2023-2024学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）二次函数y＝3（x+1）2﹣4的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
2．（2分）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2分）中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等
B．经过任意三点，可以画一个圆
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．任意画一个三角形，其内角和为360°
5．（2分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A．x+2＝0B．x2﹣x＝0C．x2﹣4＝0D．x2+4＝0
6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
7．（2分）如图，在5×5的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点（旋转中心）逆时针旋转角α后得到线段A'B'，点A'与A对应，则旋转中心是（ ）
A．点BB．点GC．点ED．点F
8．（2分）某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如表：
下列说法正确的是（ ）
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901
B．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90
C．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660
D．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
10．（2分）将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 ．
11．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1时，将原方程配方成（x﹣2）2＝k的形式，则k的值为 ．
12．（2分）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C为切点，连接OC并延长到D，使CD＝OC，连接AD．若∠BAD＝75°，则∠AOC的度数为 ．
13．（2分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （按从小到大的顺序，用“＜”连接）．
14．（2分）请写出一个常数a的值，使得二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是 ．
15．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则正六边形ABCDEF的面积为 ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A、B两点，下列四个结论中：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴是直线x＝1；
③A、B两点位于对称轴异侧；
④抛物线的顶点在第四象限；
所有不正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2+8x﹣20＝0．
18．（5分）下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．
已知：平行四边形ABCD．
求作：AE⊥BC，垂足为E．
作法：如图1，2所示，
①连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交AC于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作圆，交线段BC于点E（点E不与点C重合），连接AE．所以线段AE就是所求作的高．
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AP＝CP，AQ＝ ，
∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上，
∴直线PQ为线段AC的垂直平分线，
∴O为AC中点，
∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E，
∴∠AEC＝ °，（ ）（填推理的依据），
∴AE⊥BC．
19．（5分）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求该函数的顶点坐标．
20．（5分）二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是 ；
（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
21．（5分）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．
22．（5分）玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅•释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h．图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB为6cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD＝1cm，连接OB，求该玉环的中孔半径的长．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为1，求m的值和方程的另一个根．
24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的行线交BC延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AD＝6，求线段CD的长．
25．（6分）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如表：
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；
（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为 米；
（3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3m处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 m．（结果精确到0.1m）
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中M（2，m）和N（5，n）在抛物线y＝x2+2bx上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求b的值；
（2）若mn＜0，求该抛物线的对称轴t的取值范围．
27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）直接写出∠ACE+∠BCD的度数；
（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段AE与CF之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，点A的坐标为（﹣1，0）．点B是⊙O上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线AB上，且AP＝2AB，则称点P是点A关于⊙O的2倍关联点．
（1）若点P是点A关于⊙O的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为
；
（2）直线l经过点A，与y轴交于点C，∠CAO＝30°，点D在直线l上，且点D是点A关于⊙O的2倍关联点，求D点的坐标；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围．
2023-2024学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.
1．（2分）二次函数y＝3（x+1）2﹣4的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【分析】根据顶点式直接写出答案即可．
【解答】解：二次函数y＝3（x+1）2﹣4中，k＝3＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）2﹣4，当x＝﹣1时函数有最小值﹣4．
故选：D．
【点评】考查了二次函数的最值，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．
2．（2分）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴OP＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．（2分）中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（2分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等
B．经过任意三点，可以画一个圆
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．任意画一个三角形，其内角和为360°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、等腰三角形的三条边都相等，是随机事件，不符合题意；
