2023-2024学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）的值是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．81
2．（2分）昌平，取“昌盛平安”之意，自西汉设县以来距今已有2000多年．期间辖区内修建了众多的古今建筑．下列是昌平区的四个建筑图片，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． 银山塔林
B． 昌平大桥
C． 昌平公园弘文阁
D． 十三陵牌坊
3．（2分）以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7B．5，6，6C．1，1，2D．3，4，5
4．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签
B．直角三角形两锐角互余
C．第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生
D．掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8
5．（2分）下列选项中，最接近 的整数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2分）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，所列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝140D．﹣140＝
7．（2分）（附加题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．∠A＝∠2﹣∠1
C．2∠A＝∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
8．（2分）阅读下面材料：已知，Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点D是AB中点，给出下面四个结论：
①∠ACD＝∠BCD；
②∠ADC＝60°；
③AC+BC＞2CD；
④点P是BC上的一个动点，当PD+PA取最小值时，PD+PA＝BC．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（2分）如图，已知∠DAB＝∠CAB，添加一个 条件，使得△ABC≌△ABD．
11．（2分）如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝ ．
12．（2分）已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题．（用“真”，“假”填空）
13．（2分）如图，货架上水平摆放着九个外包装完全一样的盲盒，每个盲盒内装有一件商品，装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，随机抽取一个盲盒，则抽到 种商品的可能性大．（用“甲”，“乙”填空）
14．（2分）若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ＝ ．
15．（2分）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有 个．
16．（2分）某学校计划租用客车接送251名学生和5名教师去博物馆，每辆车至少有1名教师，现有甲、乙、丙三种客车，它们的载客量和租金如表所示：
请写出一个满足乘坐需求的租车方案 ，若需要租车总费用最少，则租车方案为 ．
三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）已知：如图，E，F是线段BC上两点，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF．求证：△ABF≌△DCE．
20．（5分）计算：．
21．（5分）解方程：+＝1
22．（5分）先化简 ，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值．
23．（6分）已知：如图，∠BAC＝45°．
求作：线段BD，使得BD⊥AC．
作法：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N；
②作直线MN，交AC于点D；
③连接BD．
所以线段BD即为所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明：
证明：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ ）．（填写推理依据）
∴∠DAB＝∠DBA＝ °．
∵∠DAB+∠DBA+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝90°．
∴BD⊥AC．
24．（6分）第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办．上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍、当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度．
25．（6分）已知：△ABC中，AB＝BC＝6，D为AC中点．过点D作DE∥BC，交AB于点E，在DE的延长线上有一点F，连接AF，满足AF＝AD．
（1）求证：BE＝DE．
（2）若AC＝6，试判断△AEF的形状，并证明．
26．（6分）阅读材料：
和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1；
和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明：
根据题意，得．
等式两边同时 ，得 ＝b．
整理得b﹣a＝2+1．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若和 为两个相邻整数，则a＝ ．
（3）若和 为相差4的两个整数，求a的值．
27．（7分）已知：如图，线段AB，点P是线段AB上方一动点，且 PA⊥PB，线段AB和线段AC关于直线AP对称，过点B作BM∥AC，与线段AP的延长线交于点D，点P和点E关于直线BD对称，作射线EP交AC于点F，交BD于点G．
（1）当PB＝3，AB＝5时，求PD的长．
（2）请用等式表示线段EF与PF之间的数量关系，并证明．
（3）当线段EF的长取最大值时， 的值为 ．
28．（7分）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段AD与BC交于点O，连接AB和CD，所得图即为“8字形”．
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有： ．
（2）如图1，AD与BC交于点E，连接AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α，AE＝CF．
①当 α＝90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明；
②如图2，当 90°＜α＜180°时，求证：BE＝BF．
2023-2024学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）的值是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．81
【分析】根据二次根式的基本性质进行化简求解即可．
【解答】解：＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质．
