2022-2023学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知2x＝3y（x≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2BD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）抛物线y＝2x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x+1）2+3
4．（2分）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
5．（2分）如图，若点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2分）如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．3
7．（2分）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，弦AB＝10寸，则⊙O的半径为多少寸（ ）
A．5B．12C．13D．26
8．（2分）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数的自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）
11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果csA＝，AB＝6，那么AC的长为 ．
12．（2分）如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠ACB＝30°，弦AB＝5，那么⊙O的半径长为 ．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为 ．
15．（2分）青藏铁路是当今世界上海拔最高线路最长的高原铁路因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在250～360（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 小时．
16．（2分）张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案 （购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买 瓶．
三、解答题（本题共68分，第17、18、20-23、25题，每题5分；第19、24题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cs30°．
18．（5分）已知：如图，在△ABC中，D为AB边的中点，连接CD，∠ACD＝∠B，AB＝4，求AC的长．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围．
20．（5分）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线OA、OB；
②作∠AOB的平分线OD，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC＝∠BOC
∴ （ ）（填推理的依据）．
方法二：①连接AB；
②作线段AB的垂直平分线EF，直线EF与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵EF垂直平分弦AB
∴直线EF经过圆心O，
∴ （ ）（填推理的依据）．
21．（5分）某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段AB表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用1.5米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为65°，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为45°，其中，线段CE和DF均表示测角仪，然后测量出CD的距离为5.5米，连接EF并延长交AB于点G．根据这些数据，请计算旗杆AB的长约为多少米．（sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）
22．（5分）已知：一次函数y＝kx﹣2（h≠0），与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点P（0，n）（n＞0）过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段BC、AC与反比例函数图象上AB之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，DE⊥AB于点E，若BD＝5，csB＝，求AC的长．
24．（6分）如图，已知锐角∠ABC，以AB为直径画⊙O，交BC边于点M，BD平分∠ABC与⊙O交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交BD于点F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF长．
25．（5分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
（1）求出满足条件的函数关系式；
（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（m≠0），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当抛物线过点（﹣2，0）时，求t的值；
（2）若点（﹣2，m）和（1，n）在抛物线上，若m＞n，且amn＞0，求t的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC中，D为AC边中点，E为BC延长线上一点，连接ED并延长，使DF＝ED，连接BF．
（1）依题意补全图形；
（2）连接BD，若CE2+BF2＝AB2，猜想BD与DE的数量关系，并证明．
28．（7分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，
（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是 ；
（2）⊙O的圆心O（﹣，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；
（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．
2022-2023学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）已知2x＝3y（x≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决．
【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是等式的性质：
等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；
等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等．
2．（2分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2BD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出＝，进而得出的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝2DB，
∴＝＝．
则的值为．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2分）抛物线y＝2x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x+1）2+3
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（1，﹣3），
所以，所得图象的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
