2023-2024学年北京市十一实验中学七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市十一实验中学七年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）央视报道“梦天实验舱”是中国空间站三大舱段的最后一个舱段，它采用的是柔性太阳翼，上面覆盖的特种玻璃盖片约15万片，被誉为“护身铠甲”．它为航天器的安全运行提供有力保障．将数据150000用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×106B．1.5×105C．15×104D．1.5×104
2．（2分）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（ ）
A．a＞﹣bB．ab＜0C．a﹣b＞0D．a+b＞0
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．是单项式
B．a2b的次数是2
C．a2+2a﹣5是二次三项式
D．是单项式
4．（2分）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+3＝y+3B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y
C．若，则x＝yD．若x＝y，则＝
5．（2分）已知x＝﹣1是方程2x﹣3a＝4的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
6．（2分）已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC＝2AB，再在BA的延长线上取一点D，使DA＝AB，则线段AC与线段AD的数量关系是（ ）
A．AC＝ADB．AC＝2ADC．D．AC＝3AD
7．（2分）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．2n﹣mB．mC．n﹣mD．m+n
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）某种零件，标明要求是（Φ表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为19.99mm，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”）
10．（3分）写出一个多项式，使得它与单项式x的和是二次三项式： ．
11．（3分）比较大小：52°15′ 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．（3分）如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ．
13．（3分）已知∠1＝100°，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3＝ °．
14．（3分）如图，甲从O点出发向北偏西30°方向走到点A，乙从点O出发向南偏东40°方向走到点B，则∠AOB的度数是 ．
15．（3分）图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为18，则输出的结果为 ．
16．（3分）对于实数x、y我们定义一种新运算H（x、y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为H（x、y），其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若H（x、y）＝2x+3y，则H（3、1）＝ ．
（2）已知H（1、3）＝9，H（3、1）＝11，请回答问题：m+n＝ ，m﹣n＝ ．
三、解答题（共60分）
17．（12分）计算：
（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（6分）化简：
（1）；
（2）x2+[5x﹣2（x﹣3）﹣x2]．
19．（6分）解方程：
（1）5x+3＝﹣2x﹣11；
（2）．
20．（4分）先化简，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（3ab2﹣a2b），其中a，b满足：|a+1|+（b﹣1）2＝0．
21．（4分）如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点．
（1）按要求画图，保留作图痕迹；
①作射线PA，作直线PB；
②延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC．
（2）若（1）中的线段AB＝2cm，求出线段BD的长度．
22．（4分）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝18cm，BC＝AB．
（1）试求出线段AC的长；
（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．
23．（5分）2023年12月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个30元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小雅原计划购买手提袋多少个？
（2）艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共50本作为奖品，其中新年日历标价每本20元，画册标价每本10元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计560元．问老师购买了新年日历和画册各多少本？
24．（5分）【阅读理解问题】阅读下列材料，完成相应的任务：
任务：
（1）下列式子中，是对称式的是 （填序号）；
①a+b+c
②a2+b2
③a2b
④
（2）写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6；
（3）已知A＝2a2+4b2，B＝a2﹣2ab，求A+2B，并直接判断所得结果是不是对称式．
25．（7分）如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 ；
②若射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
26．（7分）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即＝，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以＝1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称．
①＝ ；
②比较，，的大小 （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM＝OA，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知＜100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 ．
2023-2024学年北京市十一实验中学七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.