B、经过任意三点，可以画一个圆，是随机事件，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，是必然事件，符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A．x+2＝0B．x2﹣x＝0C．x2﹣4＝0D．x2+4＝0
【分析】先根据题意求出各方程的解，进而可得出结论．
【解答】解：A、∵x+2＝0，∴x＝﹣2，不符合题意；
B、∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1，不符合题意；
C、∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，符合题意；
D、∵x2+4＝0，∴x2＝﹣4＜0，此方程无实数根，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的直接开方法是解题的关键．
6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
【分析】由圆周角定理得到∠BOD＝120°，由弧长公式即可求出的长＝＝2π．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠A＝∠BOD，
∴∠BOD＝120°，
∵⊙O的半径为3，
∴的长＝＝2π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠BOD＝120°，由弧长公式即可求出的长．
7．（2分）如图，在5×5的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点（旋转中心）逆时针旋转角α后得到线段A'B'，点A'与A对应，则旋转中心是（ ）
A．点BB．点GC．点ED．点F
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°，
点A'与A对应，则旋转中心是点E，
故选：C．
【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
8．（2分）某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如表：
下列说法正确的是（ ）
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901
B．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90
C．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660
D．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此判断可得．
【解答】】解：从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，
故选：D．
【点评】本题考查利用频率估计概率、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否成立．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 k≠﹣3 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，再求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，
∴k+3≠0，
∴k≠﹣3．
故答案为：k≠﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出k+3≠0是解此题的关键．
10．（2分）将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 y＝（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
11．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1时，将原方程配方成（x﹣2）2＝k的形式，则k的值为 5 ．
【分析】利用配方法把方程变形，进而求出k．
【解答】解：x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴k＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式是解题的关键．
12．（2分）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C为切点，连接OC并延长到D，使CD＝OC，连接AD．若∠BAD＝75°，则∠AOC的度数为 65° ．
【分析】先根据切线长定理和切线的性质得到∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝90°，则可判断AC垂直平分OD，所以AO＝AD，再根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠DAC，所以∠OAC＝∠BAD＝25°，然后利用互余计算出∠AOC的度数．
【解答】解：∵AB、AC为⊙O的切线，B、C为切点，
∴OA平分∠BAC，OC⊥AC，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝90°，
∵OC＝CD，
∴AC垂直平分OD，
∴AO＝AD，
∴AC平分∠OAD，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OAC＝∠BAD＝×75°＝25°，
∴∠AOC＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质．
13．（2分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y3＜y1＜y2 （按从小到大的顺序，用“＜”连接）．
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2，y3的大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2，
∴图象开口向下，对称轴是y轴，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，
∴点C到对称轴的距离最远，点B（﹣1，y2）到对称轴的距离最近，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．（2分）请写出一个常数a的值，使得二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是 5（答案不唯一） ．
【分析】依据题意，由二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，从而Δ＝42﹣4a＜0，进而求出a＞4，故可判断得解，注意结果不唯一．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，
∴Δ＝42﹣4a＜0．
∴a＞4．
∴a可取5，答案不唯一．
故答案为：5（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能理解是关键．
15．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则正六边形ABCDEF的面积为 24 ．
【分析】作OG⊥AB于点H，根据正六边形ABCDEF内接于⊙O，可得△OBC是等边三角形，进而可得正六边形ABCDEF的面积．
【解答】解：如图，作OH⊥AB于点H，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝BC＝4，
∴AH＝2，
∴OH＝＝2，
∴S△BOC＝＝4，
∴正六边形ABCDEF的面积为：6×＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了正多边形和圆面积的计算，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A、B两点，下列四个结论中：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴是直线x＝1；
③A、B两点位于对称轴异侧；
④抛物线的顶点在第四象限；
所有不正确结论的序号是 ①④ ．
【分析】根据二次函数的解析式，可知抛物线过定点（0，0），结合点A和点B的位置即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝0代入函数解析式得，
y＝0，
所以抛物线过点（0，0）．
画出函数的大致图象，如图所示，
所以抛物线的开口向下，
故①错误．
因为，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1．
故②正确．
由函数的大致图象可知，
③正确，④错误．
故答案为：①④．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能根据二次函数解析式得出其图象过定点（0，0）是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2+8x﹣20＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x+10）＝0，
可得x﹣2＝0或x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（5分）下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．
已知：平行四边形ABCD．
求作：AE⊥BC，垂足为E．