4．（2分）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．在Rt△ABD中，根据正弦函数的定义即可得答案．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．
在Rt△ABD中，
∵BD＝4，AD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，解题关键是构造以∠B为锐角的直角三角形．
5．（2分）如图，若点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB＝|k|，便可求得结果．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝1，
∴S△CAB＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．（2分）如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．3
【分析】先证明△EDF∽△BCF，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵E为AD的中点，
∴DE＝．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，AD＝BC．
∴△EDF∽△BCF，DE＝．
∴，即．
∴S△BCF＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解是解题的关键．
7．（2分）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，弦AB＝10寸，则⊙O的半径为多少寸（ ）
A．5B．12C．13D．26
【分析】根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可将圆的半径求出，进而可求出直径CD的长．
【解答】解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，
∴AE＝5，OE＝OA﹣1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，
即：OA2＝（OA﹣1）2+52，
解得：OA＝13．
故选：C．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法．
8．（2分）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【分析】根据“I与撞击时的速度v的平方之比是常数2”列出函数解析式，即可判断．
【解答】解：I是v的二次函数，
根据题意得＝2，即I＝2v2，
∴I是v的二次函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列函数解析式及函数的概念，根据题意列出函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数的自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（2分）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 2π ．（结果保留π）
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
【解答】解：根据弧长的公式l＝，
得到：l＝＝2π，
故答案是：2π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果csA＝，AB＝6，那么AC的长为 4 ．
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴csA＝＝，
∵AB＝6，
∴AC＝AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握余弦函数的定义csA＝∠A的邻边与斜边的比是解题的关键．
12．（2分）如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠ACB＝30°，弦AB＝5，那么⊙O的半径长为 5 ．
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB＝60°，从而可得△AOB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝5，
∴⊙O的半径长为5，
故选：5．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【分析】抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣3，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
14．（2分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为 2 ．
【分析】根据射影定理得到AD2＝CD•BD，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，
∴AD2＝CD•BD＝4，
∴AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
15．（2分）青藏铁路是当今世界上海拔最高线路最长的高原铁路因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在250～360（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 2.2 小时．
【分析】设反比例函数的解析式为t＝，把（300，6）代入t＝得，得到反比例函数的解析式为t＝，把v＝250和v＝360分别代入t＝，即可得到结论．
【解答】解：设反比例函数的解析式为t＝，
把（300，6）代入t＝得，S＝300×6＝1800，
∴反比例函数的解析式为t＝，
当v＝250时，t＝＝7.2（小时），
当v＝360时，t＝＝5（小时），
∴列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差7.02﹣5＝2.02小时．
故答案为：2.2．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
16．（2分）张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案 5A+7C+7D+E （购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买 5 瓶．
【分析】组合A是最便宜的，所以尽量多的买A组合，砚台2人一方，所以A组合最多买6件即可，但是如果A组合买6件，则剩余的钱不够买6个人的笔和本，所以A组合最多买5件，这样砚台差一个，所以加买一个砚台；补全笔和本的数量即可．
【解答】解：因为合A是最便宜的，所以尽量多的买A组合；
因为砚台2人一方，所以A组合最多买12÷2＝6件即可；
但是如果A组合买6件，则剩余的钱200﹣25×6＝50（元），买6个人的笔和本需 6×9＝54（元），所以A组合最多买5件；
这样砚台差一个，所以加买一个砚台10元，
这样剩余的钱为：200﹣5×25﹣10＝65（元）；
因为A是5件，还差7个人的笔和本7×9＝63（元），
墨汁n＝5，
故答案为：5A+E+7C+7D；
5．
【点评】本题考查的是正负数，解题的关键是确定A组合的数量．
三、解答题（本题共68分，第17、18、20-23、25题，每题5分；第19、24题，每题6分；第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cs30°．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：|﹣|+（）﹣1﹣+2cs30°
＝+5﹣3+2×
＝+5﹣3+
＝5﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（5分）已知：如图，在△ABC中，D为AB边的中点，连接CD，∠ACD＝∠B，AB＝4，求AC的长．
