2023-2024学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（ ）
A．1B．C．D．
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）关于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣1
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+4）2﹣1B．y＝3（x+4）2+1
C．y＝3（x﹣4）2﹣1D．y＝3（x﹣4）2+1
6．（2分）若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．πC．D．
7．（2分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．2C．2D．4
8．（2分）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个根为1，则m的值为 ．
11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（2，y1），（4，y2）在抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4上，则y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
12．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AD的延长线上，若∠CDE＝80°，则∠ABC的度数是 °．
13．（2分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为 ．
14．（2分）写出一个过点（0，1）且当自变量x＞0时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式 ．
15．（2分）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程．
17．（5分）解方程：x2+8x＝9．
18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣1）2+a（a﹣2）的值．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数值时，求方程的根．
20．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
22．（6分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神，某校对八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100）．
a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100．
b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，92，93，93，94．
c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数；
（2）若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 ；
（3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，随机选取一名担任宣讲员，另一名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，2）和B（1，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于5，直接写出n的值．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作直线CE交OD延长线于点E，使得∠E＝∠B．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝6，，求OD的长．
25．（6分）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．
（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为 m．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当m＝c时，求t的值；
（2）点（﹣1，y1），（3，y2）在抛物线上，若c＜m，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BA的延长线上一点，连接PC，以P为中心，将线段PC顺时针旋转90°得到线段PD，连接BD．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ACP＝∠DPB；
（3）用等式表示线段BC，BP，BD之间的数量关系，并证明．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，t），N（0，t+2），对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：若∠MPN＝30°，则称点P为线段MN的“亲近点”．
（1）当t＝0时，
①在点，B（3，2），，D（﹣1，﹣3）中，线段MN的“亲近点”的是 ；
②点P在直线y＝1上，若点P为线段MN的“亲近点”，则点P的坐标为 ；
（2）若直线上总存在线段MN的“亲近点”，则t的取值范围是 ．
2023-2024学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】直接根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵从“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛随机选择一个专题论坛有4种情况，选中“电动航空”的只有一种情况，
∴选中“电动航空”的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念依次判定即可．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
B．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）关于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．
4．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣1
【分析】抛物线y＝a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是直线x＝h．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+1，
对称轴是直线x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，题目是以二次函数顶点式的形式给出，可以根据二次函数的性质直接写出对称轴．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+4）2﹣1B．y＝3（x+4）2+1
C．y＝3（x﹣4）2﹣1D．y＝3（x﹣4）2+1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是y＝3（x﹣4）2+1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（2分）若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．πC．D．
【分析】根据扇形的弧长公式直接计算即可．
【解答】解：根据题意得l＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解决问题的关键．