2．（2分）昌平，取“昌盛平安”之意，自西汉设县以来距今已有2000多年．期间辖区内修建了众多的古今建筑．下列是昌平区的四个建筑图片，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． 银山塔林
B． 昌平大桥
C． 昌平公园弘文阁
D． 十三陵牌坊
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7B．5，6，6C．1，1，2D．3，4，5
【分析】根据三角形三边之间的关系，以及等腰三角形的定义对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵2+4＜7，
∴长度为2，4，7三条线段为边，不能组成三角形，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∴5+6＞6，
∴长度为5，6，6三条线段为边，能组成等腰三角形，
故选B符合题意；
对于选项C，
∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2三条线段为边，不能组成三角形，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5三条线段为边，能组成三角形，但不是等腰三角形，
故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
4．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签
B．直角三角形两锐角互余
C．第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生
D．掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签，是随机事件，故A符合题意；
B、直角三角形两锐角互余，是必然事件，故B不符合题意；
C、第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生，是必然事件，故C不符合题意；
D、掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，直角三角形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5．（2分）下列选项中，最接近 的整数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∵2.52＝6.25＞6，
∴2.4＜＜2.5，
则最接近是2，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
6．（2分）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，所列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝140D．﹣140＝
【分析】先根据题意得出乙每天做（140﹣x）个，再分别表示出甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间，根据等量关系即可列出方程．
【解答】解：设甲每天做x个零件，
∵两人每天共做140个零件，
∴乙每天做（140﹣x）个，
∴甲做360个零件所用的时间为，乙做480个零件所用的时间为个，
∵甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分别表示出甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间．
7．（2分）（附加题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．∠A＝∠2﹣∠1
C．2∠A＝∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】可连接AA′，分别在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．
【解答】解：连接AA′．
则△A′ED即为折叠前的三角形，
由折叠的性质知：∠DAE＝∠DA′E．
由三角形的外角性质知：
∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A；
则∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE，
即∠1+∠2＝2∠A．
故选：C．
【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．
8．（2分）阅读下面材料：已知，Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点D是AB中点，给出下面四个结论：
①∠ACD＝∠BCD；
②∠ADC＝60°；
③AC+BC＞2CD；
④点P是BC上的一个动点，当PD+PA取最小值时，PD+PA＝BC．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵点D是AB中点，
∴AD＝CD＝BD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝60°，∠BCD＝∠ABC＝30°，
∴∠ACD≠∠BCD，故①错误；
∵∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，故②正确；
∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴AB＝2CD，
∵AC+BC＞AB，
∴AC+BC＞2CD，故③正确；
作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于P，
则此时，PD+PA的值最小，且PD+PA＝A′D，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝AD，
∵A′C＝AC，
∴AA′＝AB，
∵∠CAB＝∠DAA′，
∴△ADA′≌△ACB，
∴A′D＝BC，
∴PD+PA＝BC，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 0 ．
【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，则2x＝0且1﹣x≠0，
解得：x＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
10．（2分）如图，已知∠DAB＝∠CAB，添加一个 AD＝AC或∠DBA＝∠CBA或∠D＝∠C 条件，使得△ABC≌△ABD．
【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．
【解答】解：根据SAS判定△ABC≌△ABD，可以添加AD＝AC．
根据ASA判定△ABC≌△ABD，可以添加∠DBA＝∠CBA，
根据AAS判定△ABC≌△ABD，可以添加∠D＝∠C，
故答案为：AD＝AC或∠DBA＝∠CBA或∠D＝∠C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
11．（2分）如图所示，为了在数轴上找到表示无理数π的点，小王同学制作了一个以A为圆心，m为半径的圆，并在此圆上标记一个点B，将点B与原点重合．若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点B就是数轴上表示无理数π的点，则m＝ ．
【分析】根据圆的周长公式即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，2mπ＝π，
∴m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，无理数，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
