE＝30°．
(1)如图1，点D运动到点B的左侧时，DE与AB相交于点O，当AO平分∠DAE时，若DC＝4，求AD的长；
(2)如图2，点D沿射线BC方向运动过程中，当BD＝AB时，连接BE，过点B作BF⊥BE交EA的延长线于点F，取CD的中点G，连接EG．猜测BG与GE的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点D沿射线CB方向运动过程中，连接BE，将线段BE绕点E顺时针方向旋转60°，得到线段EH，连接AH、CH，若AB＝3，当CH＋AH取得最小值时，请直接写出△BCE的面积．
【答案】(1)
(2)BG=EG，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）过点D作DM⊥AC于M，证明△ADM是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）取AD的中点H，连接BH，GH，EH．证明△EBG是底角为30°的等腰三角形，即可解决问题．
（3）当点D在射线CB上时，点E在射线BE上运动，此时∠EBC=30°，当点C，H，N三点共线时，CH+AH=CH+HN最短，此时点E也在线段CN上，然后结合旋转的性质及等边三角形的性质分析求解．
(1)
解：如图1中，过点D作DM⊥AC于M，
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
又∵DM⊥AC，
∴∠CDM=30°，
在Rt△CDM中，CM=DC=2，DM=，
∵OA是∠DAE的角平分线，∠DAE=∠BAC=30°，
∴∠DAO=15°，
∴∠DAC=45°，
在Rt△AMD中，AM=DM=，
∴AD=AM=；
(2)
猜想：BG=EG，证明如下：
如图2中，取AD的中点H，连接BH，GH，EH，
∵∠ABC+∠AED=180°，
∴∠BAE+∠BDE=180°，
∵∠BAE+∠FAB=180°，
∴∠FAB=∠BDE，∵FB⊥BE，
∴∠FBE=∠ABD=90°，
∴∠FBA=∠EBD，
∵AB=BD，
∴△FAB≌△EDB（SAS），
∴AF=DE，BF=BE，
在Rt△ABD和Rt△AED中，∠EAD=30°，∠BAD=45°，
∵点H为AD的中点，
∴BH⊥AD，BH=EH=AD，∠DAC=∠DHG=15°，
∵G为CD的中点，
∴AC∥HG，
∴∠DAC=∠DHG=15°，
∴∠BHG=∠BHD-∠GHD=90°-15°=75°，
∴∠EHG=∠EHD+∠DHG=60°+15°=75°，
∴∠BHG=∠EHG，且∠BHE=150°，
∴△BHG≌△EHG（SAS），
∴BG=EG；
(3)
如图3中，当点D在射线CB上时，点E在射线BE上运动，此时∠EBC=30°，
则线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EH，则点H在AB上运动，在点A的左侧作射线AM，使得∠BAM=30°，过点H作HN⊥AM于N，
当点C，H，N三点共线时，CH+AH=CH+HN最短，此时点E也在线段CN上，则∠BCH=30°，AH=CH=2BH，
∴3BH=AB=3，
∴BH=1，
由旋转性质可得△BEH为等边三角形，
∴BE=BH=1，∠EBH=60°，
过点E作EF⊥BC，交BC于点F，
在Rt△BEF中，EF=BE=，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AB=，
∴S△BCE=BC•EF=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
4．如图，在中，．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．【答案】（1）6；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高和AB，再利用三角形面积公式求解；
（2）通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证；
（3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出，利用轴对称，得出的最小值等于，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．
【详解】
解：（1）如图，过C点作CD⊥AB，垂足为点D，
∵，
∴，
∴AD=CD，
∵AC=，且，
∴，
∵，
∴，
∴AB=AD-BD=6-4=2,
∴，
∴的面积为6．
（2）如图所示，在BE上截取BF=BD，
∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，
∠1+∠DBC+∠2=180°，且∠1=∠BCD，
∴∠D=∠2，
∵，
∴△CDB≌△CBF（SAS），
∴CB=CF，
∴∠2=∠3，
∴∠ABC=∠EFC，
∵∠A=45°，AC⊥CE，
∴∠E=45°，
∴∠A=∠E，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
∴AC=CE,AB=EF，
∴AE=AB+BF+EF=2AB+BD,
∵,
∴,
∴；
（3）如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作M点关于的对称点，则，
∴，
连接，则，
∴当共线时的值最小，等于，
∴取得最小值时的值即为的值，
连接，
由轴对称的性质可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图4，取中点O点，连接OC，OM，作于，
∵，
∴，
∴
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，∴，
∴，
∴；
∴的值为．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．
5．如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；
（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【解析】
【分析】
(1)过E点作EH⊥AD于H点，在等腰Rt△ABC中求出，再结合已知条件∠ADE=30°求出，最后即可求出进而求出；
