2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题21 二次函数中的动点与图形面积问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题21 二次函数中的动点与图形面积问题（讲义）（解析版），共50页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)如图2，连接BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点H，M为线段BC上一动点，连接AM交抛物线于点P，连接PH交BC于点N，连接AN，△PAN的面积S是否有最大值，若有，求出S最大值，若无，请说明理由．
(3)如图3，以C为直角顶点，OC为直角边并向右作等腰直角△COD，将△COD沿射线OD平移得到△FEG，连接BE、BF，△BEF的周长l是否有最小值，若有，求△BEF的周长l的最小值，若无，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x＝1
(2)有，
(3)存在，3+3
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式，然后求出函数的对称轴即可；
（2）如图2，过P作轴，交AH于点Q，由求出直线的表达式，然后联立方程组，求出点坐标，，求出；设，则，，根据求出，根据△PAN的面积，计算求解最值即可；
（3）如图3，连接CE，过F作交y轴于T，由△COD沿射线OD平移得到△FEG，可说明四边形CEFT是平行四边形，T（0，6），证明，有，，周长，要使最小，则有TF+BF最小，此时T、F、B三点共线，TF+BF最小值即是TB的长度，计算求解TB的值，进而得到△BEF的周长l的最小值．
(1)
解：∵OB＝OC，C（0，3），
∴B（3，0），
将代入解析式得
解得：
∴抛物线的表达式为，函数的对称轴为直线x＝1．
(2)
解：有，理由如下：
如图2，过P作轴，交AH于点Q，
∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵，设直线AH解析式为，将A（﹣1，0）代入解得m＝﹣1，
∴直线AH解析式为，
联立方程
解得或，
∴H（4，﹣5），
∵，
∴△AHB与△AHN同底（AH）等高，
∴，
设，则，
∴，
∴
，
∴△PAN的面积
∴当x＝时，△PAN的面积有最大值是．
(3)
解：如图3，连接CE，过F作交y轴于T，
∵△COD沿射线OD平移得到△FEG，
∴，即轴，
∴四边形CEFT是平行四边形，
∴CT＝EF＝OC＝3，CE＝TF，
∴T（0，6），
在和中
∵
∴
∴
∴，
∴
要使最小，则有TF+BF最小，此时T、F、B三点共线，TF+BF最小值即是TB的长度，
∵T（0，6），B（3，0），
∴TB＝，即TF+BF最小值是，
∴△BEF的周长l的最小值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积的综合，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y′．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y′上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．
【答案】(1)
(2)P坐标为（，）
(3)N坐标为(7，0) 或(5，0) 或（-，0）或（，0）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线解析式可求出C点坐标，即得出OC的长，再根据题意可得出OB的长，即得出B点坐标．根据tan∠CAO＝3，可得出OA的长，即得出A点坐标．最后利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）由Q为线段PB中点，即证明S△CPQ＝S△CPB，即当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．设P坐标（a，），过点P作轴交BC于点H，则可得H坐标为（a，-a+3），即可求出PH的长，再根据三角形面积公式可求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值，即的最大值时，P点坐标；
（3）沿CB方向平移个单位，即向右2个单位，向下2个单位，由此可求出新抛物线解析式，即可求出M点坐标．再根据分类讨论的思想和平行四边形的性质，列出点的坐标的等量关系，即可求解．
(1)
∵抛物线解析式为，令x＝0，得y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC=OB＝3，
∴B坐标为（3，0）．
∵tan∠CAO＝3，即，
∴OA＝1，
∴点A坐标为（-1，0），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C点坐标得：y＝a（0+1）（0﹣3）
解得：a＝-1，
∴，
∴抛物线解析式为：；
(2)
∵Q为线段PB中点，
∴S△CPQ＝S△CPB，
当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．
设P坐标（a，），
如图，过点P作轴交BC于点H，
∴H坐标为（a，-a+3），
∴
∴，∴当时，即P坐标为(，)时，面积最大，最大值为，
∴；
(3)
沿CB方向平移个单位，即向右2个单位，向下2个单位，
∴新抛物线解析式为，
∴M（3，2），C坐标为（0，3），
设N点坐标为（n，0），
根据平行四边形的性质，分类讨论①当 时，即，
解得：．
∴
解得：
∴xD＝4或xD＝2，
当xD＝4时，，即，
解得：；
当xD＝2时，，即，
解得：；
∴N坐标为（7，0）或（5，0）；
①当 时，即，
解得：．
∴
解得：
∴或
当时，，即，
解得：；
当时，，即，解得：；
∴N坐标为（，0）或（，0）；
综上，可知N点坐标为（7，0）或（5，0）或（，0）或（，0）；
【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合，解直角三角形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．
(1)求这个抛物线的表达式．
(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）
【解析】
【分析】
（1）由交点式可求a的值，即可求解；
（2）由S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；