7．（2分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2B．2C．2D．4
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．（2分）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：①当点B，O，P三点在同一条直线上时，BP为⊙O的直径，
∴∠PAB＝90°，故正确，符合题意；
②∵OP垂直于AB，OA＝OB，
∴∠OAP＝∠OBP；故正确，符合题意；
③如图，当点P在优弧APB上时，
∠APB＝∠AOB，
当点P在劣弧AB上时，
∠AP′B＝180°﹣∠APB＝180°﹣AOB，
∵∠APB与∠AP′B不一定相等，
∴∠APB的大小会变化，故③错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 a≠3 ．
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵方程（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣3≠0，
解得a≠3．
故答案为：a≠3．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个根为1，则m的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，
∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，
∴1﹣3+m＝0，
解得，m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（2，y1），（4，y2）在抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4上，则y1 ＝ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】把x的值代入二次函数解析式，求出对应的y值再比较即可．
【解答】解：∵点（2，y1），（4，y2）在抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4上，
∴y1＝2×（2﹣3）2﹣4＝﹣2；y2＝2×（4﹣3）2﹣4＝﹣2，
∴y1＝y2；
故答案为：＝．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把x的值代入二次函数解析式，求出对应的y值．
12．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AD的延长线上，若∠CDE＝80°，则∠ABC的度数是 80 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质、邻补角的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（2分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为 16 ．
【分析】先设BD＝x，根据切线长定理即可表示出BE，EC，CF，AF的长，进而求出周长．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
设BD＝x，则BE＝x，CE＝CF＝6﹣x，AD＝AF＝2，
∴△ABC的周长为AD+AF+BD+BE+EC+CF＝（2+x+6﹣x）×2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题关键．
14．（2分）写出一个过点（0，1）且当自变量x＞0时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式 y＝x2+1 ．
【分析】设解析式为：y＝x2+b，根据该函数的增减性确定其与x轴交点的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴设解析式为：y＝x2+b，
∵函数过点（0，1），
∴b＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+1，
故答案为：y＝x2+1．
【点评】此题是一道开放性题，主要考查二次函数的基本性质，函数的增减性及用待定系数法来确定函数的解析式．
15．（2分）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 1200（1+x）2＝1452 ．
【分析】利用该款吉祥物8月份的销售量＝该款吉祥物6月份的销售量×（1+该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：1200（1+x）2＝1452．
故答案为：1200（1+x）2＝1452．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】根据题意解方程组得到2a+b＝0，故①错误，不符合题意；根据已知条件得到直线x＝﹣＝1，于是得到当x＝1时，y有最大值，求得a+b+c＞1，故②正确，符合题意；根据m＜1，c＝1，得到直线y＝m在直线y＝1的下面，于是得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根，故③正确．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．
∴，
解得2a+b＝0，故①错误，不符合题意；
∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∴直线x＝﹣＝1，
∴当x＝1时，y有最大值，
∴y＝a+b+c＞c，
即a+b+c＞1，故②正确，符合题意；
∵m＜1，c＝1，
∴直线y＝m在直线y＝1的下面，
∵当y＝1时，x＝0，
∴直线y＝m于抛物线y＝ax2+bx+c的交点的在y轴的两侧，
故关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根，故③正确，
故答案为：②③．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象性质是解题关键．
三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程．
17．（5分）解方程：x2+8x＝9．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2+8x＝9，
x2+8x﹣9＝0，
（x+9）（x﹣1）＝0，
x+9＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣9，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣1）2+a（a﹣2）的值．
【分析】由a是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的一个根，可得a2﹣2a＝1，把（a﹣1）2+a（a﹣2）化简变形再代入即可求得答案．
【解答】解：∵a是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的一个根，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴（a﹣1）2+a（a﹣2）
＝a2﹣2a+1+a2﹣2a
＝2a2﹣4a+1，
＝2（a2﹣2a）+1
＝2×1+1
＝3．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数值时，求方程的根．
【分析】（1）根据根与系数的关系列不等式即可得到结论；
（2）根据题意解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（2m﹣2）
＝1﹣8m+8
＝9﹣8m，
∴9﹣8m≥0，
∴解得；
（2）∵，m为最大整数，
∴m＝1，
∴x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．