1．（2分）央视报道“梦天实验舱”是中国空间站三大舱段的最后一个舱段，它采用的是柔性太阳翼，上面覆盖的特种玻璃盖片约15万片，被誉为“护身铠甲”．它为航天器的安全运行提供有力保障．将数据150000用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×106B．1.5×105C．15×104D．1.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将数据150000用科学记数法表示为1.5×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（ ）
A．a＞﹣bB．ab＜0C．a﹣b＞0D．a+b＞0
【分析】利用a，b的位置，进而得出：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，即可分析得出答案．
【解答】解：如图所示：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
A、a＞﹣b，正确，不合题意；
B、ab＜0，正确，不合题意；
C、a﹣b＜0，故此选项错误，符合题意；
D、a+b＞0，正确，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．是单项式
B．a2b的次数是2
C．a2+2a﹣5是二次三项式
D．是单项式
【分析】根据单项式、多项式的定义，分析每个选项，是分式，a2b的次数是3，a2+2a﹣5是二次三项式，是多项式，由此选出正确答案．
【解答】解：由已知得：
A选项是分式，不是单项式，此说法不正确，故不符合题意；
B选项a2b的次数是3，此说法不正确，故不符合题意；
C选项a2+2a﹣5是二次三项式，此说法正确，故符合题意；
D选项是多项式，此说法不正确，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握其定义是解答本题的关键．
4．（2分）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+3＝y+3B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y
C．若，则x＝yD．若x＝y，则＝
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【解答】解：（D）当m＝0时，
与无意义，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
5．（2分）已知x＝﹣1是方程2x﹣3a＝4的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】将x＝﹣1代入方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣2﹣3a＝4，
解得：a＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（2分）已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC＝2AB，再在BA的延长线上取一点D，使DA＝AB，则线段AC与线段AD的数量关系是（ ）
A．AC＝ADB．AC＝2ADC．D．AC＝3AD
【分析】根据题意画出图形，设AB＝1，则可求出DC，BC，CD，从而可得出答案．
【解答】解：依据题意画出下图：
由图可知：AC＝AB+BC，
∵BC＝2AB，DA＝AB，
∴AC＝AB+BC＝AB+2AB＝3AB＝3AD，
即AC＝3AD．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的画图和有关计算，属于基础题型，解题的关键是根据题意画出图形，得出相关线段之间的关系．
7．（2分）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据几何体精特征判断即可．
【解答】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体．
故选：D．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．
8．（2分）小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．2n﹣mB．mC．n﹣mD．m+n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2024次后出现2026个整式，结合2026÷6＝337…4，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……，
第 2024次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m，﹣m；共2026个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2026÷6＝337…4，
∴第2024次操作后得到的整式中，求最后四项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）+（﹣m）＝2n﹣m．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）某种零件，标明要求是（Φ表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为19.99mm，则这个零件 合格 ．（填“合格”或“不合格”）
【分析】先求出合格直径范围，再判断即可．
【解答】解：由题意得，合格直径范围为：19.99mm～20.02mm，
若一个零件的直径是19.99mm，则该零件合格．
故答案为：合格．
【点评】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是求出合格直径范围．
10．（3分）写出一个多项式，使得它与单项式x的和是二次三项式： x2+2x+1（答案不唯一） ．
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：多项式可以为：x2+2x+1，
∵x2+2x+1+x＝x2+3x+1是二次三项式．
故答案为：x2+2x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则．
11．（3分）比较大小：52°15′ ＞ 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论．
【解答】解：∵52.15°＝52°+0.15×60'＝52°9'，
∴52°15'＞52°9'，
∴52°15'＞52.15°．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，掌握将角的度数换算成度分秒的形式是关键．
12．（3分）如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 两点确定一条直线 ．
【分析】根据两点确定一条直线的知识解答．
【解答】解：∵准星与目标是两点，
∴利用的数学知识是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】本题考查了两点确定一条直线的性质，是基础知识，需要熟练掌握．
13．（3分）已知∠1＝100°，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3＝ 10 °．
【分析】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，求解即可．
【解答】解：∵∠1＝100°，∠2与∠1互补，
∴∠2+∠1＝180°，
∴∠2＝80°，
∵∠3与∠2互余，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝10°，
故答案为：10．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°是解答本题的关键．