12．（2分）已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 假 命题．（用“真”，“假”填空）
【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个三角形全等，为假命题；
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（2分）如图，货架上水平摆放着九个外包装完全一样的盲盒，每个盲盒内装有一件商品，装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，随机抽取一个盲盒，则抽到 甲 种商品的可能性大．（用“甲”，“乙”填空）
【分析】分别求出随机抽取一个盲盒抽到甲商品和乙商品的概率，进而可得出结论．
【解答】解：∵装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，
∴随机抽取一个盲盒，抽到甲商品的概率为＝；抽到乙商品的概率＝＝，
∵＞，
∴抽到甲商品可能性大．
故答案为：甲．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟知概率公式是解题的关键．
14．（2分）若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ＝ a﹣2 ．
【分析】根据点a在数轴上的位置判断出2﹣a的符号，进而可得出结论．
【解答】解：由图可知2＜a＜3，
∴2﹣a＜0，
∴＝a﹣2．
故答案为：a﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
15．（2分）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有 4 个．
【分析】分三种情况：当OA＝OP时；当AO＝AP时；当PA＝PO时；即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交直线l于点P1，P2；
当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交直线l于点P3；
当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交直线l于点P4；
综上所述：若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，满足条件的点P位置有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
16．（2分）某学校计划租用客车接送251名学生和5名教师去博物馆，每辆车至少有1名教师，现有甲、乙、丙三种客车，它们的载客量和租金如表所示：
请写出一个满足乘坐需求的租车方案 租5辆丙客车 ，若需要租车总费用最少，则租车方案为 租1辆甲客车，1辆乙客车3辆丙客车 ．
【分析】先根据题意列不等式求解，再根据租金分析求解．
【解答】解：∵每辆车至少有1名教师，∴最多租5辆车，
最少租256÷55＝4≈5辆，
所以只能租5辆车，
设租甲客车x辆，乙客车y辆，0≤x≤5，0≤y≤5，
则43x+49y+55（5﹣x﹣y）≥256，
∴x≤，
∴当x＝0时，y＝0，1，2，3，
当x＝1时，y＝1，
∵甲的租金最低，丙的租金最高，
∴x＝1，y＝1时租金最低，
故答案为：租5辆丙客车；租1辆甲客车，1辆乙客车3辆丙客车．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找到不等关系是解题的关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：．
【分析】利用乘法分配律进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝×﹣×
＝﹣1
＝4﹣1
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】先通分，然后相加计算即可．
【解答】解：原式＝＝．
【点评】本题考查分式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（5分）已知：如图，E，F是线段BC上两点，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF．求证：△ABF≌△DCE．
【分析】根据等式的性质可得BF＝CE，然后利用SSS证明：△ABF≌△DCE，即可解答．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．（5分）计算：．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝5﹣4+3﹣2+1
＝5﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（5分）解方程：+＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6+x2＝x2﹣3x
解得：x＝，
经检验x＝是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．（5分）先化简 ，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（﹣）÷
＝•（a+1）（a﹣1）
＝a2+a﹣a+1
＝a2+1，
∵a2﹣1≠0，
∴a≠±1，
∴当a＝2时，原式＝22+1＝4+1＝5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（6分）已知：如图，∠BAC＝45°．
求作：线段BD，使得BD⊥AC．
作法：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N；
②作直线MN，交AC于点D；
③连接BD．
所以线段BD即为所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明：
证明：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ）．（填写推理依据）
∴∠DAB＝∠DBA＝ 40 °．
∵∠DAB+∠DBA+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝90°．
∴BD⊥AC．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明∠DAB＝∠DBA＝45°，再利用三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．
∴∠DAB＝∠DBA＝40°．
∵∠DAB+∠DBA+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝90°．
∴BD⊥AC．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，40．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图﹣线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
24．（6分）第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办．上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍、当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度．
