北京市大兴区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
3. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
4. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ）
A x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
6. 若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 4
8. 如图，点，在上，且点，，不在同一条直线上，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____．
10. 若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的一个实数根是1，则m的值为_____．
11. 在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则___（填“”，“ ”或“”）．
12. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
13. 如图，的内切圆与，,相切，切点为D,，，若，，则周长为____．
14. 写出一个过点且当自变量时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式______．
15. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程．
17. 解方程：x2+8x= 9．
18. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数值时，求方程的根．
20. 已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
21. 如图，在中，，，为的外接圆，求的半径．
22. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；．
a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，85，85，87，89，90，91，95，95，95，96，100．
b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，92，93，94．
c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数；
（2）若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 ；
（3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，抽两名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率．
23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求该函数的解析式；
（2）当时，对于每一个值，函数的值小于函数的值且大于5，直接写出n的值．
24. 如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
25. 如图，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置距离喷水池中心的水平距离为．
（1）求喷出水流竖直高度（）与距离水池中心的水平距离（）之间的关系式，并求出水流喷出的最大高度的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管的高度增加时，则水流离喷水池中心的最远水平距离为______．
26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，求t值；
（2）点，在抛物线上，若，请比较，的大小，并说明理由．
27. 在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：若，则称点为线段的“亲近点”．
（1）当时，
①在点，，，中，线段的“亲近点”是______；
②点在直线上，若点为线段的“亲近点”则点的坐标为______；
（2）若直线上总存在线段的“亲近点”则的取值范围是______．
年级
平均数
中位数
众数
八年级
90
90
m
九年级
90
n
100