(2)连接FC，DM，AG，得到MD=，证明NH为△ACG的中位线，得到NG=，再证明△CDF≌△ADG，进而得到AG=CF即可得到NG=MD；
(3)过A点作AN∥BC，过C点作CN平∥AB，连接AN，证明△NAC’∽△CAD’，得到点D’在线段BC上运动时，C’在NC’上运动，当QC’⊥CC’时，QC’最小；证明∠BPK=90°，得到P点在以AB的中点G为圆心，为半径的圆上运动，进而G、P、C’三点共线时，有最小值；最后由△BGS∽△CC’S，其相似比为3：1即可求解．
【详解】
解：(1)过E点作EH⊥AD于H点，如下图所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，且AD⊥BC，∴∠DAC=45°，△AHE为等腰直角三角形，
∴，
又已知∠ADE=30°，且△DHE为30°，60°，90°直角三角形，
∴，
∴，
∵△ADC为等腰直角三角形，
∴；
(2)如下图(1)所示：
连接GC，DG，
∵△DEG、△DAC均为等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠EGD=45°，
∴D、E、C、G四点共圆，
∴∠DCG=∠DEG=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，
如下图(2)所示：
连接FC，DM，AG，
∵DH⊥AC，
∴∠DHC=90°=∠ACG，
∴CG∥DH，
∵△ADC为等腰直角三角形，且DH⊥AC，
∴H为AC的中点，
∴NH为△ACG的中位线，
∴NG=，
∵点M和点D分别是BF和BC的中点，
∴MD是△BCF的中位线，
∴MD=，
∵∠CDF=∠CDG+∠GDF=∠CDG+90°，
∠ADG=∠CDG+∠CDA=∠CDG+90°，
∴∠CDF=∠ADG，
在△CDF和△ADG中：，
∴△CDF≌△ADG(SAS)，
∴AG=CF，
∴NG=MD；
(3)如下图(3)所示：过A点作AN∥BC，过C点作CN平∥AB，连接AN，
∴∠CAN=∠BAC=90°，∠NAC=∠BCA=45°，
∴△CAN为等腰直角三角形，
此时，
且∠NAC’=∠NAC+∠CAC’=45°+∠CAC’，
∠CAD’=∠D’AC’+∠CAC’=45°+∠CAC’，
∴∠NAC’=∠CAD’，
∴△NAC’∽△CAD’，
∴当点D’在线段BC上运动时，C’在NC’上运动，当QC’⊥CC’时，QC’最小，
∵∠BDK=∠BDA+∠ADK=90°+∠ADK，
∠ADK’=∠KDK’+∠ADK=90°+∠ADK，
∴∠ADK’=∠BDK，
在△ADK’和△BDK中，，
∴△ADK’≌△BDK(SAS)，
∴∠DAK’=∠DBK，∴∠BPK=∠DAK’+∠AIP=∠DBK+∠BID=180°-∠BDA=180°-90°=90°，
又为定值，
∴P点在以AB的中点G为圆心，为半径的圆上运动，当G、P、C’三点共线时，有最小值，此时依然满足QC’⊥CC’，
故此时有最小值，
由已知条件及可知，
，
∴，
∵△QCC’为等腰直角三角形，
∴，
∵AB∥CC’，
∴△BGS∽△CC’S，且
∴，
且，
∴，
过C’作C’H⊥BC于H点，则，
∴，
∵△BGS∽△CC’S，其相似比为3：1，由相似三角形面积比等于相似比的平方可知：
∴，
且，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，四点共圆的判定方法，等腰直角三角形的性质等，本题难度比较大，第(3)问中正确判断出P点和C’点的运动轨迹是求解的关键．
6．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）PK+CK的最小值为4．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PT⊥BC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代换即可得出结论；
（2）①根据同角的余角相等得∠BAG=∠CAD，根据等角的余角相等得∠PBA=∠PCD，利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；
②过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，首先证明△ABE≌△CAR（AAS），由全等三角形的性质得AE=CR，再由△ABG≌△ACD（ASA），得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然后证明△EHG≌△RHC（AAS），即可得出结论；
（3）过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，先证△MBQ≌△MOK（SAS），得∠MBQ=∠MOK=45°，可得点K在OA所在的直线上移动，则PK+CK=PK+BK≥BP，可得出当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵PT⊥BC，
∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°，
∴TP＝TC，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC，
∴PA＝PT，
∴TC＝PA，
在Rt△ABP和Rt△TBP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），
∴AB＝TB，
∵BC＝TB+TC，
∴BC＝AB+AP；
（2）①证明：∵AG⊥AD，
∴∠GAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，
∴∠BAG＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°，
∵∠APB＝∠DPC，
∴∠ABG＝∠ACD，在△ABG和△ACD中，
，
∴△ABG≌△ACD（ASA）；
②证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，
∵AF⊥BP，CR⊥AF，
∴∠AEB＝∠CRA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∵∠BAE+∠CAR＝90°，
∴∠ABE＝∠CAR，
在△ABE和△CAR中，
，