作法：如图1，2所示，
①连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交AC于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作圆，交线段BC于点E（点E不与点C重合），连接AE．所以线段AE就是所求作的高．
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AP＝CP，AQ＝ CQ ，
∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上，
∴直线PQ为线段AC的垂直平分线，
∴O为AC中点，
∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E，
∴∠AEC＝ 90 °，（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据），
∴AE⊥BC．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）利用直径所对的圆周角是直角证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接AP，PC，AQ，QC，
∵AP＝CP，AQ＝CQ，
∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上，
∴直线PQ为线段AC的垂直平分线，
∴O为AC中点，
∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E，
∴∠AEC＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AE⊥BC．
故答案为：CQ，90，直径所对的圆周角是直角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
19．（5分）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求该函数的顶点坐标．
【分析】（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3，求得b值，则二次函数的解析式可得；
（2）将二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3配方为顶点式即可得到顶点坐标．
【解答】解：（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3得：
5＝4+2b﹣3，
解得：b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数顶点坐标，属于基础知识的考查，难度不大．
20．（5分）二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是 ；
（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：，
故答案为：；
（2）由题意画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，
＝，
故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意放回实验还是不放回实验是解题的关键．
21．（5分）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．
【分析】设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，利用该市2023年进出口贸易总额＝该市2021年进出口贸易总额×（1+这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，
根据题意得：60000（1+x）2＝86400，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（5分）玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅•释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h．图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB为6cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD＝1cm，连接OB，求该玉环的中孔半径的长．
【分析】设OB＝OC＝r cm，根据OB2＝OD2+BD2，构建方程求解．
【解答】解：如图3中，∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝×6＝3（cm），
设OB＝OC＝r cm，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴r2＝（r﹣1）2+32，
∴r＝5．
答：该玉环的中孔半径的长5cm．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为1，求m的值和方程的另一个根．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）把x＝1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0中，
a＝1，b＝﹣5，c＝m，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×m＝25﹣4m，
∵m＜0，
∴25﹣4m＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）∵1是方程的一个根，
∴12﹣5×1+m＝0，
∴m＝4；
设方程的另一个根为x2，
∵1+x2＝5，
∴x2＝4．
∴m＝4，方程的另一个根为4．
【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的行线交BC延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AD＝6，求线段CD的长．
【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理和切线的判定定理解答即可；
（2）利用扇形的面积公式与三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵∠COA＝2∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠COA＝90°．
∵CO∥DA，
∴∠COA+∠OAD＝180°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥DA，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，
∵∠COA＝∠OAH＝∠CHA＝90°，
∴四边形OAHC是矩形，
∵OA＝OC＝4，
∴四边形OAHC是正方形，
∴AH＝HC＝OA＝4，
∵AD＝6，
∴∠＝DH＝AD﹣AH＝6﹣4＝2，
∴CD＝＝＝2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（6分）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如表：
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；
（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为 3.0 米；
（3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3m处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 2.7 m．（结果精确到0.1m）
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）观察函数图象可得答案；
（3）用待定系数法可得解析式；
（4）结合解析式，令x＝3可解得答案．
【解答】解：（1）描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）根据函数图象和表格数据可知，对称轴为直线x＝＝2，
∴顶点坐标为（2，3），
∴水流最高点距离地面的高度为3.0米，
故答案为：3.0；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
将（5，0）代入解析式得，9a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3（0≤x≤5）；
（4）当x＝3时，y＝﹣（3﹣2）2+3＝≈2.7，
∴大理石雕塑的高度约为2.7米，
故答案为：2.7．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数解析式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中M（2，m）和N（5，n）在抛物线y＝x2+2bx上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求b的值；
（2）若mn＜0，求该抛物线的对称轴t的取值范围．
【分析】（1）把点M的坐标代入y＝x2+2bx可以得解；
（2）依据题意，若mn＜0，结合抛物线开口向上，从而抛物线与x轴必有一交点在2和5之间，而另一个交点为（0，0），利用抛物线的对称性可以得解．
【解答】解：（1）把M（2，0）代入y＝x2+2bx，
得0＝4+4b，
解得b＝﹣1；
（2）∵y＝x2+2bx，