【分析】由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，根据有两角对应相等的三角形相似，可证得△ACD∽△ABC，又由D为AB边的中点得BD＝2，AB＝4，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长．
【解答】解：在△ACD和△ABC中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵D为AB边的中点，AB＝4，
∴AD＝2，
∴AC2＝AD•AB＝2×4＝8，
∴AC＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围．
【分析】（1）用配方法即可求解；
（2）当y＝0时，即﹣x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，x＝0时求得y＝﹣3即可求解；
（3）由（1）（2）利用五点法画二次函数简图；
（4）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴该二次函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1，
∴该二次函数图象与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
由五点法画函数简图，如图所示
（4）由函数图象可得：y＜0时，x的取值范围﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，正确记忆函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题关键．
20．（5分）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线OA、OB；
②作∠AOB的平分线OD，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC＝∠BOC
∴ ＝ （ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 ）（填推理的依据）．
方法二：①连接AB；
②作线段AB的垂直平分线EF，直线EF与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵EF垂直平分弦AB
∴直线EF经过圆心O，
∴ ＝ （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所的弧 ）（填推理的依据）．
【分析】方法一：根据几何语言画出几何图形，然后根据圆心角、弦、弧的关系解决问题；
方法二：根据几何语言画出几何图形，然后根据垂径定理解决问题．
【解答】证明：方法一：如图1，
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC＝∠BOC
∴＝（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）；
方法二：如图2，
∵EF垂直平分弦AB，
∴直线EF经过圆心O，
∴＝（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所的弧）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直定理、线段垂直平分线的性质和圆心角、弧、弦的关系．
21．（5分）某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段AB表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用1.5米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为65°，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为45°，其中，线段CE和DF均表示测角仪，然后测量出CD的距离为5.5米，连接EF并延长交AB于点G．根据这些数据，请计算旗杆AB的长约为多少米．（sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出设GE＝xm，则tan65°＝≈2.1，故AG＝2.1xm，进而得出x的值，求出答案．
【解答】解：由题意可得：DC＝EF＝5.5m，AG＝EC＝DF＝1.5m，
∠BFG＝45°，∠BEG＝65°，
设GE＝xm，则tan65°＝≈2.1，
故AG＝2.1xm，
则tan45°＝＝＝1，
解得：x＝5，
故AG＝2.1x＝10.5（m），
则AB＝10.5+1.5＝12（m），
答：AB的长约为12米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
22．（5分）已知：一次函数y＝kx﹣2（h≠0），与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点P（0，n）（n＞0）过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段BC、AC与反比例函数图象上AB之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2（h≠0），与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，4），
∴4＝2k﹣2，4＝，
∴k＝3，m＝8，
∴一次函数和反比例函数的表达式为y＝3x﹣2，y＝（x＞0）；
（2）如图，当1≤n＜2时，有3个整点：（2，2），（2，3），（3，2）；
当7＜n≤8时，有3个整点：（2，5），（2，6），（3，7），
综上，若线段BC、AC与反比例函数图象上AB之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，n的取值范围是1≤n＜2或7＜n≤8．
【点评】本题考查的是一次函数图象与反比例函数图象交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，DE⊥AB于点E，若BD＝5，csB＝，求AC的长．
【分析】根据三角函数求出BE的长，根据勾股定理求出DE的长，从而得到CD的长，再根据三角函数求出AB的长，再根据勾股定理求出AC的长．
【解答】解：在Rt△BDE中，
＝csB＝，
∵BD＝5，
∴BE＝4，
∴DE＝＝＝3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝3，
∴BC＝5+3＝8，
∵csB＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6．
【点评】本题考查了勾股定理和角平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（6分）如图，已知锐角∠ABC，以AB为直径画⊙O，交BC边于点M，BD平分∠ABC与⊙O交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交BD于点F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF长．
【分析】（1）连接OD，根据OD＝OB得到∠ODB＝∠OBD，再根据角平分线的性质得∠OBD＝∠DBE，以此得到OD∥BE，从而即可证明；
（2）连接AD，OD，可得∠ADB＝90°，根据∠ABC＝60°得到AD＝2，再根据勾股定理即可以此求出BD＝，BE＝3，由（1）知，OD∥BE，则△DFO∽△BFE，根据相似三角形的性质得到，即，最后由即可求出DF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBE，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，OD＝OB＝2，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，＝，
∴DE＝，
在Rt△DEB中，＝3，
∵OD∥BE，
∴△DFO∽△BFE，
∴，即，
∵，
∴DF+，
解得：DF＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，解含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键．