【分析】设高铁的平均速度为x千米/小时，则民航客机的平均速度为3x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合搭乘民航客机会比高铁节省4小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出高铁的平均速度，再将其代入3x中，即可求出民航客机的平均速度．
【解答】解：设高铁的平均速度为x千米/小时，则民航客机的平均速度为3x千米/小时，
根据题意得：﹣＝4，
解得：x＝270，
经检验，x＝270是所列方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×270＝810（千米/小时）．
答：民航客机的平均速度为810千米/小时，高铁的平均速度为270千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（6分）已知：△ABC中，AB＝BC＝6，D为AC中点．过点D作DE∥BC，交AB于点E，在DE的延长线上有一点F，连接AF，满足AF＝AD．
（1）求证：BE＝DE．
（2）若AC＝6，试判断△AEF的形状，并证明．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出E为AB中点，则DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质及等量代换即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质得出BD⊥AC，根据勾股定理求出BD＝3，进而推出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠FAE＝90°，据此即可得解．
【解答】（1）证明：∵D为AC中点，DE∥BC，
∴E为AB中点，
∴BE＝AB，DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BE＝DE；
（2）解：△AEF是直角三角形，理由如下：
如图，连接BD，
∵AC＝6，D为AC中点，
∴AD＝3，
∵AB＝BC＝6，D为AC中点，
∴BD⊥AC，
∴BD＝＝3，
∴∠BAD＝30°，
∵AE＝BE，DE＝BE，
∴AE＝DE，
∴∠BAD＝∠ADE＝30°，
∵AF＝AD，
∴∠F＝∠ADE＝30°，
∴∠FAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠FAE＝∠FAD﹣∠BAD＝90°，
∴△AEF是直角三角形．
【点评】此题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（6分）阅读材料：
和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1；
和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明：
根据题意，得．
等式两边同时 平方 ，得 a+2+1 ＝b．
整理得b﹣a＝2+1．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若和 为两个相邻整数，则a＝ 25 ．
（3）若和 为相差4的两个整数，求a的值．
【分析】（1）利用等式的性质解答即可；
（2）利用（1）的结论列式解答即可；
（3）利用（1）的解答方法解答即可．
【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数，
∴，
等式两边同时平方得：
a+2+1＝b．
移项得：b﹣a＝2+1．
故答案为：平方；a+2+1；
（2）∵和 为两个相邻整数，
∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2+1，
∴＝5，
∴a＝25．
故答案为：25；
（3）∵和 为相差4的两个整数，
∴+4＝，
等式两边同时平方得：
a+8+16＝a+216，
∴＝25，
∴a＝625．
【点评】本题主要考查了算术平方根的应用，等式的性质，完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并正确应用是解题的关键．
27．（7分）已知：如图，线段AB，点P是线段AB上方一动点，且 PA⊥PB，线段AB和线段AC关于直线AP对称，过点B作BM∥AC，与线段AP的延长线交于点D，点P和点E关于直线BD对称，作射线EP交AC于点F，交BD于点G．
（1）当PB＝3，AB＝5时，求PD的长．
（2）请用等式表示线段EF与PF之间的数量关系，并证明．
（3）当线段EF的长取最大值时， 的值为 ．
【分析】（1）由勾股定理可求PA的长，由轴对称的性质和等腰三角形的性质可得AP＝PD＝4；
（2）由“ASA”可证△APF≌△DPG，可得PF＝PG，即可求解；
（3）先证BH＝FG，由垂线段最短可得AB＞BH，则BH的最大值为AB，此时EF有最大值，即可求解．
【解答】解：（1）∵PB＝3，AB＝5，PA⊥PB，
∴PA＝＝＝4，
∵线段AB和线段AC关于直线AP对称，
∴AB＝AC，∠PAB＝∠PAC，
∵AC∥BD，
∴∠PAC＝∠BDA，
∴∠PAB＝∠BDA，
∴AB＝DB，
又∵AP⊥PB，
∴AP＝PD＝4；
（2）EF＝3PF，理由如下：
∵点P和点E关于直线BD对称，
∴GP＝GE，BD⊥EP，
∵∠CAP＝∠PDB，AP＝PD，∠APF＝∠DPG，
∴△APF≌△DPG（ASA），
∴PF＝PG，
∴PF＝PG＝GE，
∴EF＝3PF，
（3）如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵AC∥BD，BD⊥EF，
∴EF⊥AC，
∴四边形BHFG是矩形，
∴BH＝FG，
在△ABH中，AB＞BH，
∴BH的最大值为AB，此时EF有最大值，
∴FG＝AB＝2FP，
又∵EF＝3PF，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．（7分）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段AD与BC交于点O，连接AB和CD，所得图即为“8字形”．
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有： ①④ ．
（2）如图1，AD与BC交于点E，连接AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α，AE＝CF．
①当 α＝90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明；
②如图2，当 90°＜α＜180°时，求证：BE＝BF．
【分析】（1）由“8字形”定义可得出答案；
（2）①证明△ABE≌△CBF（AAS），由全等三角形的性质可得出BE＝BF；
②在CB上截取CG＝AB，连接GF，证明△ABE≌△CGF（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝GF，∠ABE＝∠CGF，则可得出结论．
【解答】（1）解：由定义可知图形①和④含有“8字形”，
故答案为：①④；
（2）①解：BE＝BF．
证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，∠C+∠CED＝90°，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF；
②证明：在CB上截取CG＝AB，连接GF，
在△ABE和△CGF中，
，
∴△ABE≌△CGF（SAS），
∴BE＝GF，∠ABE＝∠CGF，
∴∠GBF＝∠BGF，
∴BF＝GF，
∴BE＝BF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．甲客车
乙客车
丙客车
载客量（单位：人/辆）
43
49
55
租金（单位：元/辆）
1350
1500
1600
甲客车
乙客车
丙客车
载客量（单位：人/辆）
43
49
55
租金（单位：元/辆）
1350
1500
1600