2022-2023学年北京十三中七年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年北京十三中七年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知AB=8，a+c=0，且c是关于x的方程(m−4)x+16=0的一个解，则m的值为( )
A. −4B. 2C. 4D. 6
2.A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是( )
A. 1cmB. 9cmC. 1cm或9cmD. 以上答案都不对
3.截至2019年6月底，我国4G手机用户数大约达到5.74亿，将5.74亿这个数用科学记数法可表示为( )
A. 5.74×107B. 57.4×107C. 5.74×108D. 5.74×109
4.用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列方程的变形中，不正确的是( )
A. 由7x=6x−1，得7x−6x=1B. 由−13x=9，得x=−27
C. 由5x=10，得x=2D. 由3x=6−x，得3x+x=6
6.由5个大小相同的正方形拼成如图所示的图形(阴影部分)，在图中A，B，C，D四个位置中再选择一个正方形，使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体的位置有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.下列四个几何体中，是四棱锥的是( )
A. B. C. D.
8.双十一期间，“天猫”平台上一件标价为800元的上衣，按八折销售仍可获利40元，设这件上衣的成本价为x元，列方程正确的为( )
A. 800×0.8−x=40B. 800×8−x=40
C. 800×0.8=x−40D. 800×0.8=40−x
9.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是( )
A. x−38=x+47B. x+38=x−47C. x−48=x+37D. x+48=x−37
10.有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确的是( )
①如果ad>0，则一定会有bc>0；
②如果bc>0，则一定会有ad>0；
③如果bc<0，则一定会有ad<0；
④如果ad<0，则一定会有bc<0.
A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11.计算：−13−(−1)=__________.
12.关于x的方程ax=2的解是x=2，则a的值是__________.
13.若多项式2(x2−xy−3y2)−(3x2−axy+y2)中不含xy项，则a=______，化简结果为______.
14.有两根木条，一根AB长为100cm，另一根CD长为150cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N(圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是______cm.
15.−12的倒数是______。
16.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90∘，然后在桌面上按逆时针方向旋转90∘，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是______.
三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
计算：
(1)(16−314+23)×42；
(2)(−3)3×(−1527)÷(−24).
18.(本小题8分)
解方程：
(1)x+x2+2x=180−x；
(2)x−12=1−3x+25.
19.(本小题8分)
某公司门口有一个长为900cm的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距=3：4：1，请用列方程的方法解决下列问题：某次活动的字数为17个，求字距是多少？
20.(本小题8分)
根据下列语句画图：
(1)连接AB两点，延长线段AB到点C，使BC=2AB，点P在线段AB上，点Q在线段AB的反向延长线上．
(2)利用无刻度直尺和圆规作线段等于2a−b保留痕迹，写出作图结论．
21.(本小题8分)
如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长；
(2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其它条件不变，直接写出MN的长度；
(3)动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒，是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题8分)
列一元一次方程解应用题：
国家速滑馆“冰丝带”，位于北京市朝阳区奥林匹克公园林萃路2号，是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性、唯一新建的冰上竞赛场馆．某大学冬奥志愿者负责本场馆的对外联络和文化展示服务工作，负责对外联络服务工作的有17人，负责文化展示服务工作的有10人，现在另调20人去两服务处支援，使得在对外联络服务工作的人数比在文化展示服务的人数的2倍多5人，问应调往对外联络、文化展示两服务处各多少人？
23.(本小题8分)
探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如下图①，弹弓的两边可看成是平行的，即AB//CD，各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．
已知AB//CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图①中，智慧小组发现：∠APC=∠A+∠C.
智慧小组是这样思考的：过点P作PQ//AB⋯
请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程．
类比思考：
(1)在图②中，∠APC与∠A、∠C之间的数量关系为______；
(2)如图③，已知AB//CD，则∠α、∠β、∠γ之间的数量关系为______.
解决问题：善思小组提出：如图④⑤，AB//CD，AF、CF分别平分∠BAP、∠DCP.请分别求出图④、图⑤中，∠AFC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．
首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出a的值是多少，进而求出c的值是多少；然后根据c是关于x的方程(m−4)x+16=0的一个解，求出m的值为多少即可．
【解答】
解：因为AB=8，
所以6−a=8，
解得a=−2，
因为a+c=0，
所以c=2，
因为c是关于x的方程(m−4)x+16=0的一个解，
所以2(m−4)+16=0，
解得m=−4.
故选：A.
2.【答案】C
【解析】解：第一种情况：C点在AB之间上，故AC=AB−BC=1cm；
第二种情况：当C点在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm.
故选：C.
由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，做本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情况可以求出A，C两点的距离．
本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
3.【答案】C
【解析】解：将5.74亿这个数用科学记数法可表示为574000000=5.74×108.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】【分析】
分别找出长方体的对面，即可解答．
本题考查了长方体展开图的知识，注意长方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题
【解答】
解：如图所示：
根据题意可知，A的对面是B′，B的对面是A′，C的对面是C′，A的短边阴影与C的阴影重合．
故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C.