25．（5分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
（1）求出满足条件的函数关系式；
（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（m≠0），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
【分析】（1）根据表中数据可以得出h＝3，k＝4，再把（1，3）代入解析式求出a即可；
（2）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接得出函数图象，再根据对称性找到y＝1.75时x的值，以及y＝0时，x的值，从而得出m的取值范围．
【解答】解：（1）由表中数据可知，h＝3，k＝4，
∴y与x的函数关系y＝a（x﹣3）2+4，
把（1，3）代入解析式得：3＝a（1﹣3）2+4，
解得a＝﹣，
∴y与x的函数关系y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴和（0，1.75）对称的点为（6，1.75），
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+4＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝7，
∴小明被水枪淋到m的取值范围为6≤m≤7．
【点评】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当抛物线过点（﹣2，0）时，求t的值；
（2）若点（﹣2，m）和（1，n）在抛物线上，若m＞n，且amn＞0，求t的取值范围．
【分析】（1）把点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx求得b＝﹣2a，即可根据对称轴公式求得答案；
（2）根据m＞n，amn＞0，分两种情况讨论可得t的取值范围．
【解答】解：（1）当抛物线过点（﹣2，0）时，则4a﹣2b＝0，
∴b＝2a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴t＝﹣1；
（2）当a＞0时，点（﹣2，m）和（1，n）在抛物线上，
∵抛物线过原点，m＞n，amn＞0，
∴m＞n＞0，
∴﹣＜t＜；
当a＜0时，点（﹣2，m）和（1，n）在抛物线上，
∵抛物线过原点，m＞n，amn＞0，
∴m＞0＞n，
∴t＜﹣1．
综上，t的取值范围是﹣＜t＜或t＜﹣1．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
27．（7分）如图，△ABC中，D为AC边中点，E为BC延长线上一点，连接ED并延长，使DF＝ED，连接BF．
（1）依题意补全图形；
（2）连接BD，若CE2+BF2＝AB2，猜想BD与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接AF，如图，先证明∴ADF≌△CDE得到AF＝CE，∠AFD＝∠E，则可判断AF∥CE，由于CE2+BF2＝AB2，所以AF2+BF2＝AB2，则利用勾股定理的逆定理证明△ABF为直角三角形，所以∠CBE＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到BE＝DE．
【解答】解：（1）如图，
（2）BD＝DE．
理由如下：
连接AF，如图，
∵D为AC边中点，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，∠AFD＝∠E，
∴AF∥CE，
∵CE2+BF2＝AB2，
∴AF2+BF2＝AB2，
∴△ABF为直角三角形，∠AFB＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∵D为EF的中点，
∴BD＝EF，
∴BE＝DE．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
28．（7分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，
（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是 P1，P3 ；
（2）⊙O的圆心O（﹣，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；
（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．
【分析】（1）分别求出所给的点关于y轴的对称点，再结合矩形进行判断即可；
（2）当圆上的点（﹣5，1）关于直线x＝t的对称点（2t+5，1）在AD上时，t＝﹣2，当圆上的点（﹣2，1）关于直线x＝t的对称点（2t+2，1）在BC上时，t＝1，则﹣2≤t≤1时，⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
（3）当圆O关于直线x＝t的对称圆O'与BC相切，同时圆O'经过A、D两点时，此时不存在4个交点；当圆心O'在AD边上时，O'（1，1），此时t＝m+，圆O'与矩形有两个交点，当圆心O'（2，1），此时t＝m+1，圆O'与矩形有三个交点，则m+＜t＜m+1时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；当圆心O'（3，1），此时t＝m+，圆O'与矩形有三个交点，当圆心O'（4，1），此时t＝m+2，圆O'与矩形有两个交点，则m+＜t＜m+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点．
【解答】解：（1）点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点分别为点（1，2）、（2，1）、（4，1），（3，﹣1），
∴P1（﹣1，2）的对称点与D点重合，P3（﹣4，1）的对称点在BC边上，
∴关联点是P1，P3，
故答案为：P1，P3；
（2）当圆上的点（﹣5，1）关于直线x＝t的对称点（2t+5，1）在AD上时，
∴2t+5＝1，解得t＝﹣2，
当圆上的点（﹣2，1）关于直线x＝t的对称点（2t+2，1）在BC上时，
∴2t+2＝4，解得t＝1，
∴﹣2≤t≤1时，⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
（3）∵AD＝2，
∴r最小值为1，
∴r≥1，
当圆O关于直线x＝t的对称圆O'与BC相切，同时圆O'经过A、D两点时，
过点O'作MN⊥AD，交于M，交BC于点N，连接O'D，
在Rt△MDO'中，MO'＝3﹣r，DO'＝r，DM＝1，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得r＝，
∴r≥1且r≠，
当r＝1时，当圆心O'在AD边上时，O'（1，1），此时t＝m+，圆O'与矩形有两个交点，
当圆心O'（2，1），此时t＝m+1，圆O'与矩形有三个交点，
∴m+＜t＜m+1时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
当圆心O'（3，1），此时t＝m+，圆O'与矩形有三个交点，
当圆心O'（4，1），此时t＝m+2，圆O'与矩形有两个交点，
∴m+＜t＜m+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
综上所述：m+＜t＜m+1或m+＜t＜m+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线的位置关系，弄清定义，将所求问题转化为已知圆关于直线x＝t对称的圆与矩形的交点问题是解题的关键．商品
价格
组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）
25元
组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）
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C：1支笔
5元
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4元
E：一方砚台
10元
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12元
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