2022-2023学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和等于180°
D．在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下
2．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．60°B．70°C．110°D．120°
3．（2分）如图，点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，则∠AOB的度数为（ ）
A．48°B．54°C．60°D．72°
4．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
5．（2分）把一副普通扑克牌中的5张洗匀后，正面向下放在桌子上，其中有1张“黑桃”，2张“梅花”和2张“红桃”，从中随机抽取一张，恰好是“梅花”的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈＝10尺，1尺＝10寸），若设门宽为x尺，则根据题意，列方程为（ ）
A．6.82+x2＝（x+6.8）2B．（x﹣6.8）2+x2＝102
C．（x+6.8）2+x2＝102D．（x+6.8）2+102＝x2
7．（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为0°，50°．则∠ACB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
8．（2分）下列关于次函数y＝2（x﹣4）2+k有如下说法：
①图象的开口向上；
②图象最低点到x轴的距离为k；
③图象的对称轴为直线x＝4；
④当x＜0时，y随x的增大而增大．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，请写出一个满足条件的二次函数的解析式 ．
10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC＝3，AE＝1，则弦CD的长度为 ．
11．（2分）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣2x+1上，那么x1+x2＝ ．
12．（2分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣1，1），B（2，4）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 ．
13．（2分）水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到85%以上，保证成苗率，现有A，B两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
下面有两个推断：
①当实验种子数量为500时，两种种子的发芽率均为0.96，所以A，B两种新水稻种子发芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子发芽的概率是0.97．
其中合理的是 ．
14．（2分）如图，圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，点C为的中点，则图中的阴影部分面积是 ．
15．（2分）如图所示，将一把刻度尺，含60°角的直角三角板和圆形卡片如图摆放，使三角板的一条直角边与刻度尺重合，圆形卡片与刻度尺和三角板分别都有唯一的公共点，测得圆形卡片与刻度尺的公共点A到三角板顶点B的距离AB＝2cm，则圆形卡片的半径为 cm．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，1），B（﹣1，1），若抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
18．（5分）已知m是方程x2+3x﹣5＝0的一个根，求代数式（m+1）2+m（m+4）的值．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求方程的根．
20．（5分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：射线CP，使得CP平分∠ACB．
作法：
①作AB的垂直平分线EF交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线EF的一个交点为P（点P与点C在AB的异侧）；
③作射线CP．
所以射线CP即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC．
∵直线EF为AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝AB．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，PO⊥AB于点O，
∴∠AOP＝∠BOP＝90°，
∴＝ ，
∴∠ACP＝∠BCP（ ）（填推理的依据）．
∴射线CP平分∠ACB．
21．（5分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E．若∠COD＝130°，求∠AEB的度数．
22．（5分）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，4），与y轴交于点（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象．
23．（6分）不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“大”、“兴”、“创”、“城”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为 ；
（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的概率．
24．（6分）如图，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，点C为的中点，过点A作MN⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．
25．（6分）抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点E到点A的距离AE＝x（单位：m），点E到桥拱顶面的竖直距离EF＝y（单位：m）．x，y近似满足函数关系y＝ax2+bx（a＜0）．通过取点，测量，得到x与y的几组对应值，如下表：
（1）桥拱顶面离水面AB的最大高度为 m；
（2）根据上述数据，求出满足的函数关系y＝ax2+bx和水面宽度AB的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，1），B（0，﹣3）都在抛物线y＝ax2+c（a≠0）上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线y＝ax2+c（a≠0），使得平移后抛物线的顶点为P（m，n）（m＞0），已知点C（x1，y1）在原抛物线上，点D（x2，y2）在平移后的抛物线上，且C，D两点都位于直线x＝m的右侧．当S△OPB＝3时，若对于x1＝x2，都有y1＞y2，求n的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AE⊥BC于点E，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，连接BD交AE于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AFD的度数；
（3）求证：DF＝AE．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
给出如下定义：P为⊙O上一点，过点P作直线y＝﹣x+b，交x轴于点Q，称点Q为点P的“关联点”．
（1）如图，A（1，0），B（0，1），若点P在上，且的长为π，则∠AOP＝ °，点P的“关联点”点Q的坐标是 ；
（2）求点P的“关联点”点Q的横坐标的最小值；
（3）若线段PQ的长为，直接写出这时点P的“关联点”点Q的横坐标的最大值和最小值．
2022-2023学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和等于180°
D．在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