20．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法把（1，0），（0，﹣3）代入二次函数y＝x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式；
（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过点（1，0），（0，﹣3），
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3
＝（x+1）﹣﹣4
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
【分析】连接AO，BO，由圆周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
在Rt△AOB中，
OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，
∴2OA2＝4，
OA2＝2，
∴OA＝ （舍负），
∴⊙O的半径是 ．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，解决问题的关键是由圆周角定理求得∠AOB＝90°．
22．（6分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神，某校对八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100）．
a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100．
b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，92，93，93，94．
c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数；
（2）若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 240人 ；
（3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，随机选取一名担任宣讲员，另一名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率．
【分析】（1）根据众数中位数的定义可得m，n的值．用20分别减去A，B，C组的成绩，可得九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数．
（2）根据用样本估计总体，用400乘以样本中C组和D组的百分比之和，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时被选上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由八年级20名学生的成绩可知，众数为95，
∴m＝95．
∵九年级A，B两组的人数共有20×（10%+30%）＝8（人），
∴将九年级20名学生的成绩按从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为90，91，
∴n＝＝90.5．
九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数为20﹣8﹣8＝4（人）．
（2）400×（1﹣10%﹣30%）＝240（人），
∴估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数大约为240人．
故答案为：240人．
（3）设D组的另外两名同学为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选上的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选上的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解题的关键是理解题意，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，2）和B（1，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于5，直接写出n的值．
【分析】（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可．
（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（2，5）时满足题意，代入（2，5）求出n的值即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，2）和 B（1，4）代入y＝kx+b（k≠0）中，得，
解得，
∴该函数的解析式为 y＝x+3；
（2）由（1）知：当x＝2时，y＝x+3＝5，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于5，
∴当y＝x+n过点（2，5）时满足题意，
代入（2，5）得：5＝+n，
解得：n＝4．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作直线CE交OD延长线于点E，使得∠E＝∠B．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝6，，求OD的长．
【分析】（1）连接OC，可得∠OCB＝∠B＝∠E，由OD⊥BC可得，∠E+∠ECD＝90°，进一步得到∠OCB+∠ECD＝90°，即∠ECO＝90°，从而得证；
（2）由勾股定理求出CD＝3，证明△ABC≌△CED（ASA）．由全等三角形的性质得出AC＝CD＝3．则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB．
∵∠E＝∠B，
∴∠E＝∠OCB，
∵OD⊥BC，
∴∠E+∠DCE＝90°．
∴∠OCB+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
即OC⊥CE．
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
在Rt△CDE 中，DE＝6，，
∴．
∵OE⊥BC，
∴BC＝2CD＝6．
∴DE＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝∠ACB．
在△ABC与△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（ASA）．
∴AC＝CD＝3．
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理与全等三角形判定与性质，掌握切线的判定定理与全等三角形性质定理是解题的关键．
25．（6分）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．
（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为 2.7 m．
【分析】（1）依据题意，设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），由A点坐标为（0，1.25），B点坐标为（2.5，0），进而求得a，k后得解，再令x＝1，从而求出水流喷出的最大高度；
（2）依据题意，设抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+m，结合此时A为（0，1.89），求出m，从而得抛物线解析式，再令y＝0，即可得解．
【解答】解：（1）由题意，A点坐标为（0，1.25），B点坐标为（2.5，0）．
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），
∵抛物线经过点A，点B，
∴．
∴．
∴y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5 ）．
∴x＝1时，y＝2.25．
∴水流喷出的最大高度为2.25 m．