（3）①分两种情况讨论，通过证明△MAD≌△DOC，可得AM=DO，∠MAD=∠DOC=90°，可求解；②可证点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC=∠M'MC=45°，延长M'C交对称轴与N''，可证∠MM'C=∠MN''C=45°，即可求解．
(1)
解：∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
(2)
连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，
∴点C（0，2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC
＝
＝×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×2×1
＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，S有最大值，
∴当x＝时，S的最大值为．
(3)
①如图2，若点M在CD左侧，连接AM，
∵∠MDC＝90°，∴∠MDA+∠CDO＝90°，且∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，
∴△MAD≌△DOC（SAS）
∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，
∴点M坐标（﹣3，1），
若点M在CD右侧，同理可求点M'（1，﹣1）；
②如图3，
∵抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+；
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∴点D在对称轴上，
∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'′DC＝90°，
∴点D是MM'的中点，
∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，
当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，
∵点C（0，2），点D（﹣1，0）
∴DC＝，
∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，
∴点N（﹣1， ），点N'（﹣1，﹣）
延长M'C交对称轴与N''， ∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），
∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，
∴当x＝﹣1时，y＝5，
∴点N''的坐标（﹣1，5），
∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），
∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，
∴MM'＝MN''，
∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°
∴点N''（﹣1，5）符合题意，
综上所述：点N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．
①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．
②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？
(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．
【答案】(1)①，②w有最小值，w的最值是
(2)不变，
(3)或
【解析】
【分析】
（1）①根据题意先求得各点的坐标，求得的解析式，进而求得点的坐标，通过计算可得，进而可得，由可得出，依题意，设，解方程求解即可；
②根据已知条件设，求得直线的解析式，直线的解析式，联立即可求得点的坐标，根据，令，根据二次函数的性质求得的最大值，即可求得的最小值；（2）根据题意过点作，依题意，点为的外心，为垂直平分线上的点则点在抛物线的对称轴上，设，，，，根据建立方程，解得，进而求得，即可求得；
（3）作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，求得，勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
(1)
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
令，解得，则
令，则，解得
则
，则
①
设直线的解析式为
则解得
令，则，
，
依题意，设
解得（舍）
②点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，
设，
设直线的解析式为
则
解得
设直线的解析式为
设直线的解析式为
直线的解析式为
联立
解得
令
存在最大值，则存在最小值
当时，存在最大值，最大值为
则的最小值为
w有最小值，w的最值是
(2)
不变，，理由如下，
如图，过点作，依题意，点为的外心
为垂直平分线上的点，即点在抛物线的对称轴上，
，，
轴，
设，，，，为的外心，
，则
即
解得
即
(3)
如图，作的外心，作轴，则
在的垂直平分线上运动
依题意，当最大时，即最大时，
是的外心，，即当最大，最大
则当取得最小值时，最大
，
即当HQ⊥直线x=1时，取得最小值时，此时
∴
在中，
．
根据对称性，则存在．
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，垂径定理，抛物线与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，抛物线与圆综合，运用转化思想是解题的关键．
5．如图1，抛物线经过点、两点，与y轴交于点C．点P为线段上一动点（不与点B重合），连接，，，将沿直线翻折得到，交抛物线的另一点为Q，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）当时，点N为抛物线上一点，直线交y轴于点M．
①求点Q的坐标．
②若的面积为面积的8倍，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积最大，且最大值为12；（3）①点Q的坐标为；②，或．
【解析】
【分析】
（1）知道抛物线与x轴的两个交点坐标，可以利用交点式求得二次项系数a的值，将交点式转换为一般式即可.