故选：C.
5.【答案】A
【解析】解：A、由7x=6x−1得7x−6x=−1，故A不正确；
B、由−13x=9得x=−27，正确；
C、由5x=10得x=2，正确；
D、由3x=6−x得3x+x=6，正确；
故选：A.
根据等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在图中A或D与阴影部分的5个正方形折叠后成为一个封闭正方体；B或C与阴影部分的5个正方形折叠后不能成为一个封闭正方体，
故选：B.
结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．
此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．
7.【答案】A
【解析】解：四棱锥是底面为四边形的锥体，因此选项A中的几何体符合题意，
故选：A.
根据四棱锥的形体特征进行判断即可．
本题考查认识立体图形，掌握各种几何体的形体特征是正确判断的前提．
8.【答案】A
【解析】解：设这件上衣的成本价为x元，由题意，可列方程：
800×0.8−x=40.
故选：A.
根据售价-成本价=利润列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应重点弄清两点：
(1)利润、售价、成本价三者之间的关系；
(2)打折的含义．
9.【答案】B
【解析】解：设物价是x钱，根据题意可得，
x+38=x−47，
故选：B.
根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
10.【答案】B
【解析】解：由数轴图可知，a∴如果ad>0，则一定会有bc>0，①正确；
如果bc>0，不一定会有ad>0，②错误；
如果bc<0，则一定会有ad<0，③正确；
如果ad<0，不一定会有bc<0，④错误．
∴①③正确，
故选：B.
利用数轴知识和有理数的乘法判断即可．
本题考查了数轴知识和有理数的乘法，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的乘法法则．
11.【答案】23
【解析】【分析】
本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．据此计算即可．
【解答】
解：−13−(−1)=−13+1=23.
故答案为23.
12.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
把x=2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：把x=2代入方程得：2a=2，
解得：a=1.
故答案为1.
13.【答案】2−x2−7y2
【解析】解：2(x2−xy−3y2)−(3x2−axy+y2)
=2x2−2xy−6y2−3x2+axy−y2
=−x2−7y2−(2−a)xy，
∵多项式2(x2−xy−3y2)−(3x2−ax+y2)中不含xy项，
∴2−a=0，
解得：a=2，
∴原式=−x2−7y2.
故答案为：2，−x2−7y2.
直接去括号，再合并同类项，得出a的值，即可得出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
14.【答案】25或125
【解析】解：当A与C重合或B与D重合时，设两根木条的小圆孔之间的距离MN是acm，
a+1002=1502，
解得，a=25，
当A与D重合或B与C重合时，设两根木条的小圆孔之间的距离MN是bcm，
b−1002=1502，
解得，b=125，
由上可得，两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或125cm，
故答案为：25或125.
根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得两根木条的小圆孔之间的距离MN.
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和分类讨论的方法解答．
15.【答案】−2
【解析】解：−12的倒数是−2.
故答案为：−2.
乘积是1的两数互为倒数.
本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的概念是解题的关键.
16.【答案】6
【解析】解：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以14÷3=4…2.所以是第2次变换后的图形，即按上述规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是6.
故答案为：6.
先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本题先要找出3次变换是一个循环，然后再求14被3整除后余数是2，从而确定出连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
17.【答案】解：(1)(16−314+23)×42
=16×42−314×42+23×42
=7−9+28
=26；
(2)(−3)3×(−1527)÷(−24)
=−27×(−3227)÷(−16)
=32÷(−16)
=−2.
【解析】(1)利用乘方分配律进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：2x+x+4x=360−2x，
移项合并得：9x=360，
解得：x=40；
(2)去分母得：5(x−1)=10−2(3x+2)，
去括号得：5x−5=10−6x−4，
移项合并得：11x=11，
解得：x=1.
【解析】(1)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
本题考查了一元一次方程的知识，掌握一元一次方程的解法是关键．
19.【答案】解：设字距为xcm，则边空宽为3xcm，字宽为4xcm，
根据题意得(17−1)x+2×3x+17×4x=900，
解得x=10.
经检验，x=10符合题意．
答：某次活动的字数为17个，字距是10cm.
【解析】设字距为xcm，则边空宽为3xcm，字宽为4xcm，由题意列出方程，即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的方程是本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1所示，BC即为所求．
(2)如图2所示，线段AC即为所求，AC=2a−b.

