2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题07 角平分线模型构造全等三角形（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题07 角平分线模型构造全等三角形（讲义）（解析版），共8页。学案主要包含了模型说明，模型引入，模型讲解，思路点拔，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等构造模型，为证明边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
【模型引入】
【模型】一、角平分线垂两边
角平分线+外垂直
当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.
【模型】二、角平分线垂中间
角平分线+内垂直
当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.
【模型】三、角平分线构造轴对称
角平分线+截线段等
当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.
【模型】四、角平分线加平行线等腰现
角平分线+平行线
当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
【模型讲解】
1、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AECE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为________

【分析】有AE平分∠BAC，且AEEC，套用模型2，即可解决该题.
【解答】解：如图，延长CE，AB交于点F.
AE平分∠BAC，AEEC
∠FAE =∠CAE，∠AEF =∠AEC =90°
在△AFE和△ACE中
△AFE ≌ACE（ASA）AF =AC =16，EF =EC，
BF =6
又D是BC的中点，BD =CD
DE是△CBF的中位线
DE =BF =3
2、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.

（1）求证：BC =CD；
（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；
解:(1)如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M;作CN⊥AD，垂足为N，
AC平分∠DAB，CM＝CN
又∠ABC +∠ADC＝180°，∠MBC +∠ADC＝180°
∠NDC＝∠MBC，在△NDC与△MBC中
BC=DC
(2)如图，延长AB到B，使BB＝AD
AB+AD＝AC，∴AB＝AC
由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC与△BBC中
∴△ADC ≌△EBC，故AD＝EC
又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC
故△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°;
∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°
即∠BCD＝60°
3、 如图, , 为上的一点，并且于点,,求证：.
【思路点拔】已知条件中出现为的角平分线,于点，属于角平分线基本模型一.辅助线的作法可尝试过点作，即有, ≌等，利用相关结论解决问题.
证明 过点作于点.
且,
.
在和中， ,
≌,.
.

.
在和中,
≌,.
,
.4、已知:如图7,，求证:.

【思路点拨】已知条件中出现为的角平分线，不具备特殊位置，属于
角平分线基本模型三.辅助线的作法可尝试在上截取，连结.即有
≌，利用相关结论解决问题.
证明 在上截取，连结.
，且 , .
又.
又
≌,,即有.
5、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF.
解：（1）△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
D是BC的中点
∴BD＝CD
∴BG =AC +AG
BG +(AC +AG)=AB +AC,
∴BG =（AB +AC)=（b+c)
(2)证明:点D.F分别是BC、AB的中点
∴DF＝AC=b，BF=AB=c
又FG＝BGBF =（b+c)-c =b
∴DF=FG
∴∠FDG＝∠FGD
点D.E分别是BC、AC的中点，
∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF
6、如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）求线段BE的长．
【分析】（1）连接OA，根据垂直平分线的性质得到OE＝OF．根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质得到BE＝BF，设AE＝CF＝x，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA,
∵OB平分∠ABC，
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴OE＝OF．
∵OM⊥AC，M为AC中点，
∴OM垂直平分AC，
∴OA＝OC，
在Rt△AEO与Rt△CFO中，,
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴AE＝CF；
（2）解：在Rt△BEO与Rt△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（HL），
∴BE＝BF，
∵AB＝7，BC＝14，
设AE＝CF＝x，
∴x+7＝14﹣x，
∴，
∴．
7、如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠FBC+∠FCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
（2）在BC上取一点O使得BO＝BE，易证∠BFE＝∠CFD＝60°，即可证明△BFE≌△BFO，可得∠BFO＝∠BFE＝60°，即可证明△OCF≌△DCF，可得CO＝CD，根据BC＝BO+OC即可证明．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．

（2）证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，
∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC＝120°，
∴∠BFE＝∠CFD＝60°，
在△BFE和△BFO中，
，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO＝∠BFE＝60°，
∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，
在△OCF和△OCD中，
，
∴△OCF≌△DCF（ASA），∴CO＝CD，
∵BC＝BO+CO，
∴BC＝BE+CD．