（2）连接，过点Q分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，将四边形面积转化为两个三角形面积，进行计算即可．
（3）①过点C作，垂足为点G；过点Q作，垂足为点H，通过求证，求得CH长度，从而知道Q点横坐标，代入抛物线求解即可．
②根据点的位置，分两种情况去讨论，通过三角形相似，转换等量关系求解即可．
【详解】
（1）∵拋抛物线与x轴相交于、两点，
∴与y轴的交点C的坐标为．
设抛物线的表达式为，将点代入，得
，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图1，连接，过点Q分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点E，F．
设点Q的坐标为，则
，
．
∴
．
∵，
∴四边形的面积有最大值，
当时，四边形的面积最大，且最大值为12．
（3）①如图3-1
过点C作，垂足为点G；过点Q作，垂足为点H．
由和可知，，故，即四边形为正方形．
∴．
∵，
∴，
∴，即，∴．
将代入抛物线解析式，得，
故点Q的坐标为．
②根据题意，点的坐标分两种情况讨论，第一种情况，如下图3-2：
过点 作轴于点L，过点作于点，过点作轴于点,由的面积为面积的8倍，得：
又∵
∴
∴ 在和中，
∵,，
∴
∴
在和中，
∵，，
∴
∴
又∵
∴,
∴,即点的横坐标为，
∴将点的横坐标入抛物线，得纵坐标为：
∴
第二种情况，如下图3-3：
过点作延长线于点，过点作延长线于点，过点作轴于点,过点作,由的面积为面积的8倍，得：
又∵
∴
∴
在和中，
∵,，
∴
∴
在和中，
∵，，
∴
∴
又∵
∴,
∴,即点的横坐标为，
∴将点的横坐标入抛物线，得纵坐标为：
∴
综上，，或．
【点睛】
本题考查的是二次函数解析式的求法、不规则图形面积最大值的求法、三角形相似判定，点存在性问题的讨论等相关知识点，能根据题意画出相关图形，构造三角形相似是解题关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图像经过点（2，3），与x轴分别交于点A、点B（-1，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，过点B作BM∥AC交抛物线于点M，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PB交AC于点N，连接PM，NM，当S△PNM取得最大值时，求点P的坐标和S△PNM最大值；
（3）如图2，将该抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线y′与原抛物线相交于点E，点F为原抛物线上对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出Q点坐标．
【答案】（1）；（2）,最大值；（3）存在点Q，使以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过列二元一次方程组并求解，即可得到抛物线的解析式；
（2）过点作交于点，过点作交于点，直线与轴相交于点，过点作于点；根据题意，通过求解一元二次方程，得、；根据一次函数性质，通过求解二元一次方程组，得直线解析式及；根据矩形和三角函数性质，得，根据关系，得当取最大值时，最大；再根据一次函数平移的性质，通过一元二次方程判别式的性质计算，从而得到取最大值，即可完成求解；
（3）以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形或者或者三种情况分析；根据二次函数性质，得对称轴；根据题意，得当时，抛物线和抛物线y′相交，计算得以及；设，根据矩形的性质、勾股定理结合平移的性质求解，即可得到答案．
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的图像经过点（2，3）和点B（-1，0）
∴
∴
∴；
（2）过点作交于点，过点作交于点，直线与轴相交于点，过点作于点
根据（1）的结论得：抛物线
∵抛物线与x轴分别交于点A
∴
∴或
∵点B（-1，0）
∴，即
∵抛物线与y轴交于点C
∴当时，，即
∴
∴ 设直线为
∴
∴
∴直线为：
∵过点B作BM∥AC
∴设直线BM为：
∴
∴
∴直线BM为：
当时，，即
∴
∴
∴
∵，，BM∥AC
∴四边形为矩形
∴
∵BM交抛物线于点M
∴
∴或
∵点B（-1，0）
∴点M横坐标为
∴
∴
∴
∴
∴当取最大值时，最大
作直线，使，直线与轴相交于点设直线为：
当直线与抛物线只有一个交点时，取最大值
∴，即
当时
得：
∴直线为：
当时，，即
∴取最大值
∴最大值
∵
∴，即
∴
∴，即
（3）当以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形时，如下图：
∵抛物线
∴抛物线对称轴为： 将该抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线y′与原抛物线相交于点E
∴当时，抛物线和抛物线y′相交
∴，即
∴
∵点F为原抛物线上对称轴上一点
∴设
∴，
∴，，
∴
∴，即
∵，
∴，即；
当以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形时，如下图：
同理，设 ∴，，
∴
∴，即
∵，
∴，即；
当以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形时，如下图：
同理，设
∴，，
∴
∴
∵
∴无实数根，即以F、C、E、Q为顶点的矩形不存在
∴或．
【点睛】
本题考查了二次函数、二元一次方程组、一元二次方程、一次函数、三角函数、矩形、平移、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组、一元二次方程、一次函数、三角函数、矩形、平移、勾股定理的性质，从而完成求解．
7．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M'．
①写出点M'的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l'，当直线l′与直线AM'重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM'交于点C，设点B，M'到直线l'的距离分别为d1，d2，当d1+d2最大时，求直线l'旋转的角度（即∠BAC的度数）．
【答案】（1）；（2） ，；（3）①；②45°
【解析】
【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m＝，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．
【详解】
（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，
∴y＝3，
∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝×m×3+×1×（-m2+2m+3）-×1×3
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S取得最大值．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′＝，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（，），
∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG＝x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，
∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，
∴x＝，
cs∠M′BG＝＝，∠M′BG=
此时图像如下所示，
∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1
∴∠B M′P=∠BCA＝，
又∵∠M′BG=∠CBA=
∴∠BAC＝．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
8．已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】
【分析】
（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；
（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】
解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，
∴，
又∵，
∴，
即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，
∴ 解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，∴，
∴的面积
∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，
∴，
过点作于，则在中，
，
∴，
再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，即，
∴的最小值为．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．
9．已知：如图，二次函数的图象交轴于点和点（点在点左则），交轴于点，作直线是直线上方抛物线上的一个动点．过点作 直线平行于直线是直线 上的任意点，是直线上的任意点，连接，始终保持为，以和边，作矩形．
（1）在点移动过程中，求出当的面积最大时点的坐标；在的面积最大 时，求矩形的面积的最小值．
（2）在的面积最大时，线段交直线于点，当点四个点组成平行 四边形时，求此时线段与抛物线的交点坐标．
【答案】（1）点坐标为，矩形的最小值为；（2）交点坐标为（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．
【解析】
【分析】
（1）当△DEB的面积最大时，直线DN与抛物线相切，可求出直线DN的解析式和点D的坐标，当矩形面积最小时，MG最小，求出MG的最小值即可．
（2）分两种情况讨论，以DB为边和以DB为对角线，分别求出此时ON的解析式，联立求出交点坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1所示，过点D作y轴的平行线交MB于点H，过点O作OQ垂直MB于点Q，
令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，y＝2，
∴E（0，2），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，则
解得，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，
∵DN∥BE，
∴设直线DN的解析式为y＝﹣x+b1，
S△DEB＝DH•（xB﹣xE），
∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，
∴﹣x+b1＝﹣x2+x+2，
△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，
解得b1＝4，点D（2，3），
S矩＝2S△MOG+S平形四边形，
∴矩形面积最小时就是MG最小，
设QG＝m，MQ＝n，∴MG＝m+n，
∵m+n≥2，
∵△QOG∽△MQO，
∴OQ2＝m•n，
∵△OEQ∽△EOB，
∴OQ＝，
∴m•n＝，
∴m+n的最小值为．
∴MG＝，
∴S矩＝2S△MOG+S平形四边形＝．
（2）分两种情况讨论，
情况一：当GN∥DB时，
直线DB的解析式为：y＝﹣x+6，
则直线NG的解析式为y＝﹣x，
∴﹣x＝﹣x2+x+2，
解得x1＝3+，x2＝3﹣，
∴交点坐标为（3+，﹣），（3﹣，﹣），
情况二：DB为对角线时，此时NG必过DB的中点（3，），
设直线ON的解析式为y＝k1x，
则k1＝，
∴直线OD的解析式为y＝x，
＝﹣x2+x+2，
解得x1＝1﹣，x2＝1+，
∴交点坐标为（1﹣，），（1+，），综上所述：交点坐标为（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．
10．如图，已知抛物线经过点、，且与轴交于点，抛物线的顶点为，连接，点是线段上的一个动点（不与、）重合.
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）过点作轴于点，求面积的最大值及取得最大值时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1），D的坐标为（1，4）；（2）当m=时 △BPE的面积取得最大值为，P的坐标是（，3）；（3）存在，M点的坐标为；；；；；
【解析】
【分析】
（1）先根据抛物线经过A（-1，0）B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线即可求出二次函数的解析式并得出顶点的坐标；
（2）先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值以及点的坐标；
（3）根据题意利用平行四边形的性质进行分析求值，注意分类讨论.
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）
∴
所以二次函数的解析式为：

D的坐标为（1，4）
（2）设BD的解析式为y=kx+b
∵过点B（3，0），D（1，4）
∴解得
BD的解析式为y = -2x+6
设P（m，）
PE⊥y轴于点E
∴ △BPE的PE边上的高h=
S△BPE=×PE×h
=m()
=
=
∵a=-1