B、在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，不符合题意；
D、在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．60°B．70°C．110°D．120°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠D＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．（2分）如图，点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，则∠AOB的度数为（ ）
A．48°B．54°C．60°D．72°
【分析】由正五边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正五边形的性质；熟记正五边形的中心角的计算方法是解题的关键．
4．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+2
＝x2﹣6x+9﹣9+2
＝（x﹣3）2﹣7，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
5．（2分）把一副普通扑克牌中的5张洗匀后，正面向下放在桌子上，其中有1张“黑桃”，2张“梅花”和2张“红桃”，从中随机抽取一张，恰好是“梅花”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：∵从5张纸牌中任意抽取一张牌有5种等可能结果，其中抽到“梅花”的只有2种结果，
∴抽到“梅花”的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．（2分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈＝10尺，1尺＝10寸），若设门宽为x尺，则根据题意，列方程为（ ）
A．6.82+x2＝（x+6.8）2B．（x﹣6.8）2+x2＝102
C．（x+6.8）2+x2＝102D．（x+6.8）2+102＝x2
【分析】设门宽为x尺，则门的高度为（x+6.8）尺，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设门宽为x尺，则门的高度为（x+6.8）尺，
依题意得：x2+（x+6.8）2＝102．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为0°，50°．则∠ACB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝50°﹣0°＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解决问题的关键．
8．（2分）下列关于次函数y＝2（x﹣4）2+k有如下说法：
①图象的开口向上；
②图象最低点到x轴的距离为k；
③图象的对称轴为直线x＝4；
④当x＜0时，y随x的增大而增大．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【分析】根据抛物线的性质即可判定开口方向、顶点坐标、对称轴、与y轴的交点坐标．
【解答】解：由y＝2（x﹣4）2+k可知，a＝2＞0，
所以开口向上，对称轴x＝4，顶点坐标（4，k），
所以图象最低点到x轴的距离为|k|，当x＜0时，y随x的增大而减小．
故正确的有①③，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的三种形式，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，请写出一个满足条件的二次函数的解析式 y＝x2﹣2x+1（答案不唯一） ．
【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＞0，﹣＝1，由此举例得出答案即可．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
∵图象的开口向上，
∴a＞0，可取a＝1，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，得b＝﹣2a＝﹣2，
∵c可取任意数，
∴函数解析式可以为：y＝x2﹣2x+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2﹣2x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．
10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC＝3，AE＝1，则弦CD的长度为 2 ．
【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，再求出OE的长，然后由勾股定理可求出CE的长，即可求解．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝3，AE＝1，
∴OA＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CE的长是解答此题的关键．
11．（2分）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣2x+1上，那么x1+x2＝ 2 ．
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到＝﹣，解得x1+x2＝4．
【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣2x+1上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，
∴x1+x2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
12．（2分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣1，1），B（2，4）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 x1＝﹣1，x2＝2 ．
【分析】直接根据一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的交点即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣1，1），B（2，4），
∴关于x的方程ax2＝kx+b的解为：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知直接根据题意得出方程的解是解题的关键．
13．（2分）水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到85%以上，保证成苗率，现有A，B两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
下面有两个推断：
①当实验种子数量为500时，两种种子的发芽率均为0.96，所以A，B两种新水稻种子发芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子发芽的概率是0.97．
其中合理的是 ② ．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【解答】解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为500，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故推断合理．
故答案为：②．
【点评】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．
14．（2分）如图，圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，点C为的中点，则图中的阴影部分面积是 ．
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠BOC＝60°，再根据扇形的面积公式求出扇形BOC的面积即可．
【解答】解：∵点C为的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∵OA＝1，
