2022-2023学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）将抛物线y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣1）2C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
2．（2分）∠A为锐角，若csA＝，则∠A的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
3．（2分）已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上情况都有可能
4．（2分）如图，△ABC中，D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数y＝图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2
C．y1＞y2D．y1，y2大小不确定
6．（2分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象开口向上
B．当x＝1时，函数有最大值是3
C．当x＝1时，函数有最小值是3
D．当x＞1时，y随x增大而增大
7．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠CDB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°B．40°C．50°D．90°
8．（2分）如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面三个推断中，
①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象开口向上，且对称轴是直线x＝2，任写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．
10．（2分）已知扇形的圆心角为60°，半径是2cm，则此扇形弧长为 cm．
11．（2分）已知反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
12．（2分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
13．（2分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，则x1＝ ．
14．（2分）如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ACB＝35°，过点A作⊙O的切线与OB的延长线交于点P，则∠APO的度数是 ．
15．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC上一点，BE＝1，AE与BD交于点F．则DF的长为 ．
16．（2分）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB＝30°，∠ADC＝15°．
①⊙O的半径长为 ．
②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是 ．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27，28题每题7分）
17．（5分）计算：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°．
18．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，延长AD至E，连接BE，∠CBE＝∠ABC．
（1）求证：△ADC∽△EDB；
（2）若AC＝4，BE＝6，AD＝2，求DE长．
19．（5分）如图，△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AD⊥BC，垂足为D，AB＝，求AC长．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
（2）画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．
21．（5分）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为30°，在地面雷达站B处测得点A的仰角为45°．已知AC＝20km，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到0.01km，参考数据≈1.732）．
22．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠ABO＝∠CAE；
（2）已知⊙O的半径为5，DE＝2，求BC长．
23．（6分）已知函数y＝（x＞0）的图象上有两点A（1，6），B（3，n）．
（1）求k，n的值．
（2）已知直线y＝kx+b与直线y＝x平行，且直线y＝kx+b与线段AB总有公共点，直接写出k值及b的取值范围．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD与AB交于点E，CE＝ED，延长AB至F，连接DF，使得∠CDF＝2∠CAE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BE＝1，BF＝2，求⊙O的半径长．
25．（6分）实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一，某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为1.6m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3.4m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y＝﹣0.125（x﹣4）2+3.6，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为d1，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为d2，则d1 d2．（填“＞”“＝”或“＜”）．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）若抛物线经过点A（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）已知抛物线上有四个点B（﹣1，y1），C（1，y2），D（3，y3），E（m，0），且2＜m＜4．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合），∠ADE＝60°，AD＝DE，连接CE．
（1）判断CE与AB的位置关系，并证明；
（2）过D过DG⊥AB，垂足为G．用等式表示DG，AG与DC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，O、M、P三点不在同一条直线上，将线段OM平移得到线段PP1，（其中P，P1分别是O，M的对应点），延长PO至P2，使得OP2＝2OP，连接P1P2，交OM于点Q，称Q为点P关于线段OM的关联点．
（1）如图，点M（1，2），P（2，0），点Q为点P关于线段OM的关联点．
①在图中画出点Q；
②求证：OQ＝2QM；
（2）已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一动点，O，M，P三点不在同一条直线上，OP＝3，点P关于线段OM的关联点为Q．求P2Q的取值范围．
2022-2023学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）将抛物线y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣1）2C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：左加右减进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是y＝（x﹣1）2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