【解析】(1)根据作一条线段等于已知线段的尺规作图可得；
(2)利用基本作图，作一条线段等于已知线段即可作出．
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一条线段等于已知线段的尺规作图．
21.【答案】解：(1)因为M是AC的中点，
所以MC=12AC，
因为N是BC的中点，
所以CN=12BC，
所以MN=MC+CN=12(AC+BC)=12AB=10(厘米)；
(2)因为M是AC的中点，
所以MC=12AC，
因为N是BC的中点，
所以CN=12BC，
所以MN=MC+CN=12(AC+BC)=12AB=12a；
(3)存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点，
当C为PQ的中点时，12−2x=8−x，
解得：x=4；
当P为CQ的中点时，2x−12=20−3x，
解得：x=6.4；
当Q为PC的中点时，2(8−x)=2x−12，
解得：x=7；
综上所述，当x为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点．
【解析】(1)由M是AC的中点，N是BC的中点，可得MN=MC+CN=12(AC+BC)=12AB，即可得答案；
(2)同(1)可得MN=12a；
(3)分三种情况：当C为PQ的中点时，可得12−2x=8−x，当P为CQ的中点时，可得2x−12=20−3x，当Q为PC的中点时，可得2(8−x)=2x−12，即可解得答案．
本题考查一次方程的应用，涉及线段中点等知识，解题的关键是分类思想的运用．
22.【答案】解：设应调往对外联络服务处x人，则调往文化展示服务处(20−x)人，
依题意得：17+x−2[10+(20−x)]=5，
整理得：17+x−20−40+2x=5
即：3x=48
解得：x=16，
所以20−x=20−16=4.
答：应调往对外联络服务处16人，文化展示服务处4人．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设应调往对外联络服务处x人，则调往文化展示服务处(20−x)人，根据调派后使得在对外联络服务工作的人数比在文化展示服务的人数的2倍多5人，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出调往对外联络服务处的人数，再将其代入(20−x)中即可求出调往文化展示服务处的人数．
23.【答案】∠APC+∠A+∠C=360∘α+β−γ=180∘
【解析】解：探索发现：∵PQ//AB，AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠APQ=∠C，∠APQ=∠A，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
∴∠APC=∠A+∠C；
类比思考：(1)∠APC+∠A+∠C=360∘；理由如下：
过点P作PQ//AB，延长BA到M，延长DC到N，如图②所示：
∴∠APQ=∠PAM，
∵PQ//AB，AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠APQ=∠PCN，
∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=180∘+180∘=360∘，
∴∠APC+∠A+∠C=360∘，
故答案为：∠APC+∠A+∠C=360∘；
(2)α+β−γ=180∘；理由如下：
过点M作MQ//AB，如图3所示：
∴α+∠QMA=180∘，
∵MQ//AB，AB//CD，
∴MQ//CD，
∴∠QMD=γ，
∵∠QMA+∠QMD=β，
∴α+β−γ=180∘，
故答案为：α+β−γ=180∘；
解决问题：如图④，∠AFC=12∠APC；理由如下：
过点P作PQ//AB，过点F作FM//AB，如图4所示：
∴∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴∠AFM=12∠BAP，
∵PQ//AB，FM//AB，AB//CD，
∴PQ//CD，FM//CD，
∴∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠CFM=12∠DCP，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=12∠BAP+12∠DCP=12(∠BAP+∠DCP)，
∴∠AFC=12∠APC，
故答案为：∠AFC=12∠APC；
如图⑤，∠AFC=180∘−12∠APC；理由如下：
过点P作PH//AB，过点F作FQ//AB，延长BA到M，延长DC到N，如图5所示：
∴∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴2∠AFQ=∠BAP，
∵PH//AB，FQ//AB，AB//CD，
∴PH//CD，FQ//CD，
∴∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴2∠CFQ=∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP=180∘，∠DCP+∠NCP=180∘，
∴2∠AFQ+∠APH=180∘，2∠CFQ+∠CPH=180∘，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH=360∘，
即2∠AFC+∠APC=360∘，
∴∠AFC=180∘−12∠APC.
探索发现：由PQ//AB，AB//CD，推出PQ//CD，得出∠APQ=∠C，∠APQ=∠A，推出∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，即可得出结论；
类比思考：(1)过点P作PQ//AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APQ=∠PAM，由PQ//AB，AB//CD，推出PQ//CD，得出∠APQ=∠PCN，则∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=360∘，即可得出结果；
(2)过点M作MQ//AB，由平行线的性质得出α+∠QMA=180∘，由MQ//AB，AB//CD，推出MQ//CD，得出∠QMD=γ，即可得出结果；
解决问题：如图④，过点P作PQ//AB，过点F作FM//AB，由平行线的性质得出∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即∠AFM=12∠BAP，由PQ//AB，FM//AB，AB//CD，推出PQ//CD，FM//CD，得出∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即∠CFM=12∠DCP，推出∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=12(∠BAP+∠DCP)，即可得出结果；
如图⑤，过点P作PH//AB，过点F作FQ//AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即2∠AFQ=∠BAP，由PH//AB，FQ//AB，AB//CD，推出PH//CD，FQ//CD，得出∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即2∠CFQ=∠DCP，由∠BAP+∠MAP=180∘，∠DCP+∠NCP=180∘，得出2∠AFQ+∠APH=180∘，2∠CFQ+∠CPH=180∘，即可得出结果．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、平角的定义等知识，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．