（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，
∴可设抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+m．
又此时A为（0，1.89），
∴1.89＝﹣1+m．
∴m＝2.89．
∴抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2.89．
令y＝0，
∴x＝2.7或x＝﹣0.7（x＜0，不合题意）．
∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为2.7 m．
故答案为：2.7．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当m＝c时，求t的值；
（2）点（﹣1，y1），（3，y2）在抛物线上，若c＜m，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据点（2，m）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上和m＝c求得b＝﹣2a，再根据抛物线的对称轴为直线x＝t可得答案；
（2）根据点（2，m）在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上，结合m＜c，可得2a+b＞0，把点（﹣1，y1），（3，y2）的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用差值法即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得m＝4a+2b+c，
又∵m＝c，
∴4a+2b＝0，
∴b＝﹣2a，
∴t＝﹣＝﹣＝1；
（2）根据题意得m＝4a+2b+c，
∵c＜m，
∴m﹣c＞0，
∴m﹣c＝4a+2b＞0，
∴2a+b＞0，
∵点（﹣1，y1），（3，y2）在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上，
∴y1＝a﹣b+c，y2＝9a+3b+c，
∴y2﹣y1＝（9a+3b+c）﹣（a﹣b+c）＝8a+4b＝4（2a+b），
∵2a+b＞0，
∴4（2a+b）＞0，
∴y2﹣y1＞0．
∴y2＞y1．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线对称轴对称公式是解题关键．
27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BA的延长线上一点，连接PC，以P为中心，将线段PC顺时针旋转90°得到线段PD，连接BD．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ACP＝∠DPB；
（3）用等式表示线段BC，BP，BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）由余角的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△PBD≌△PEC，可得BD＝EC，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：补全图形如图所示；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ACP+∠APC＝90°，
∵以P为中心，将线段PC顺时针旋转 90° 得到线段PD，
∴∠DPC＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
∴∠ACP＝∠DPB；
（3）解：线段BC，BP，BD之间的数量关系是，
理由如下：过点P作 PE⊥PB交BC的延长线于点E．
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∵∠DPC＝90°，
∠1+∠BPC＝∠2+∠BPC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BPE＝90°，
∴∠PBE＝∠PEB＝45°，
∴PB＝PE，
在△PBD 与△PEC 中，
，
∴△PBD≌△PEC（SAS）．
∴BD＝EC，
∵，
∴．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，t），N（0，t+2），对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：若∠MPN＝30°，则称点P为线段MN的“亲近点”．
（1）当t＝0时，
①在点，B（3，2），，D（﹣1，﹣3）中，线段MN的“亲近点”的是 A、C ；
②点P在直线y＝1上，若点P为线段MN的“亲近点”，则点P的坐标为 （2+，1）或（﹣2﹣，1） ；
（2）若直线上总存在线段MN的“亲近点”，则t的取值范围是 ﹣11≤t≤3 ．
【分析】（1）①A、C是线段AB的“海安点”，只要证明∠MAN＝30°，∠MCN＝30°即可；
②根据点P在直线y＝1上画图，作△MPN的外接圆C，连接MC，NC，可知MN＝2，⊙C的半径为2，最后计算PD的长可得点P的坐标；
（2）当△MNP的外接圆与直线y＝﹣x﹣3相切时，直线上开始存在线段MN的“亲近点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1中，线段MN的“亲近点”是A、C．
当t＝0时，点M（0，0），N（0，2），
由点A（2，0），B（3，2），C（﹣2，2），D（﹣1，﹣3）中，
在△MAN中，MA＝2，MN＝2，∠AMN＝90°，
∴AN＝＝＝4，
∴AN＝2MN，
∴∠MAN＝30°，故A是线段MN的“亲近点”，
∵C（﹣2，2），N（0，2），
∴CN⊥MN，
在△MCN中，MC＝2，MN＝2，∠CMN＝90°，
∴CM＝＝＝4，
∴CM＝2MN，
∴∠MCN＝30°，故C是线段MN的“亲近点”，
故答案为：A、C．
②如图2，作△MPN的外接圆C，连接MC，NC，
∵点M（0，t），N（0，t+2），
∴MN＝2，
∵∠MPN＝30°，
∴∠MCN＝60°，
∵MC＝NC，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC＝NC＝MN＝2，
∴PC＝2，
∵点P在直线y＝1上，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∵CD⊥MN，
∴CD＝，
∴PD＝2+，
∴P（2+，1），
同理得P（﹣2﹣，1），
故答案为：（2+，1）或（﹣2﹣，1）；
（2）如图3，作△MPN的外接圆C，过C点作EF⊥y轴于点E，交直线y＝﹣x﹣3于点F，
∵A（t，0），B（6+t，0），
∴MN＝2，
∵CM＝CN，∠MCN＝60°，
∴ME＝NE＝1，CE＝，
∴C（﹣，t+1），
设直线y＝﹣x﹣3与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（﹣，0），B（0，﹣3），
∴AB＝＝＝2，
∴AB＝2OA，
∴∠ABO＝30°，
∴BE＝t+1+3＝t+4，
∴EF＝，
F（﹣，t+1），
∴CF＝﹣+，
当CP⊥AB时，CP＝2，
∵∠PCF+∠PFC＝90°，∠PFC+∠ABO＝90°，
∴∠PCF＝∠ABO＝30°，
∴PF＝，CF＝，
∴﹣+＝，解得t＝3，
如图4，作△MPN的外接圆C，过C点作EF⊥y轴于点E，交直线y＝﹣x﹣3于点F，
同理得C（，t+1），
F（﹣，t+1），
∴CF＝﹣﹣，
当CP⊥AB时，CP＝2，
∵∠PCF+∠PFC＝90°，∠PFC+∠MBP＝90°，
∴∠PCF＝∠MBP＝∠ABO＝30°，
∴PF＝，CF＝，
∴﹣﹣＝，解得t＝﹣11，
∴﹣11≤t≤3时，直线y＝﹣x﹣3上总存在线段MN的“亲近点”．
故答案为：﹣11≤t≤3．
【点评】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点，特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．年级
平均数
中位数
众数
八年级
90
90
m
九年级
90
n
100
年级
平均数
中位数
众数
八年级
90
90
m
九年级
90
n
100