2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题06 半角模型构造全等三角形（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题06 半角模型构造全等三角形（讲义）（解析版），共11页。学案主要包含了模型说明，模型引入，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
【模型引入】
一、模型由来
半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
二、模型思想
通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
三、基本模型
类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)

条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；
证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，
∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
且AE=AE，AF=AF’，
∴△FAE≌△F’AE(SAS)，
∴EF=EF’，
又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，
∴F’、B、E三点共线，
∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；
证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，
∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，
且AM=AM，AN=AN’，
∴△MAN’≌△MAN(SAS)，
∴MN=MN’，
又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，
∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，
∴在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，
即MN²=BM²+BN’²。
结论③：图1、2中EA平分∠BEF，FA平分∠DFE。
证明过程见证明①中时△FAE≌△F’AE即可。

结论④：图1、2中。
证明：如图5中，过A点作AH⊥EF于H点，由结论③可知：∠AEH=∠AEB，
且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，
∴AH=AB=AD，进而可以证明△AHF≌△ADF(AAS)，
∴.


结论⑤：图6中，连接NE，则A、B、E、N四点共圆，△ANE为等腰直角三角形。
证明：如图6中，∵∠EAF=45°=∠NBE，
∴A、B、E、N四点共圆，
由同弧所对的圆周角相等可知：∠AEN=∠ABN=45°，
又已知∠EAN=45°，∴△NEA为等腰直角三角形。此时会有。

结论⑥：图7中，连接MF，则A、M、F、D四点共圆，△AMF为等腰直角三角形。
证明：如图7中，∵∠EAF=45°=∠BDF，
∴A、M、F、D四点共圆，
由同弧所对的圆周角相等可知：∠AFM=∠ADB=45°，
又已知∠EAN=45°，∴△AMF为等腰直角三角形。
此时会有。

类型二、120°中夹60°
条件：如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形。
结论①：MN=BM+CN；
证明：如下图1，延长AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，
∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，
即∠HBD=∠NCD=90°，
在△HBD和△NCD中：
∴△HBD≌△NCD(SAS)，
∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，
又∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
即∠BDM+∠HDB=60°，∴∠HDM=∠NDM=60°，
在△HDM和△NDM中：
∴△HDM≌△NDM(SAS)，
∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。
结论②：如上图1中：△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；
或者说成：3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长。
证明：由结论①知：MN=MB+CN，
【模型讲解】
1、如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.
【解答】见解析
【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.
则∠ACE＝∠A，AE＝CE，
∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；
【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，
∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，
∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，
又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.
【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE.
∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，
又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.
2、如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD，CD上的点，∠EBF=45°，△EDF的周长为10，求四边形ABCD的周长？
《答案》由题意得，延长AD到点H使得AH=CF
∵四边形ABCD是正方形
∴∠HAB=∠C=90° AB=BC
∴△HAB≌△FCB
即BH=BC ∠HBA=∠CBH
则有∠HBE=∠EBF=45°
BH=BC
∠HBE=∠EBF （边角边）
BE=BE
∴△HAE≌△FBE （SAS）
即HE=FE
因此FE=AE＋CF
∵△EDF的周长等于AD＋DC=10，
∴四边形ABCD的周长=2（AD＋DC）=20．
2、如图，三角形ABC是等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°的角，使得两边分别交AB于M，交AC于点N，连接MN,,已经三角形ANM的周长为6，求等边三角形ABC的周长？
《答案》
延长AB到点H,使得BH=CN
由题意得等腰三角形BDC中，∠BDC=120°

所以∠DBC=∠DCB=30°

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABD=∠ACD=90°

即∠HBD=∠ACD
在△HBD和△NCD中
BH=CN
∠HBD=∠ACD（SAS）
BD=DC
所以△HBD≌△NCD （SAS）
即DH=DN，∠HDB=∠CDN，
因此∠HDM=∠MDN，
则 在△MDN和△HDM中
DH=DN
∠HDM=∠MDN（边角边）
DM=DM
所以△MDN≌△HDM
因此MN=BM＋NC，
三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长
∵三角形AMN的周长等于6，
∴等边三角形ABC的边长=6÷2=3，
因此等边三角形ABC的周长为：3×3=9.
3、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕着点A顺时针旋转，他的两边分别交于CB,DC（或他们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H
如图1，∠MAN绕着点A顺时针旋转到BM=DN时，请直接写出AH与AB的
数量关系：（ ）

如图2，∠MAN绕着点A顺时针旋转到BM≠DN时，（1）中的结论还可以成立吗？如果不成立写出结论，成立的话请证明。
（3）如图3，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2.NH=3,求AH的长（可以利用（2）的结论）
《答案》
《1》如图1，AH=AB

《2》数量关系仍然成立，如下图所示，延长CB至E,使得BE=DN
∵ABCD是正方形，、
∴AB=AD ∠D=∠ABE=90°
在R t△AEB和R t△AND中，AB=AD，∠D=∠ABE，BE=DN
∴R t△AEB≌R t△AND
即AN=AE,∠NAD=∠EAB
∴∠EAM=∠NAM=45°
在△AEM和△ANM中，AN=AE，∠EAM=∠NAM，AM=AM，
∴△AEM≌△ANM则△AEM的面积等于△ANM的面积 EM=MN
∵AB,AH分别是△AEM和△ANM对应的高
因此AB=AH