14．（3分）如图，甲从O点出发向北偏西30°方向走到点A，乙从点O出发向南偏东40°方向走到点B，则∠AOB的度数是 170° ．
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可计算．
【解答】解：∵90°﹣40°＝50°，
∴∠AOB＝30°+90°+50°＝170°．
故答案为：170°．
【点评】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．
15．（3分）图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为18，则输出的结果为 258 ．
【分析】将x＝18代入3（x﹣10）中计算，得到结果小于100；继续将结果代入计算，判断结果是否大于100，若大于100输出；若小于100，代入计算，即可得到输出的结果．
【解答】解：若输入的数为18，代入得：3（18﹣10）＝24＜100；
此时输入的数为24，代入得：3（24﹣10）＝42＜100；
此时输入的数为42，代入得：3（42﹣10）＝96＜100
此时输入的数为96，代入得：3（96﹣10）＝258＞100，
则输出的结果为258．
故答案为：258．
【点评】本题考查了代数式的求值，熟练掌握整式的运算法则是关键．
16．（3分）对于实数x、y我们定义一种新运算H（x、y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为H（x、y），其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若H（x、y）＝2x+3y，则H（3、1）＝ 9 ．
（2）已知H（1、3）＝9，H（3、1）＝11，请回答问题：m+n＝ 5 ，m﹣n＝ 1 ．
【分析】（1）根据H（x、y）的意义计算即可；
（2）根据H（x、y）＝mx+ny列方程组求解即可．
【解答】解：（1）因为H（x、y）＝2x+3y，
所以H（3、1）＝2×3+3×1＝9，
故答案为：9；
（2）因为H（x、y）＝mx+ny，H（1、3）＝9，H（3、1）＝11，
所以m+3n＝9，3m+n＝11，
解得m＝3，n＝2，
所以m+n＝5，m﹣n＝1，
故答案为：5，1．
【点评】本题考查实数的运算，理解“新运算H（x、y）＝mx+ny”以及“线性数”，“正格线性数“，正格数对”的意义是解决问题的关键．
三、解答题（共60分）
17．（12分）计算：
（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）除法运算转化成乘法运算，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（3）根据乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减．
【解答】解：（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）
＝20+7﹣2﹣2
＝23；
（2）
＝
＝36×
＝16；
（3）
＝
＝﹣5﹣8+9
＝﹣4；
（4）
＝
＝3+3
＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．
18．（6分）化简：
（1）；
（2）x2+[5x﹣2（x﹣3）﹣x2]．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝﹣ab﹣4a2+3a2+ab
＝ab﹣a2；
（2）x2+[5x﹣2（x﹣3）﹣x2]．
＝x2+（5x﹣2x+6﹣x2）
＝x2+5x﹣2x+6﹣x2
＝3x+6．
【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键．
19．（6分）解方程：
（1）5x+3＝﹣2x﹣11；
（2）．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1）5x+3＝﹣2x﹣11，
移项，得5x+2x＝﹣11﹣3，
合并同类项，得7x＝﹣14，
系数化成1，得x＝﹣2；
（2）
去分母，得5（x﹣1）＝2×10﹣2（x+2），
去括号，得5x﹣5＝20﹣2x﹣4，
移项，得5x+2x＝20﹣4+5，
合并同类项，得7x＝21，
系数化成1，得x＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
20．（4分）先化简，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（3ab2﹣a2b），其中a，b满足：|a+1|+（b﹣1）2＝0．
【分析】先去掉小括号，再对同类项进行合并化简，利用绝对值及偶次方的非负性求出a，b的值，最后将数值代入求出结果．
【解答】解：（3a2b﹣ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）
＝3a2b﹣ab2﹣6ab2+2a2b
＝5a2b﹣7ab2，
∵a，b满足：|a+1|+（b﹣1）2＝0，
∴|a+1|＝0，（b﹣1）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
当a＝﹣1，b＝1时，
原式＝5×（﹣1）2×1﹣7×（﹣1）×12
＝5+7
＝12．
【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，关键利用合并同类项的方法解答．
21．（4分）如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点．
（1）按要求画图，保留作图痕迹；
①作射线PA，作直线PB；
②延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC．
（2）若（1）中的线段AB＝2cm，求出线段BD的长度．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用AC＝2AB得到AC＝4cm，再利用AD＝AC得到AD＝4cm，然后计算AD+AB即可．
【解答】解：（1）射线PA，直线PB、线段AC、AD为所作；
（2）∵AC＝2AB＝2×2＝4cm，
∴AD＝AC＝4cm，
∴BD＝AD+AB＝4+2＝6（cm）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
22．（4分）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝18cm，BC＝AB．
（1）试求出线段AC的长；
（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．
【分析】（1）求出线段BC用AB+BC可得结论；
（2）利用线段中点的意义，求出线段OC，用OC﹣BC即可．
【解答】解：（1）∵AB＝18cm，BC＝AB，
∴BC＝6（cm）．
∴AC＝AB+BC＝18+6＝24（cm）．
（2）∵点O是线段AC的中点，
∴OC＝AC＝12（cm）．
∵BC＝6cm，
∴OB＝OC﹣BC＝12﹣6＝6（cm）．
【点评】本题主要考查了线段中点的意义，两点之间的距离，正确使用线段的中点的意义是解题的关键．
23．（5分）2023年12月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个30元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小雅原计划购买手提袋多少个？
（2）艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共50本作为奖品，其中新年日历标价每本20元，画册标价每本10元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计560元．问老师购买了新年日历和画册各多少本？
【分析】（1）设小雅原计划购买手提袋x个，则实际购买了（x+1）个，根据对话内容列出方程即可得出结果；