∴图中的阴影部分的面积是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算和圆心角、弧、弦之间的关系，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
15．（2分）如图所示，将一把刻度尺，含60°角的直角三角板和圆形卡片如图摆放，使三角板的一条直角边与刻度尺重合，圆形卡片与刻度尺和三角板分别都有唯一的公共点，测得圆形卡片与刻度尺的公共点A到三角板顶点B的距离AB＝2cm，则圆形卡片的半径为 2 cm．
【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠OAC＝∠OBC＝90°，根据四边形内角和定理求出∠AOB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
由题意得：CA、CB都与圆形卡片相切，∠ACB＝120°，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝2cm，即圆形卡片的半径为2cm，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，1），B（﹣1，1），若抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，则a的取值范围是 ≤a≤1 ．
【分析】分别把A、B点的坐标代入y＝ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【解答】解：把A（﹣3，1）代入y＝ax2得a＝；
把B（﹣1，1）代入y＝ax2得a＝1，
所以a的取值范围为≤a≤1．
故答案为：≤a≤1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（5分）已知m是方程x2+3x﹣5＝0的一个根，求代数式（m+1）2+m（m+4）的值．
【分析】由题意可知：m2+3m﹣5＝0，然后化简原式后代入即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m2+3m﹣5＝0，
即m2+3m＝5，
原式＝m2+2m+1+m2+4m
＝2m2+6m+1
＝2（m2+3m）+1
＝2×5+1
＝11．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算，本题属于基础题型．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知Δ＞0，列不等式求解可得；
（2）求出m的值，解方程即可解答．x2﹣x+m﹣1＝0
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+5＞0，
解得：m＜；
（2）∵m为正整数，
∴m＝1．
∴原方程为x2﹣x＝0，即x（x﹣1）＝0，
解这个方程得：x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系是解题的关键．
20．（5分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：射线CP，使得CP平分∠ACB．
作法：
①作AB的垂直平分线EF交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线EF的一个交点为P（点P与点C在AB的异侧）；
③作射线CP．
所以射线CP即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC．
∵直线EF为AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝AB．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，PO⊥AB于点O，
∴∠AOP＝∠BOP＝90°，
∴＝ ，
∴∠ACP＝∠BCP（ 在同圆中，等弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
∴射线CP平分∠ACB．
【分析】（1）根据题中步骤作图；
（2）根据题中步骤的因果关系填写．
【解答】解：（1）如图：
证明（2）：连接OC．
∵直线EF为AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝AB．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，PO⊥AB于点O，
∴∠AOP＝∠BOP＝90°，
∴＝，
∴∠ACP＝∠BCP（在同圆中，等弧所对的圆周角相等），
∴射线CP平分∠ACB，
故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查了作图，数形结合思想是解题的关键．
21．（5分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E．若∠COD＝130°，求∠AEB的度数．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝65°，再由AB＝AD得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AEB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC＝∠COD＝×130°＝65°，
∴∠AEB＝∠DAC+∠D＝65°+45°＝110°．
所以∠AEB的度数为110°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
22．（5分）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，4），与y轴交于点（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象．
【分析】（1）设出二次函数的顶点式y＝a（x﹣1）2+4，将点（0，3）代入解析式，求出a的值即可得到函数解析式；
（2）利用五点法画出函数的图象即可．
【解答】解：（1）设所求的二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把x＝0，y＝3代入上式，得：
3＝a（0﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴所求的二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵二次函数图象的顶点坐标是（1，4），与y轴交于点（0，3），
∴点（2，3）在抛物线上，
令y＝0，则﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
描点、连线画出函数图象如图：
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（6分）不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“大”、“兴”、“创”、“城”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为 ；
（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的有2种结果，
所以两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）如图，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，点C为的中点，过点A作MN⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据点C为的中点，推出∠BOC＝60°，即可推出∠OBC＝60°，从而推出结论；
（2）过点O作OE⊥BC于E，可得出四边形OADE是平行四边形，得出DE＝OA，由（1）可知，△BOC是等边三角形，得出CE＝，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵点C为的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝，
∴∠OBC＝60°，
∴∠OBC+∠BOA＝180°，
∴OA∥BD，
∵BD⊥MN，
∴OA⊥MN，
又∵OA是半径，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OE⊥BC于E，
∴OE∥MN，