∴△ABE≌△CAR（AAS），
∴AE＝CR，
∵△ABG≌△ACD（ASA），
∴AG＝AD，
∵AE⊥DG，
∴AE＝GE＝DE，
∴CR＝GE，
在△EHG和△RHC中，，
∴△EHG≌△RHC（AAS），
∴GH＝CH；
（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO，
∵点M是AB的中点，
∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB，
∴∠OAM＝∠OBM＝45°，
∴∠OMB＝90°，
∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，
∴MQ＝MK，∠QMK＝90°，
∴∠OMB＝∠QMK，
∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ，
∴∠BMQ＝∠OMK，
在△MBQ和△MOK中，
，
∴△MBQ≌△MOK（SAS），
∴∠MBQ＝∠MOK＝45°，
∴点K在OA所在的直线上移动，
∵OA垂直平分BC，∴CK＝BK，
∴PK+CK＝PK+BK≥BP，
∴当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，
∵∠ABC＝45°，∠DBC＝15°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，
在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝2，
∴BP＝2AP＝4，
∴PK+CK的最小值为4．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x＋2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A′C′（线段A'C'始终在直线l左侧），是否存在以A′，C′，G为顶点的等腰直角△A′C′G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为（）；（3）存在，G1（2，1），G2（2，），G3（2，）；见解析．
【解析】
【分析】
（1）令二次函数x＝0，y＝0，求出A、B、C的坐标，再求直线BC的解析式；
（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P的坐标；
（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K型全等”求出对应的点G的坐标．
【详解】
解：（1）对抛物线：，
当时，，
∴点C（0，2），
当时，，
解得：，，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
设直线BC的解析式为：，
把点C（0，2），B（3，0）代入得：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为：．
（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为：．
设AD的解析式为：，
把点A（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴AD的解析式为：，由
解得：，，
由点D在坐标系中的位置可得：
∴，
∴直线CD的解析式为：，
当时，，
解得：，
记直线CD与x轴交于点N，则：
，，
过点P作PM⊥AB交BC于点M，设，
∴，
∴，
∴
，
∴，∴当时，的最大值为，
此时，点P的坐标为．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为：x＝1，
∵抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，
∴直线l为：x＝2，
（i）当等腰三角形以，时，如图，过点C'作C'H⊥l于点H，过点A'作A'Q⊥C'H于点Q，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∵AC∥A'C'，
设点A'（a，），C'（a＋1，），∴C'H＝2﹣a，A'Q＝2，HG1＝C'Q＝1，
∴2﹣（a＋1）＝2，
解得：a＝﹣1，
∴C'（0，2），H（2，2），
∴G1（2，1），
（ii）当等腰三角形以∠C'A'G2＝90°，A'C'＝A'G2时，如图，过点A'作A'F⊥l于点F，过点C'作C'E⊥A'F于点E，
同（i）理可证：△C'A'E≌△A'G2F，
设点A'（a，），C'（a＋1，），
∴G2F＝A'E＝1，FA'＝2﹣a＝2，
∴a＝0，
∴A'，
∴F，
∴G2，
（iii）当等腰三角形以∠C'G3A'＝90°，C'G3＝A'G3时，如图，过点A'作A'Q⊥l于点Q，过点C'作C'P⊥l于点P，
同（i）理可证：△C'PG3≌△G3A'Q，
设点A'（a，），C'（a＋1，），
∴A'Q＝G3P＝2﹣a，C'P＝QG3＝1﹣a，PQ＝2，
∴2﹣a＋1﹣a＝2，
解得：a＝0.5，
∴C'，
G3P＝2﹣0.5＝1.5，
∴G3，
综上所述：存在点G1（2，1），G2，G3，使得以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G．
【点睛】
题目主要考察二次函数与一次函数及平面几何图形相结合，考点包括确定一次函数解析式、二次函数的基本性质及利用二次函数求最值、切割法求三角形面积、三角形全等、等腰直角三角形分类讨论思想等，难点在于分类讨论同时将其他知识点融会贯通，应用其中．
8．已知如图，在中，点是边上一点，连接、，，，点是上一动点，连接．
（1）如图1，若点是的中点，，求的面积；
（2）如图2，当时，连接，求证：；
（3）如图3，以为直角边作等腰，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先利用等腰直角三角形的性质求解 再求解的面积，从而可得平行四边形的面积；
（2）如图，延长交于点 先证明再证明 再结合平行四边形的性质可得：
（3）如图，过作，交的延长线于 过作 交于 先证明在上运动，作关于的对称点，连接，交于
确定三角形周长最小时的位置，再过作于 分别求解 再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）是的中点，
设