2．（2分）∠A为锐角，若csA＝，则∠A的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵∠A为锐角，csA＝，
∴∠A＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
3．（2分）已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上情况都有可能
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，
∵4＜2，即：d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选：A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
4．（2分）如图，△ABC中，D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（2分）P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数y＝图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2
C．y1＞y2D．y1，y2大小不确定
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断函数图象在第几象限和y随x的变化趋势，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一象限，y随x的增大而减小，
∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）是反比例函数y＝图象上两点，0＜x1＜x2，
∴y1＞y2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．（2分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象开口向上
B．当x＝1时，函数有最大值是3
C．当x＝1时，函数有最小值是3
D．当x＞1时，y随x增大而增大
【分析】根据二次函数的性质即可判定．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的对称轴为x＝1，开口向下，顶点坐标为（1，3），
∴当x＝1时，y有最大值是3，当x＞1时，y随x增大而增减小，
故ACD不符合题意；B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
7．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠CDB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°B．40°C．50°D．90°
【分析】根据圆周角定理得出∠CAB＝∠CDB，∠ACB＝90°，再根据直角三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵∠CDB＝40°，
∴∠CAB＝∠CDB＝40°（圆周角定理），
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两锐角互余．
8．（2分）如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面三个推断中，
①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】分别表示出α与n、d与r、S与r的关系式，进而判定出结论．
【解答】解：①∵a＝，
∴α是n的反比例函数，
故①正确，
②如图，
∵OA1＝OA2，
∴∠BOA1＝＝，
∴d＝r•cs，
∵α为定值，即csα为定值，
∴d是r的正比例函数，
故②正确，
③∵为定值，a＝，
∴α为定值，
∵A1A2＝BA1＝r•sin，
∴S＝A1A2•d＝r＝（sin•csα）•r2，
∴S为r的二次函数，
故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数、反比例函数、二次函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象开口向上，且对称轴是直线x＝2，任写出一个满足条件的二次函数的表达式： y＝x2﹣4x+1（答案不唯一） ．
【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＞0，﹣＝2，由此举例得出答案即可．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵图象的开口向上，
∴a＞0，可取a＝1，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，得b＝﹣4a＝﹣4，
∵c可取任意数，
∴函数解析式可以为：y＝x2﹣4x+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2﹣4x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．
10．（2分）已知扇形的圆心角为60°，半径是2cm，则此扇形弧长为 π cm．
【分析】已知扇形的圆心角为60°，半径为2，代入弧长公式计算．
【解答】解：依题意，n＝60，r＝2，
∴扇形的弧长＝＝＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式．
11．（2分）已知反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由m﹣1＜0即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴m﹣1＜0．
解得m＜1．
故答案是：m＜1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
12．（2分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．
13．（2分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，则x1＝ 4 ．
【分析】根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
【解答】解：观察表格中的x、y的值，可知（﹣1，2）、（3，2）是对称点，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∵点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，
∴＝1，
∴x1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．
14．（2分）如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ACB＝35°，过点A作⊙O的切线与OB的延长线交于点P，则∠APO的度数是 20° ．
【分析】连接OA，则∠OAP＝90°，由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝70°，即可求∠APO＝90°﹣∠AOB＝20°．
【解答】解：连接OA，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝70°，
∴∠APO＝90°﹣∠AOB＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC上一点，BE＝1，AE与BD交于点F．则DF的长为 4 ．
【分析】利用勾股定理求出BD，再证明DF：BF＝4：1，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，AD∥CB，
∴BD＝＝＝5，
∵BE∥AD，
∴△BFE∽△DFA，
∴＝＝，
∴DF＝BD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
16．（2分）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB＝30°，∠ADC＝15°．
①⊙O的半径长为 2 ．
②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是 2 ．