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点在y轴上，x＞0时y随x增大而增大，0＜m＜n不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，0＜m＜n不满足题意，
当b＜0时，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝2时m＜0，x＝5时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在2和5之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝1与直线x＝2.5之间，
即1＜t＜2.5．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握抛物线的对称性．
27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）直接写出∠ACE+∠BCD的度数；
（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段AE与CF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，知∠DCE＝90°，故∠ACE+∠BCD＝（∠ACB+∠BCE）+∠BCD＝∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）延长CF到G，使FG＝CF，连接DG，证明△BCF≌△DGF（SAS），有DG＝BC，∠BCF＝∠G，得DG∥BC，故∠GDC+∠BCD＝180°，由（2）知∠ACE+∠BCD＝180°，可得∠GDC＝∠ACE，根据AC＝BC，有DG＝AC，而将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，有CD＝CE，即可得△DCG≌△CEA（SAS），从而CG＝AE，故AE＝2CF．
【解答】解：（1）补全图形，如图：
（2）∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝（∠ACB+∠BCE）+∠BCD＝∠ACB+∠DCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴∠ACE+∠BCD的度数为180°；
（3）AE＝2CF，理由如下：
延长CF到G，使FG＝CF，连接DG，如图：
∵F为BD中点，
∴BF＝DF，
∵∠BFC＝∠DFG，CF＝FG，
∴△BCF≌△DGF（SAS），
∴DG＝BC，∠BCF＝∠G，
∴DG∥BC，
∴∠GDC+∠BCD＝180°，
由（2）知，∠ACE+∠BCD＝180°，
∴∠GDC＝∠ACE，
∵AC＝BC，
∴DG＝AC，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，
∴△DCG≌△CEA（SAS），
∴CG＝AE，
∵CG＝2CF，
∴AE＝2CF．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及平行线判定与性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是“倍长中线“，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，点A的坐标为（﹣1，0）．点B是⊙O上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线AB上，且AP＝2AB，则称点P是点A关于⊙O的2倍关联点．
（1）若点P是点A关于⊙O的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为
（3，0） ；
（2）直线l经过点A，与y轴交于点C，∠CAO＝30°，点D在直线l上，且点D是点A关于⊙O的2倍关联点，求D点的坐标；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）利用点P是点A关于⊙O的2倍关联点和点的坐标的特征解答即可；
（2）设直线l交⊙O于点B，过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，利用垂径定理和直角三角形的性质，勾股定理，点P是点A关于⊙O的2倍关联点的定义求得AD的长，再利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（3）利用点A关于⊙O的2倍关联点的定义得到：点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆（⊙C），利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当b＜0时，设⊙C与y轴交于点R，直线MN与⊙C相切于点F，连接CF，CR，利用圆的切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理求得符合条件的临界值即可；②当b＞0时，设⊙C与y轴交于点R，直线MN与⊙C相切于点F，连接CF，CR，利用同样的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵点P是点A关于⊙O的2倍关联点，且点P在x轴上，
∴点B也在x轴上，
∴B（1，0），
∴AB＝2，
∵AP＝2AB，
∴AP＝4，
∴OP＝3，
∴P（3，0）．
故答案为：（3，0）；
（2）设直线l交⊙O于点B，过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
∵OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
∵∠CAO＝30°，
∴OE＝OA＝．
∴AE＝＝，
∴AB＝2AE＝．
∵点D是点A关于⊙O的2倍关联点，
∴AD＝2AB＝2．
∵DF⊥x轴于点F，∠CAO＝30°，
∴DF＝AD＝，
∴AF＝＝3，
∴OF＝AF﹣OA＝3﹣1＝2，
∴D点的坐标（2，）．
利用轴对称的性质可知：点D关于x轴的对称点也符合题意，
∴D点的坐标（2，﹣）．
综上D点的坐标为（2，）或（2，﹣）．
（3）设⊙O与x轴交于点C，则AC为⊙O的直径，AC＝2，C（1，0），
设点B为⊙O上任意一点，连接AB并延长到点P，使点P为点A关于⊙O的2倍关联点，
∴AP＝2AB，
∴点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆（⊙C），
①当b＜0时，设⊙C与y轴交于点R，直线MN与⊙C相切于点F，连接CF，CR，如图，
则CF⊥MN．
∵直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
∴M（﹣b，0），N（0，b），
∴OM＝ON＝﹣b．
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴∠OMN＝∠ONM＝45°，
∴△CFM为等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝2，
∴OM＝OC+CM＝1+2，
∴﹣b＝1﹣2，
在Rt△OCR中，
OR＝＝，
∴R（0，﹣）．
∵线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，
∴点N应在（0，﹣）和（0，﹣1﹣2）之间，
∴﹣1﹣2≤b≤﹣．
②当b＞0时，设⊙C与y轴交于点R，直线MN与⊙C相切于点F，连接CF，CR，如图，
则CF⊥MN．
∵直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
∴M（﹣b，0），N（0，b），
∴OM＝ON＝b．
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴∠OMN＝∠ONM＝45°，
∴△CFM为等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝2，
∴OM＝CM﹣OC＝2﹣1，
∴b＝2﹣1，
∵线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，
∴点N应在（0，1）和（0，2﹣1）之间，
∴1＜b≤2﹣1．
综上，若线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，b的取值范围为﹣1﹣2≤b≤﹣或1＜b≤2﹣1．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的切线的性质定理，点的轨迹，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用分类讨论的思想方法简单是解题的关键．移植总数n
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
364
651
1330
3174
6324
8073
12620
成活的频率
0.910
0.868
0.887
0.907
0.903
0.897
0.901
x（米）
0
0.5
2.0
3.5
5
y（米）
1.67
2.25
3.0
2.25
0
移植总数n
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
364
651
1330
3174
6324
8073
12620
成活的频率
0.910
0.868
0.887
0.907
0.903
0.897
0.901
x（米）
0
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3.5
5
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1.67
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3.0
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