（2）设老师购买了新年日历y本，根据两种物品的购买总费用560元，列出方程即可得出结果．
【解答】解：（1）（1）设小雅原计划购买手提袋x个，则实际购买了（x+1）个，
由题意得：30（x+1）×0.9＝30x﹣18．
解得：x＝15；
答：小雅原计划购买手提袋15个；
（2）设老师购买了新年日历y本，，则购买画册（50﹣y）本，
由题意得：[20y+10（50﹣y）]×80%＝560，
解得：y＝20，
则：50﹣y＝30（本）．
答：老师购买了新年日历20本，购买画册30本．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用问题；解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
24．（5分）【阅读理解问题】阅读下列材料，完成相应的任务：
任务：
（1）下列式子中，是对称式的是 ①② （填序号）；
①a+b+c
②a2+b2
③a2b
④
（2）写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6；
（3）已知A＝2a2+4b2，B＝a2﹣2ab，求A+2B，并直接判断所得结果是不是对称式．
【分析】（1）根据对称式的定义即可判断；
（2）x3y3；
（3）求得A+2B＝4a2+4b2﹣4ab判断即可．
【解答】解：（1）由定义可知：①②是对称式，
故答案为：①②；
（2）满足条件的单项式为：x3y3；
（3）∵A＝2a2+4b2，B＝a2﹣2ab，
∴A+2B＝2a2+4b2+2（a2﹣2ab）
＝2a2+4b2+2a2﹣4ab
＝4a2+4b2﹣4ab，是对称式．
【点评】本题考查新定义下的整式问题，理解题意是关键．
25．（7分）如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 是 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 20°或30°或40° ；
②若射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【分析】（1）根据其妙线的定义进行判断即可；
（2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可；
②射线PM是∠FPN的奇妙线，PM在∠FPN的内部，PF在∠NPM的内部，然后分三种情况求解即可．
【解答】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义，
所以一个角的平分线是这个角的奇妙线；
故答案为：是；
（2）①∠MPN＝60°，射线PQ是∠MPN的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论：
当∠QPN＝2∠MPQ时，
∵∠QPN+2∠MPQ＝60°，
∴；
当∠MPQ＝2∠QPN时，
∵2∠QPN+∠MPQ＝60°
∴；
当∠NPM＝2∠QPN时，
∵∠MPN＝60°，
∴；
故答案为：20或30或40；
②∵射线PM是∠FPN的奇妙线，
∴PM在∠FPN的内部，
∴PF在∠NPM的内部；
分三种情况：
（Ⅰ）如图，当∠NPM＝2∠FPM时，如图所示：
∴∠FPN＝∠NPM+∠FPM＝60°+30°＝90°，
∴t＝90÷3＝30（s）；
（Ⅱ）如图，当∠FPN＝2∠MPN时，如图所示：
∴∠FPN＝2×60°＝120°，
∴t＝120÷3＝40（s）；
（Ⅲ）当∠FPN＝2∠NPM时，如图所示：
∵∠FPM＝2×60°＝120°，
∴∠FPN＝∠NPM+∠FPM＝60°+120°＝180°，
∴t＝180÷3＝60（s）；
综上：当t为30或40或60时，射线PM是∠FPN的奇妙线．
【点评】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
26．（7分）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即＝，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以＝1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称．
①＝ ；
②比较，，的大小 ＜＜ （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM＝OA，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知＜100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 198 ．
【分析】（1）①根据定义求出线段P2A与P2O的值即可解答；
②根据定义分别求出，的值即可比较；
（2）分两种情况，点M在原点的右侧，点M在原点的左侧；
（3）根据题意可知，分两种情况，点P在点A的右侧，点P在OA之间．
【解答】解：（1）①∵点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称，
∴点P2表示的数是，
∵点A表示的数是1，
∴P2A＝1﹣＝，P2O＝，
∴＝＝＝，
②∵点P1表示的数是﹣，
∴P1A＝1﹣（﹣）＝，P1O＝，
∴＝＝＝，
∵1＜P3＜2，
∴1＜P3O＜2，0＜P3A＜1，
∴＝＞1，
∴＜＜，
故答案为：①，②＜＜；
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
∵OM＝OA，
∴OM＝，
∴点M表示的数为：，
∴MO＝，MA＝1﹣＝，
∴＝＝＝，
当点M在原点的左侧，
∵OM＝OA，
∴OM＝，
∴点M表示的数为：﹣，
∴MO＝，MA＝1﹣（﹣）＝，
∴＝＝＝，
∴的值为：或；
（3）∵＜100且为整数，
∴＝为整数，
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
当＝＝1时，
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
∴p＝，
∴当＝1时，p的值为，
当＝＝2时，
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
∴当＝2时，p的值为：2或，
当＝＝3时，
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝3时，p的值为：或，
当＝＝4时，
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝4时，p的值为：或，
…
当＝＝99时，
∴PO＝99PA，
当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝99时，p的值为：或，
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
2+++++++...++
＝2+（+）+（+）+（+）+...+（+）
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
故答案为：198．
【点评】本题考查了数轴，有理数的混合运算，理解题目中的定义，线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．对称式
在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．
例如：式子abc中任意两个字母交换位置，可得到式子bac，acb，cba，因abc＝bac＝acb＝cba，所以abc是对称式．而交换式子a﹣b中字母a、b的位置，得到式子b﹣a，因为a﹣b≠b﹣a，所以a﹣b不是对称式．
对称式
在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．
例如：式子abc中任意两个字母交换位置，可得到式子bac，acb，cba，因abc＝bac＝acb＝cba，所以abc是对称式．而交换式子a﹣b中字母a、b的位置，得到式子b﹣a，因为a﹣b≠b﹣a，所以a﹣b不是对称式．