【分析】①连接BO并延长交⊙O于E，连接AE，由∠AEB＝∠ADB＝30°，∠BAE＝90°，AB＝2，得BE＝4，故⊙O的半径为2；
②过A作AF⊥CD交⊙O于F，连接BF交CD于P，过A作AG⊥BF于G，由CD为⊙O直径，AF⊥CD，可得PA＝PF，当F，P，B共线时，PF+PB最小，即PA+PB最小，最小值为BF的长度，又∠ADC＝15°，∠ADB＝30°，＝2，可得AB＝AF＝2，∠AFB＝∠ADB＝30°＝∠ABF，在Rt△ABG中，BG＝＝，即得BF＝2，故PA+PB最小值为2．
【解答】解：①连接BO并延长交⊙O于E，连接AE，如图：
∵＝，
∴∠AEB＝∠ADB＝30°，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴AB＝BE，
∵AB＝2，
∴BE＝4，
∴⊙O的半径为2，
故答案为：2；
②过A作AF⊥CD交⊙O于F，连接BF交CD于P，过A作AG⊥BF于G，如图：
∵CD为⊙O直径，AF⊥CD，
∴CD为AF的垂直平分线，＝2，
∴PA＝PF，
∴PA+PB＝PF+PB，
当F，P，B共线时，PF+PB最小，即PA+PB最小，最小值为BF的长度，
∵∠ADC＝15°，∠ADB＝30°，＝2，
∴＝，
∴AB＝AF＝2，∠AFB＝∠ADB＝30°＝∠ABF，
∵AG⊥BF，
∴BG＝FG＝BF，
在Rt△ABG中，
AG＝AB＝1，BG＝＝，
∴BF＝2，
∴PA+PB最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理，垂径定理及推论的应用．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27，28题每题7分）
17．（5分）计算：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°
＝2×﹣+×
＝﹣+
＝．
【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，延长AD至E，连接BE，∠CBE＝∠ABC．
（1）求证：△ADC∽△EDB；
（2）若AC＝4，BE＝6，AD＝2，求DE长．
【分析】（1）可证得∠C＝∠CBE，进而得出△ADC∽△EDB；
（2）根据△ADC∽△EDB得出，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴∠C＝∠CBE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△ADC∽△EDB；
（2）解：由（1）知：△ADC∽△EDB，
∴，
∴，
∴DE＝3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
19．（5分）如图，△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AD⊥BC，垂足为D，AB＝，求AC长．
【分析】根据，∠B＝45°，求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tanC＝，可以求得CD的长，从而可以求得AC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，∠B＝45°，AB＝，
∴AD＝1，BD＝1，
∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝1，
∴CD＝＝2，
在Rt△ADC中，
∴AC＝．
【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
（2）画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣x2+2x﹣1+4＝﹣（x﹣1）2+4，即可求解；
（2）结合（1）画出函数图象，观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
（2）函数图象如图所示，
∵函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
观察函数图象知，y＜0时，x的取值范围为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确运用配方法求出顶点坐标是解题关键．
21．（5分）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为30°，在地面雷达站B处测得点A的仰角为45°．已知AC＝20km，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到0.01km，参考数据≈1.732）．
【分析】根据直角三角形的性质得到AO＝AC＝（km），根据勾股定理得到OC＝＝＝10（km），根据等腰直角三角形的性质得到AO＝OB＝10km，于是得到结论．
【解答】解：在Rt△AOC中，∵∠C＝30°，AC＝20km，
∴AO＝AC＝（km），
∴OC＝＝＝10（km），
在Rt△AOB中，∵∠ABO＝45°，
∴AO＝OB＝10km，
∴BC＝OC﹣OB＝10﹣10≈7.32（km），
答：B、C两个雷达站之间的距离为7.32km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角与俯角，正确地识别图形是解题的关键．
22．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠ABO＝∠CAE；
（2）已知⊙O的半径为5，DE＝2，求BC长．
【分析】（1）由垂径定理得出BD＝CD，AB＝AC，由等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠CAE，由OB＝OA得∠BAE＝∠ABO，即可得出结论；
（2）求出OD＝OE﹣DE＝3，利用勾股定理求出BD＝4，由垂径定理即可得BC＝2BD＝8．
【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，AE⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AB＝AC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵OB＝OA，
∴∠BAE＝∠ABO，
∴∠ABO＝∠CAE；
（2）解：∵⊙O的半径为5，DE＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
∵AE⊥BC，
∴BD＝＝＝4，
∵AE是⊙O的直径，AE⊥BC，
∴BC＝2BD＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理，三角形的外接圆，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键．
23．（6分）已知函数y＝（x＞0）的图象上有两点A（1，6），B（3，n）．
（1）求k，n的值．
（2）已知直线y＝kx+b与直线y＝x平行，且直线y＝kx+b与线段AB总有公共点，直接写出k值及b的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）两直线平行，k值相等；再根据点A和点B坐标及k值为1可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，6）代入y＝（x＞0），
得：k＝1×6＝6，
即反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
把B（3，n）代入y＝，
得：n＝2；
（2）∵直线y＝kx+b与直线y＝x平行，
∴k＝1，
当y＝x+b过点A（1，6）时，1+b＝6，则b＝5，
当y＝x+b过点B（3，2）时，3+b＝2，则b＝﹣1，
∴符合题意的k的值为1，b的取值范围为﹣1≤b≤5．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、两平行直线的关系及直线与线段的交点个数问题等知识点，需要仔细分析，认真解答．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD与AB交于点E，CE＝ED，延长AB至F，连接DF，使得∠CDF＝2∠CAE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BE＝1，BF＝2，求⊙O的半径长．