又∵OA∥BD，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴DE＝OA＝4，
∵OB＝OC，
∴CE＝BE＝，
由（1）可知，△BOC是等边三角形，
∴CE＝，
∴CD＝DE﹣CE＝4﹣2＝2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
25．（6分）抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点E到点A的距离AE＝x（单位：m），点E到桥拱顶面的竖直距离EF＝y（单位：m）．x，y近似满足函数关系y＝ax2+bx（a＜0）．通过取点，测量，得到x与y的几组对应值，如下表：
（1）桥拱顶面离水面AB的最大高度为 2.25 m；
（2）根据上述数据，求出满足的函数关系y＝ax2+bx和水面宽度AB的长．
【分析】（1）根据表格数据可以桥拱顶面离水面AB的最大高度；
（2）用待定系数法求函数解析式即可，再令y＝0，解方程求出A，B坐标即可求出AB．
【解答】解：（1）由表格数据可知抛物线的顶点为（3，2.25），
∴桥拱顶面离水面AB的最大高度为2.25m，
故答案为：2.25；
（2）把（2，2），（3，2.25）代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.25x2+1.5x；
令y＝0，则﹣0.25x2+1.5x＝0，
解得x＝0或x＝6，
∴A（0，0），B（6，0），
∴AB＝6．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，1），B（0，﹣3）都在抛物线y＝ax2+c（a≠0）上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线y＝ax2+c（a≠0），使得平移后抛物线的顶点为P（m，n）（m＞0），已知点C（x1，y1）在原抛物线上，点D（x2，y2）在平移后的抛物线上，且C，D两点都位于直线x＝m的右侧．当S△OPB＝3时，若对于x1＝x2，都有y1＞y2，求n的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据三角形的面积求出m的值，根据题意可得x12﹣3＞（x2﹣2）2+n，则有x1＞，再由题意可知≤2，求出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，1），B（0，﹣3）代入y＝ax2+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣3；
（2）平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+n，
∵S△OPB＝3，
∴×3×|m|＝3，
解得m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∵x1＝x2，都有y1＞y2，
∴x12﹣3＞（x2﹣2）2+n，
∴x1＞，
∵x1＞2时，都有y1＞y2，
∴≤2，
解得n≤1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AE⊥BC于点E，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AD，连接BD交AE于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AFD的度数；
（3）求证：DF＝AE．
【分析】（1）依题意即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质即可求∠AFD的度数；
（3）过点A作AH⊥BD于点H，设BD与AC交于点G，根据等腰三角形的性质设AH＝x，则AB＝AD＝2x，BH＝DH＝x，然后利用线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）解：如图所示即为补全的图形；
（2）解：在△ABC中，AB＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣15°＝75°．
由作图可知：AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°+30°＝120°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠FBE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠AFD＝∠BFE＝45°；
（3）证明：如图，过点A作AH⊥BD于点H，设BD与AC交于点G，
∵∠BAC＝30°，∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝120°，
∵AC＝AD＝AB，
∴∠ABH＝∠D＝30°，
设AH＝x，
则AB＝AD＝2x，BH＝DH＝x，
∵∠AFH＝∠BFE＝45°，
∴AH＝FH＝x，
∴BF＝BH﹣FH＝x﹣x＝（﹣1）x，
∴BE＝EF＝BF＝（﹣1）x，
∵AF＝AH＝x，
∴AE＝AF+EF＝x+（﹣1）x，
∴AE＝[x+（﹣1）x]＝x+x，
∵DF＝DH+FH＝x+x，
∴DF＝AE．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
给出如下定义：P为⊙O上一点，过点P作直线y＝﹣x+b，交x轴于点Q，称点Q为点P的“关联点”．
（1）如图，A（1，0），B（0，1），若点P在上，且的长为π，则∠AOP＝ 45 °，点P的“关联点”点Q的坐标是 （，0） ；
（2）求点P的“关联点”点Q的横坐标的最小值；
（3）若线段PQ的长为，直接写出这时点P的“关联点”点Q的横坐标的最大值和最小值．
【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；
（2）当直线PQ与⊙O相切，P在第三象限时，点Q的横坐标取最小值；
（3）当P在第一象限时，Q的横坐标最大，过O作OH⊥PQ于H，用勾股定理列方程可解得Q的横坐标最大值，当P在第三象限时，Q的横坐标最小，过O作OH⊥PQ于H，同理可得Q的横坐标最小值．
【解答】解：（1）如图：
∵的长为π，
∴＝π，
解得n＝45°，
∴∠AOP＝45°，
∵直线PQ解析式为y＝﹣x+b，
∴∠PQO＝45°，
∴△POQ在等腰直角三角形，
∴OQ＝OP＝，
∴Q（，0），
故答案为：45，（，0）；
（2）当PQ与⊙O相切于第三象限的点P时，Q的横坐标最小，如图：
∵直线PQ解析式为y＝﹣x+b，
∴∠PQO＝45°，
∵PQ与⊙O相切，
∴∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OQ＝OP＝，
∴Q的横坐标最小值为﹣；
（3）当P在第一象限时，Q的横坐标最大，过O作OH⊥PQ于H，如图：
∵∠PQO＝45°，
∴△OHQ是等腰直角三角形，
∴OH＝QH，OQ＝OH，
设OH＝QH＝x，则OQ＝x，PH＝x﹣，
在Rt△OHP中，OH2+PH2＝OP2，
∴x2+（x﹣）2＝12，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴OQ＝x＝，
∴Q的横坐标最大值为；
当P在第三象限时，Q的横坐标最小，过O作OH⊥PQ于H，如图：
∵∠PQO＝45°，
∴△OHQ是等腰直角三角形，
∴OH＝QH，OQ＝OH，
设OH＝QH＝y，则OQ＝y，PH＝y﹣，
在Rt△OHP中，OH2+PH2＝OP2，
∴y2+（y﹣）2＝12，
解得y＝或y＝﹣（舍去），
∴OQ＝y＝，
∴Q的横坐标最小值为﹣，
答：点Q的横坐标的最大值为，最小值为﹣．
【点评】本题考查圆综合应用，涉及弧长公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．种子数量
100
500
1000
2000
3000
A
发芽率
0.97
0.96
0.98
0.97
0.97
B
发芽率
0.98
0.96
0.94
0.96
0.95
x（m）
0
1
2
3
4
y（m）
0
1.25
2
2.25
2
种子数量
100
500
1000
2000
3000
A
发芽率
0.97
0.96
0.98
0.97
0.97
B
发芽率
0.98
0.96
0.94
0.96
0.95
大
兴
创
城
大
（大，大）
（兴，大）
（创，大）
（城，大）
兴
（大，兴）
（兴，兴）
（创，兴）
（城，兴）
创
（大，创）
（兴，创）
（创，创）
（城，创）
城
（大，城）
（兴，城）
（创，城）
（城，城）
x（m）
0
1
2
3
4
y（m）
0
1.25
2
2.25
2