专题02 倍长中线模型构造全等三角形（讲义）

这是一份专题02 倍长中线模型构造全等三角形（讲义），共10页。学案主要包含了模型说明，模型引入，中线的取值范围，精准分析，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【模型引入】
一、模型的理论基础
1、基本型
如图1，在中，为边上的中线.

延长至点E，使得.
若连结，则;
若连结，则;
若连结则四边形是平行四边形.
2、中点型
如图2, 为的中点.
若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
总结：在线段外，与中点连结的点有和.事实上，和分别是和的中线，只不过是三角形不完整罢了，本质就是隐蔽的“基本型”
3、中点+平行线型
如图3, ，点为线段的中点.延长交于点 (或交延长线于点)，则.
小结 若按“中点型”来倍长，则需证明点在上，为了避免证明三点共线，点就直接通过延长相交得到.因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等.这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.
二、模型的应用
倍长中线：
延长底边的中线，使得所延长部分与中线相等，然后往往需要连接对应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此辅助法用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系，简单的说，倍长中线就是指：做辅助线，延长中线，使得延长部分与中线相等，连接对应顶点，构造全等三角形

A

BC
D
知识点展示

根据上面的原图和添加辅助线的图形可得：

由图1可得，延长AD使得DE=AD，又因为BD=DC，∠BDE=∠ADC，
则有△ACD和△BDE全等（边角边的判定定理），则S△ACD＝S△BDE，
∴∠DBE=∠DAC（内错角相等），因此AC∥BE且AC=BE，
同理
由图2可得，延长AD使得DF=AD，又因为BD=DC，∠ADB=∠FDC，
则有S△ABD和S△CDF全等（边角边的判定定理）
，∴S△ABD≌S△CDF，
∴∠ABD =∠DCF（内错角相等），
因此AB∥CF且AB=CF．

【中线的取值范围】求中线AD的取值范围.
由题意得，延长AD于点E使得AD=DE
∵AD是中线，∴BD=DC，
在△ABD和△CDE中，，可得AB=EC，

所以EC－AC＜AE＜EC＋AC
（大）－（小）
因此（EC－AC）÷2＜AE÷2＜EC＋AC÷2
（EC－AC）÷2＜AD＜EC＋AC÷2

例1、已经，在△ABC中，AB=10，AC=6，AD是BC边上的中线，求中线AD长度的取值范围？
由题意得，如图 延长AD于点E使得AD=DE
∵AD是中线，∴BD=DC，
在S△ABD和S△CDE中，，
即AB=EC
所以EC－AC＜AE＜EC＋AC
（大）－（小）
因此（EC－AC）÷2＜AE÷2＜EC＋AC÷2
（EC－AC）÷2＜AD＜（EC＋AC）÷2
（10－6）÷2＜AD＜（10＋6）÷2
2＜AD＜8
倍长类中线：
由倍长中线的推理一样，延长DE于点F使得DE=DF，
因为DE是中线，所以AE=EC，∠AED =∠CEF，
因此S△ADE≌S△CEF，
又因为S△ADE≌S△CEF，所以∠AD E=∠EFC（内错角），
因此AD∥CF且AD＝CF．
例2、如图，在△ABC中D是BC的中点，DE⊥DF，E，F分别在AB，AC上，BE＜CF，则BE，CF，EF之间有什么数量关系？
【答案】由题意得，延长DF于G使得DF=DG，连接BG，EG
则有△BDG≌△DFC，所以CF=BG，DG=DF，
又∵DE⊥DF，∴EF=EG，
所以在三角形BEG中BG－BE＜EG＜BG＋BE，因此FC－BE＜EF＜FC＋BE.
例3、如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F，使得EF=DE，连接BF，则下列说法错误的是（ ）

A．BF∥CD B．△BEF≌△DEC
C．AB=BFD．AE=BE
【答案】D
【精准分析】由题意得
∵点E是BC的中点，∴BE =EC，
在△BEF和△DEC中，BE =EC，∠BEF=∠DEC（对顶角），EF=DE，
因此△BEF≌△DEC，故B正确，又∵△BEF≌△DEC，∴∠F=∠D （内错角），
因此，BF∥C， 故A正确，
又∵∠BAE=∠CDE，∠F=∠D，∴∠BAE= ∠F，
因此AB=BF，故C正确 ，因此D错误，
因此D错误.
【模型讲解】
如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,
∵D为AC中点
∴AD=DC,
在△ABD和△CED中，
BD=DE,
∠ADB=∠CDE
AD=CD
∴△ABD≌△CED（SAS）
∴EC=AB=10
在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC
10-6＜BE＜10+6
∴4＜2BD＜16
∴2＜BD＜8
2、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜12(AB+AC)
解析：
延长AM到D，使MD=AM,连CD
∵AM是BC边上的中线，
∴BM=CM
又AM=DM,∠AMB=∠CMD
∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD
在△ACD中，则AD＜AC+CD
即2AM＜AC+AB
∴AM＜12(AB+AC)
3、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
解析：
延长FE,截取EH=EG,连接CH
可证得：△BEG≌△CEH（SAS）
∴∠BGE=∠H,BG=CH
∵CF=BG,
∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA∵EF∥AD
∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA
∴∠CAD=∠BAD
∴AD平分∠BAC.
4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.
解析：
延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线
∴∠1=∠4=12∠ADB,∠3=∠5=12∠ADC
又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2
∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°
∴△EFD≌△HFD（AAS）
∴EF=FH
在△BDE和△CDH中，
DE=DH∠1=∠2
BD=DC
∴△BDE≌△CDH（SAS）
∴BE=CH
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH
∵CH=BE,FH=EH
∴BE+CF＞EF.
5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？
解析：
连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,
∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G
在△DFC和△BDG中，
∠DFC=∠G
∠FCD=∠DBG
BD=CD
∴△DFC≌△BDG(AAS)
∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB又∵ED⊥FD,∴EF=EG
∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°
∴△EBG为直角三角形
∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.