【分析】（1）由垂径定理可得AB⊥CD，由余角的性质可求∠ODF＝90°，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求∠F的度数和DE的度数，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OD，
∵∠CAE＝∠CDB，∠CDF＝2∠CAE，
∴∠BDF＝∠CDB＝∠CAE，
∵CE＝DE，AB是直径，
∴AB⊥CD，
∴∠OBD+∠BDC＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
又∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点B作BH⊥DF于H，
∵BE＝1，BF＝2，
∴EF＝3，
∵∠BDC＝∠BDF，BH⊥DF，BE⊥CD，
∴BE＝BH＝1，
∴sinF＝＝，
∴∠F＝30°，
∴tanF＝＝，
∴DE＝3×＝，
∵OD2＝OE2+DE2，
∴OD2＝3+（OD﹣1）2，
∴OD＝2，
∴⊙O的半径长为2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，求出∠F的度数是解题的关键．
25．（6分）实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一，某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为1.6m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3.4m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y＝﹣0.125（x﹣4）2+3.6，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为d1，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2．（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出d1和d2，再进行比较即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3.4，
把（0，1.6）代入得1.6＝a（0﹣3）2+3.4，
解得a＝﹣0.2．
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣0.2（x﹣3）2+3.4；
（2）在y＝﹣0.2（x﹣3）2+3.4中，当y＝0时，﹣0.2（x﹣3）2+3.4＝0，
解得x＝3+或x＝3﹣（小于0，舍去），
∴d1＝（3+）m；
在y＝﹣0.125（x﹣4）2+3.6中，当y＝0时，﹣0.125（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x＝4+或x＝4﹣（小于0，舍去），
∴d2＝（4+）m，
∵3+＜4+，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出二次函数解析式．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）若抛物线经过点A（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）已知抛物线上有四个点B（﹣1，y1），C（1，y2），D（3，y3），E（m，0），且2＜m＜4．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）将点A（2，0）的坐标代入抛物线解析式中得b＝﹣2a，再根据抛物线的对称轴公式即可得到结果．
（2）根据抛物线过点E（m，0）得b＝﹣am，以此得到抛物线对称轴为x＝，根据a＞0，2＜m＜4可得离对称轴越远的点，函数值越大，，再结合A、B、C三点的横坐标即可得到结果
【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（2，0），
∴0＝4a+2b，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为：，
∴抛物线的对称轴为x＝1；
（2）y1＞y3＞y2，理由如下：
∵抛物线过点E（m，0），
∴0＝am2+bm＝m（am+b），
∵2＜m＜4，
∴am+b＝0，即b＝﹣am，
∴抛物线对称轴为：，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大，
即离对称轴越远的点，函数值越大，
由2＜m＜4可得，
∵﹣1离最远，其次是3，最后是1，
∴y1＞y3＞y2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
27．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合），∠ADE＝60°，AD＝DE，连接CE．
（1）判断CE与AB的位置关系，并证明；
（2）过D过DG⊥AB，垂足为G．用等式表示DG，AG与DC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接AE，证出△ADE为等边三角形，由等边三角形的性质得出AE＝AD，∠DAE＝60°，证出AB＝AC，∠BAC＝60°，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠ACE＝60°，证得∠BAC＝∠ACE，则可得出结论；
（2）在AB上截取AH＝CD，连接DH，证明△BHD是等边三角形，由等边三角形的性质得出DH＝BD，∠DHG＝60°，由直角三角形的性质得出DG＝GH，则可得出结论．
【解答】解：（1）CE∥AB．
证明：连接AE，
∵∠ADE＝60°，AD＝DE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴CE∥AB；
（2）DG＝（AG﹣DC）．
证明：在AB上截取AH＝CD，连接DH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AH＝CD，
∴BH＝BD，
∴△BHD是等边三角形，
∴DH＝BD，∠DHG＝60°，
∵DG⊥AB，
∴∠DGH＝90°，
∵tan∠DHG＝，∠DHG＝60°，
∴＝tan60°＝，即DG＝GH，
∵GH＝AG﹣AH，AH＝DC，
∴GH＝AG﹣DC，
∴DG＝（AG﹣DC）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，O、M、P三点不在同一条直线上，将线段OM平移得到线段PP1，（其中P，P1分别是O，M的对应点），延长PO至P2，使得OP2＝2OP，连接P1P2，交OM于点Q，称Q为点P关于线段OM的关联点．
（1）如图，点M（1，2），P（2，0），点Q为点P关于线段OM的关联点．
①在图中画出点Q；
②求证：OQ＝2QM；
（2）已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一动点，O，M，P三点不在同一条直线上，OP＝3，点P关于线段OM的关联点为Q．求P2Q的取值范围．
【分析】（1）①根据题意画出图形；
②由新定义得出P2（﹣4，0），PP1∥OM，PP1＝OM，证明△P2OQ∽△P2PP1，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）证明△P2OQ∽△P2PP1，由相似三角形的性质得出，求出OQ＝，则可得出答案．
【解答】（1）①解：由题意画出图形如下：
②证明：∵点Q为点P关于线段OM的关联点，P（2，0），
∴P2（﹣4，0），PP1∥OM，PP1＝OM，
∴OQ∥PP1，
∴△P2OQ∽△P2PP1，
∴，
∵PP1＝OM，
∴，
∴OQ＝2OM；
（2）解：∵OP＝3，OP2＝6，
∴点P是在以O为圆心3为半径的圆上，P2是在以O为圆心6为半径的圆上．
由已知，OQ∥PP1，
∴△P2OQ∽△P2PP1，
∴，
∵OM＝1，OM＝PP1，
∴OQ＝，
∵OP2＝6，O，M，P三点不在同一条直线上，
∴OP2﹣OQ＜P2Q＜OP2+OQ，
∴．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，新定义关联点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．x
﹣1
1
3
y
2
﹣2
2
x
﹣1
1
3
y
2
﹣2
2