2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）点A（1，2）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
3．（2分）二次函数y＝x2+2的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A．y＝x2+3B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝x2+1D．y＝（x+1）2+2
4．（2分）如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系为（ ）
A．点C在⊙A外B．点C在⊙A内C．点C在⊙A上D．无法确定
5．（2分）若点M（0，5），N（2，5）在抛物线y＝2（x﹣m）2+3上，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
6．（2分）勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
7．（2分）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（ ）
A．2B．C．4D．
8．（2分）遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴的交点坐标为 ．
10．（2分）半径为3，圆心角120度的扇形面积为 ．
11．（2分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 ．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
13．（2分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则ab 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
14．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若⊙O的半径为，∠ACB＝45°，则OE＝ ．
15．（2分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围 ．
16．（2分）如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝2，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC平分∠BAD；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1：，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣2x＝6．
18．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（0，4），求该抛物线的解析式．
19．（5分）已知a为方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式（a+1）（a﹣1）+3a（a﹣2）的值．
20．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，＝．若∠A＝50°，求∠B的度数．
21．（6分）为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．
（1）小明抽到甲训练场的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的切线，A为切点．
求作：⊙O的另一条切线PB，B为切点．
作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点B；
作直线PB．
直线PB即为所求．
（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．
证明：连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
在△PAO与△PBO中，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
23．（5分）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）连接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的长．
25．（6分）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
（1）请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1过点（2，1）．
（1）求b（用含a的式子表示）；
（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），
①判断：（m﹣1）（n﹣1） 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．D是AB边上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E．
（1）用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；
（2）连接BE，延长BE至F，使EF＝BE．连接DC，CF，DF．
①依题意补全图形；
②判断△DCF的形状，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 ；
②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2分）点A（1，2）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．
【解答】解：点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是关键．
3．（2分）二次函数y＝x2+2的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A．y＝x2+3B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝x2+1D．y＝（x+1）2+2
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y＝x2+2，
∴将二次函数y＝x2+2的图象在平面直角坐标系中先向左平移1个单位长度所得函数解析式为：y＝（x+1）2+2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．（2分）如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系为（ ）
A．点C在⊙A外B．点C在⊙A内C．点C在⊙A上D．无法确定
【分析】根据正方形的性质得到AC＝AB＞AB，于是得到结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC＝AB＞AB，
∴点C在⊙A外，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正方形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
5．（2分）若点M（0，5），N（2，5）在抛物线y＝2（x﹣m）2+3上，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：因为点M（0，5），N（2，5）的纵坐标相同，都是5，
所以对称轴为直线x＝m＝＝1，
故m的值为1．
故选：B．
【点评】本题考查l了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
6．（2分）勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠AOB＝∠BOC＝∠COA，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心旋转的角度．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA，
∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，
∴将该勒洛三角形绕其中心O旋转360°÷3＝120°后能与自身重合．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点，进而判断出将它绕中心旋转的角度．
7．（2分）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】根据切线长定理得到AC＝AB，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴AC＝AB，
∵FD、FC为⊙O的切线，
∴FD＝FC，
同理，ED＝EB，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝4，
∴AC＝AB＝2，
∴BC＝AB＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
8．（2分）遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，
∴该赛车从F口驶出的概率为，
故选：B．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴的交点坐标为 （0，3） ．
【分析】将x＝0代入解析式求解．
【解答】解：将x＝0代入y＝x2﹣4x+3得y＝3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
