中考数学二轮培优训练第04讲 倍长中线模型构造全等三角形（2份，原卷版+解析版）

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倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
【多题一解】
一、单选题
1．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
2．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2019·湖北·武汉市粮道街中学九年级阶段练习）如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____．
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，为AD上的中点，则BE＝______．
三、解答题
7．（2020·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）△ ABC 中 D 是 BC 边上一点，连接 AD．
（1）如图1，AD 是中线，则 AB+AC 2AD（填 >，< 或 =）；
（2）如图2，AD 是角平分线，求证 AB- AC > BD- CD．
8．（2020·北京一七一中九年级阶段练习）在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
9．（2020·全国·九年级专题练习）已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．
求证：BE=CF．
10．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
11．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
（1）若AC=，AE=，求BE的长；
（2）在（1）的条件下，求△ABD的面积．
（3）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
12．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
13．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．
（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．
14．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）
问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；
问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．
15．（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．
(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的条件下，求的值；
(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．
16．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．
17．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
（1）如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：．
（2）如图2，若，求的值．
18．（2021·江苏宿迁·二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
19．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【一题多解】
1．（2021·河北·九年级专题练习）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
2．（2021·贵州·贵阳市第十九中学九年级阶段练习）在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；
（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．
3．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为 ．
（2）如图，ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若，判断AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．
4．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 ．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 ．
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．