解得： （负根舍去）

,

（2）如图，延长交于点
在中，















（3）如图，过作，交的延长线于 过作 交于





等腰直角三角形


在上运动，
如图，作关于的对称点，连接，交于

此时周长最短，
过作于
由（2）得： 而

由（2）得： 是等腰直角三角形，





即的周长的最小值是
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，轴对称的性质，动点的轨迹，灵活应用以上知识是解题的关键.
9．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）写出，，三点的坐标．
（2）若点为内一点，求的最小值．
（3）如图2，点为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，请求出的长．
【答案】（1），，；（2）；（3）或16或或．
【解析】
【分析】（1）令，可求出点，点的坐标，令，可得出点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转得到△，连接，，当，，，四点共线，的值最小，再在直角三角形中，求出此时的最小值；
（3）需要分类讨论，当，，时，分别求解．
【详解】
解：（1）∵与轴交于、两点，与轴交于点，
∵当时，，
当时，或，
∴，，．
（2）将绕点顺时针旋转60°得到，连接，，
∴，，，，，
∴和为等边三角形，
∴，，
当，，，四点共线，的值最小，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）需要分类讨论：
①如图，当时，且点在点左侧时，过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在点右侧时，如图所示，过点作轴于点，则，
，
设，则，，
，
，，
，
，
，解得，
；
②如图，当时，过点作交轴于点，由，可得，，
设，则，
∵，
∴，解得．
由和，可得直线的解析式为：，
设直线为：，将代入得：，
∴，
∴．
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
∴，
∴，
由，可得直线的解析式为：，设直线为：，将代入得：，
∴，，
∴；
综上所述，的长为：或16或或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的基本性质，相似三角形的判定与性质，旋转，最值，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，并能进行分类讨论，并结合背景图形进行求解是解题关键．
10．如图，已知为等腰直角三角形，且，为上一点，且，过作且，连接．
（1）如图1，已知，连接、，求的面积；
（2）如图2所示，为上一点，连接，作交于点，求证：；
（3）已知面积为，为射线上一点，作，交射线于，连接，点为的中点，当有最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出，进而求出，同样表示出、，再将的面积用、、表示出来，计算即可得出答案；
（2）用证出，再进行等量代换即可得出答案；
（3）利用找到相等的线段，确定有最小值时，的位置，从而可得出答案．【详解】
解：（1）由题意可知
∵，
∴ ，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵也是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
作交于点，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，∴，
∴，
如图，设 则

∵
；
（3）由（2）可知，
，
∴，
当重合时，时，最小，此时重合，
∵且，

∴此时为的中点，
∵，
∴
．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的条件和性质，二次根式的运算等知识点，解题的关键是正确掌握相关的知识点，结合题意，灵活运用．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是和，点D是对角线上一动点（不与A，C重合），连结，作，交x轴于点E，以线段，为邻边作矩形．
（1）填空：B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；（3）设，矩形的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值．
（4）如图2，若点E边上，与相交于点G，连接及，和相交于点H，若，记的面积为，的面积为，请直接写出的值．
【答案】（1）（，2）；（2）存在，2或；（3），y的最小值为；（4）
【解析】
【分析】
（1）求出、的长即可得出结果；
（2）先推出，由是等腰三角形，分两种情况：①当在线段上时，观察图象可知，只有，，推出，可得是等边三角形，推出，即可得出结果；
②当在的延长线上时，只有，，得出即可得出结果；
（3）先表示出，，证出，用表示、的长，构建二次函数即可解决问题；
（4）设DE=BF=m，根据平行线分线段成比例得到，从而求出EG，FG，可得BG，怎么△ECG∽△BFG，利用相似三角形的性质可得结果．
【详解】
解：（1）四边形是矩形，
，，，
，．
故答案为，．
（2）存在；理由如下：
，，
，
，，
分两种情况：
①当在线段上时，是等腰三角形，观察图象可知，只有，如图1所示：
，，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
当时，是等腰三角形；
②当在的延长线上时，是等腰三角形，只有，，如图2所示：
，
，
综上所述，满足条件的的值为2或．
（3）过点作交于，交于，如图3所示：
和，，
直线的解析式为，
设，
，，
，
，，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
矩形的面积为，
，
，
时，有最小值，
即当点运动到距点的距离为3时，有最小值．
（4）如图4中，设，则，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．