10．（2分）半径为3，圆心角120度的扇形面积为 3π ．
【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．
【解答】解：S＝
＝
＝3π，
故答案为：3π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
11．（2分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 0.51 ．
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，
故答案为：0.51．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 m ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜，
故答案为：m．
【点评】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
13．（2分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则ab ＜ 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由图象可知：a＞0，﹣＞0，
∴b＜0，
∴ab＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型．
14．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若⊙O的半径为，∠ACB＝45°，则OE＝ 1 ．
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AO，BO，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴OE＝AE，
∵OA＝，
∴OE＝AE＝OA＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围 x≥ ．
【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．
【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点（1，3）和（2，3），
∴对称轴为x＝＝，
∴当x≥时，y随x的增大而减小，
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的对称轴，难度不大．
16．（2分）如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝2，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC平分∠BAD；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1：，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB延长线于M，CN⊥AD于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．
【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB延长线于M，CN⊥AD于N，
∵AB是圆内接正六边形的一边，
∴的度数＝×360°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴该圆的半径为2；
∵AC是圆内接正方形的一边，
∴的度数＝×360°＝90°，
∴的度数＝90°﹣60°＝30°，
∵AD是圆内接正三边形的一边，
∴的度数＝×360°＝120°，
∴的度数＝120°﹣90°＝30°，
∴＝，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴AC平分∠BAD；
的长＝＝＝π
∵＝，
∴OB⊥AD，
∴AD＝2AH，
∵sin∠AOH＝，
∴AH＝AO•sin60°＝r，
∴AD＝2AH＝r，
∵AC平分∠BAD，
∴CM＝CN，
∵S△ABC＝AB•CM＝r•CM，S△ACD＝AD•CN＝×r×CN，
∴S△ABC：S△ACD＝1；．
∴正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，弧长的计算，三角形的面积，关键是掌握圆内接正多边形的性质．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣2x＝6．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：x2﹣2x＝6，
x2﹣2x+1＝6+1，即 （x﹣1）2＝7，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．
18．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（0，4），求该抛物线的解析式．
【分析】将（0，4），（1，3）代入y＝2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（0，4），
∴，
解得，
所以，该二次函数的解析式为y＝2x2﹣3x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题的难点．
19．（5分）已知a为方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式（a+1）（a﹣1）+3a（a﹣2）的值．
【分析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．
【解答】解：原式＝a2﹣1+3a2﹣6a
＝4a2﹣6a﹣1，
∵a为方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣3a＝1，
∴原式＝2（2a2﹣3a）﹣1
＝2×1﹣1
＝2﹣1
＝1．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，＝．若∠A＝50°，求∠B的度数．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝25°，再利用AB为直径得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形两锐角互余计算∠B的度数．
【解答】解：如图，连接AC．
∵＝，∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了直角三角形的性质．
21．（6分）为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．
（1）小明抽到甲训练场的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明抽到甲训练场的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，
∴小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的切线，A为切点．
求作：⊙O的另一条切线PB，B为切点．
作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点B；
作直线PB．
直线PB即为所求．
（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．
证明：连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
在△PAO与△PBO中，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（ 经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）先根据切线的性质得∠PAO＝90°．再证明△PAO≌△PBO得到∠PAO＝∠PBO＝90°，然后根据切线的判定定理得到PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：如图，PB为所作；
（2）证明：连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
在△PAO与△PBO中，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理和切线的判定与性质．
23．（5分）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可求出r．
【解答】解：连接OB，OC⊥AB．若AB＝30mm，
∴BD＝AD＝AB＝15mm，
在Rt△BOD中，BD＝15mm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣5）mm，OB2＝BD2+OD2，
∴r2＝152+（r﹣5）2，
解得r＝25，
答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为25mm．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线，根据垂径定理构造出直角三角形是解决问题的关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）连接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的长．
【分析】（1）连接OC，由题意可证OC∥BD，进而证明BC平分∠ABD；
（2）连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，得矩形OCDG，可得OG＝CD＝3，由锐角三角函数的概念求出OB的长，然后由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DC是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥DC，
∵BD⊥DC，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，
得矩形OCDG，
∴OG＝CD＝3，
在Rt△OBG中，∠ABD＝60°，OG＝3，
∴sin60°＝，
∴OB＝＝2，
∴OC＝OB＝2，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：
OD＝＝＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．（6分）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
（1）请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
【分析】（1）建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a的值即可．
【解答】解：（1）以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系：
设抛物线解析式为y＝mx2，
∵抛物线过点（﹣5，﹣6.25），
∴25m＝﹣6.25，
解得m＝﹣0.25，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.25x2；
（2）能实现，
由（1）知抛物线解析式为y＝﹣0.25x2，
设“之”的坐标为（a，﹣y），
则“星”的坐标为（2a，﹣y﹣1.5），
∴﹣y＝﹣0.25a2，y﹣1.5＝﹣0.25×4a2，
∴﹣0.25a2﹣1.5＝﹣a2，
解得a＝±，
∵a＞0，
∴a＝，
∴能实现，a＝．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是建立适当坐标系求出抛物线解析式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1过点（2，1）．
（1）求b（用含a的式子表示）；
（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），
①判断：（m﹣1）（n﹣1） ＜ 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
【分析】（1）将（2，1）代入抛物线表达式得：1＝4a+2b+1，即可求解；
（2）①（m﹣1）（n﹣1）＝8a×（﹣a）＝﹣8a2＜0，即可求解；
②当a＞0时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当a＜0时，同理可解．
【解答】解：（1）将（2，1）代入抛物线表达式得：1＝4a+2b+1，
解得：b＝﹣2a；
（2）由（1）得，抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+1，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
将点M、N、P的坐标代入抛物线表达式得：
m＝4a+4a+1＝8a+1，n＝﹣a+1，p＝3a+1，
①（m﹣1）（n﹣1）＝8a×（﹣a）＝﹣8a2＜0，
故答案为：＜；
②当a＞0时，
由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，
即3a+1＞0且﹣a+1≤0，
解得：a≥1；
当a＜0时，
同理可得：点N、P在x轴上方，
即3a+1＞0且8a+1≤0，
解得：﹣＜a≤﹣；
综上，﹣＜a≤﹣或a≥1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．D是AB边上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E．
（1）用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；
（2）连接BE，延长BE至F，使EF＝BE．连接DC，CF，DF．
①依题意补全图形；
②判断△DCF的形状，并证明．
【分析】（1）结论：AD＝2AE．利用直角三角形30度角的性质证明即可；
（2）①根据要求作出图形即可；
②结论：△DFC是等边三角形．延长AE到R，使得ER＝AE，连接BR，RF，DR．证明△RFD≌△ACD（SAS），推出DF＝DC，∠RDF＝∠ADC，可得结论．
【解答】解：（1）结论：AD＝2AE．
理由：∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE；
（2）①图形如图所示：
②结论：△DFC是等边三角形．
理由：延长AE到R，使得ER＝AE，连接BR，RF，DR．
∵DE⊥AR．AE＝ER，
∴DR＝DA，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADR是等边三角形，
∴∠ADR＝∠DRA＝60°，
∵AE＝RE，∠AEB＝∠REF，EB＝EF，
∴△AEB≌△REF（SAS），
∴AB＝RF，∠EAB＝∠ERF＝60°，
∵AB＝AC，
∴RF＝AC，
∵∠DRF＝∠DAC＝120°，RD＝AD，
∴△RFD≌△ACD（SAS），
∴DF＝DC，∠RDF＝∠ADC，
∴∠FDC＝∠RDA＝60°，
∴△DFC是等边三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 P1，P3 ；
②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①分别求出P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0），直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0），直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0），再根据定义判断即可；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当y＝t与圆有交点时，直线y＝t上存在线段AB的融合点；
（2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部，圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当a＞0时，a的最大值为＝，最小值为﹣1＝﹣1，当a＜0时，a的最大值为﹣＝﹣，最小值为﹣﹣1＝﹣﹣1，由此可求a的取值范围为﹣1≤a≤或﹣﹣1≤a≤﹣．
【解答】解：（1）①∵P1（6，0），A（3，0），
∴P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0），
∴P1是线段AB的融合点；
∵P2（1，﹣2），B（5，0），
设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（a，0），
∴（a﹣1）2+4＝（5﹣a）2，
解得a＝，
∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0），
∴P2不是线段AB的融合点；
∵P3（3，2），B（5，0），
设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（b，0），
∴（b﹣3）2+4＝（5﹣b）2，
解得b＝3，
∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0），
∴P3是线段AB的融合点；
故答案为：P1，P3；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，
∵A（3，0），B（5，0），
∴AB＝2，
当y＝t与圆相切时，t＝2或t＝﹣2，
∴﹣2≤t≤2时，直线y＝t上存在线段AB的融合点；
（2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部，
∵A（a，0），B（a+1，0），
∴AB＝A'B'＝1，
∵⊙O上有A'B'的融合点，
∴圆O与圆A'、B'有交点，
∴圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域，
当a＞0时，a的最大值为＝，最小值为﹣1＝﹣1，
∴﹣1≤a≤；
当a＜0时，a的最大值为﹣＝﹣，最小值为﹣﹣1＝﹣﹣1，
∴﹣﹣1≤a≤﹣；
综上所述：a的取值范围为﹣1≤a≤或﹣﹣1≤a≤﹣．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键．投篮次数n
50
100
150
200
300
400
500
投中次数m
28
49
78
102
153
208
255
投中频率m/n
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
X
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
1
3
3
1
…
投篮次数n
50
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150
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28
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投中频率m/n
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0.51
0.52
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﹣1
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1
2
3
…
y
…
﹣3
1
3
3
1
…